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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2012届新课标数学考点预测
(7)平面向量
一、考点介绍 1.平面向量的实际背景及基本概念
(1)了解向量的实际背景.
(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
(3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义.
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
二、高考真题1(2008年安徽卷3).在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/则http://www.7caiedu.cn/()A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)〖解析〗因为http://www.7caiedu.cn/,选B.〖答案〗B.2(2007年山东文5).已知向量http://www.7caiedu.cn/,若http://www.7caiedu.cn/与http://www.7caiedu.cn/垂直,则http://www.7caiedu.cn/(C)A.http://www.7caiedu.cn/B.http://www.7caiedu.cn/C.http://www.7caiedu.cn/D.4〖解析〗∵2http://www.7caiedu.cn/-http://www.7caiedu.cn/与http://www.7caiedu.cn/垂直.∴2http://www.7caiedu.cn/-http://www.7caiedu.cn/·http://www.7caiedu.cn/=0而2http://www.7caiedu.cn/-http://www.7caiedu.cn/=3n∴-3+n2=0而|http://www.7caiedu.cn/|2=http://www.7caiedu.cn/=4即|http://www.7caiedu.cn/|=
2.两个非零向量http://www.7caiedu.cn/⊥http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/·http://www.7caiedu.cn/=0http://www.7caiedu.cn/x1x2+y1y2=0|http://www.7caiedu.cn/|2=http://www.7caiedu.cn/2=x2+y2.〖答案〗C.3(2008年辽宁卷理5).已知http://www.7caiedu.cn/是平面上的三个点直线http://www.7caiedu.cn/上有一点http://www.7caiedu.cn/满足http://www.7caiedu.cn/则http://www.7caiedu.cn/等于A.http://www.7caiedu.cn/B.http://www.7caiedu.cn/C.http://www.7caiedu.cn/D.http://www.7caiedu.cn/〖解析〗依题http://www.7caiedu.cn/∴http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/〖答案〗A.4(2008年浙江卷理9).已知http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量http://www.7caiedu.cn/满足http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/的最大值是A.1B.2C.http://www.7caiedu.cn/D.http://www.7caiedu.cn/〖解析〗http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/∴http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/的最大值是http://www.7caiedu.cn/;∴http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/对应的点AB在圆http://www.7caiedu.cn/上http://www.7caiedu.cn/对应的点C在圆http://www.7caiedu.cn/上即可.〖答案〗C.5(2008年天津卷理14).如图,在平行四边形http://www.7caiedu.cn/中,http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/.〖解析〗令http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/所以http://www.7caiedu.cn/.〖答案〗3.6(2007年天津理15).如图,在http://www.7caiedu.cn/中,http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/是边http://www.7caiedu.cn/上一点,http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/ .〖解析〗在http://www.7caiedu.cn/中,有余弦定理得http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,由正弦定理得http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/,在http://www.7caiedu.cn/中,由余弦定理求得http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/,由余弦定理得http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/.〖答案〗http://www.7caiedu.cn/.7(2007年广东文16).已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A3,
4、B0,
0、Chttp://www.7caiedu.cn/,0.1若http://www.7caiedu.cn/,求http://www.7caiedu.cn/的值;2若http://www.7caiedu.cn/,求sin∠A的值〖解析〗1http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,由http://www.7caiedu.cn/得http://www.7caiedu.cn/.2http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/.
三、名校试题1(汉沽一中2008~2009届月考文9).已知平面向量http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/且http://www.7caiedu.cn/则http://www.7caiedu.cn/()A.http://www.7caiedu.cn/B.http://www.7caiedu.cn/C.http://www.7caiedu.cn/D.http://www.7caiedu.cn/〖解析〗∵http://www.7caiedu.cn/∴http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/.B.2(浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理)5).已知http://www.7caiedu.cn/,点P在直线AB上,且满足http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/=()A、http://www.7caiedu.cn/B、http://www.7caiedu.cn/C、2D、3〖解析〗如图所示,不妨设http://www.7caiedu.cn/;找共线,对于点P在直线AB上,有http://www.7caiedu.cn/;列方程,因此有http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/,即http://www.7caiedu.cn/;而http://www.7caiedu.cn/,即有http://www.7caiedu.cn/,因此http://www.7caiedu.cn/时http://www.7caiedu.cn/.即有http://www.7caiedu.cn/=http://www.7caiedu.cn/.〖答案〗B.3(沈阳二中2009届高三期末数学试题).设点P是△ABC所在平面内一点,http://www.7caiedu.cn/,则点P是△ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心〖解析〗〖答案〗D.4(宁波市2008学年度第一学期高三期末数文).已知在平面直角坐标系中,http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,O为原点,且http://www.7caiedu.cn/(其中http://www.7caiedu.cn/均为实数),若N(1,0),则http://www.7caiedu.cn/的最小值是.〖解析〗由http://www.7caiedu.cn/及http://www.7caiedu.cn/知,点M与点A、B共线,所以http://www.7caiedu.cn/的最小值是点N到直线AB的距离,在直角三角形ABN中求解得http://www.7caiedu.cn/.〖答案〗http://www.7caiedu.cn/.5(福州质检·理).已知http://www.7caiedu.cn/,若http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/.〖解析〗由http://www.7caiedu.cn/得http://www.7caiedu.cn/,即http://www.7caiedu.cn/,所以http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/.〖答案〗http://www.7caiedu.cn/.6江苏省南通市2008-2009学年度第一学期期末调研测试数学试卷
13.在△ABC中,http://www.7caiedu.cn/,D是BC边上任意一点(D与B、C不重合),且http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/等于▲.〖解析〗当点D无限逼近点C时,由条件知http://www.7caiedu.cn/趋向于零,http://www.7caiedu.cn/,即△ABC是等边三角形.〖答案〗http://www.7caiedu.cn/.7江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试
10.已知http://www.7caiedu.cn/,且关于http://www.7caiedu.cn/的函数http://www.7caiedu.cn/在R上有极值,则http://www.7caiedu.cn/与http://www.7caiedu.cn/的夹角范围为_______.〖解析〗http://www.7caiedu.cn/,依题意http://www.7caiedu.cn/,即http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,又夹角http://www.7caiedu.cn/,所以范围为http://www.7caiedu.cn/.〖答案〗http://www.7caiedu.cn/.8(2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试).已知向量http://www.7caiedu.cn/
(1)当http://www.7caiedu.cn/时,求http://www.7caiedu.cn/的值;
(2)求http://www.7caiedu.cn/在http://www.7caiedu.cn/上的值域.〖解析〗
(1)http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/.
(2)http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/∵http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/∴http://www.7caiedu.cn/∴函数http://www.7caiedu.cn/.9(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题).已知向量http://www.7caiedu.cn/,
(1)若http://www.7caiedu.cn/求http://www.7caiedu.cn/的值;
(2)设http://www.7caiedu.cn/,求http://www.7caiedu.cn/的取值范围.〖解析〗
(1)因http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/,两边平方得http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/.
(2)因http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/又http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/的取值范围为http://www.7caiedu.cn/.10温州市十校2008学年高三第一学期期初联考数学试题(文).已知A、B、C三点的坐标分别为http://www.7caiedu.cn/、http://www.7caiedu.cn/、http://www.7caiedu.cn/.
(1)若http://www.7caiedu.cn/的值;
(2)若http://www.7caiedu.cn/,求http://www.7caiedu.cn/的值.〖解析〗1http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/∵http://www.7caiedu.cn/∴http://www.7caiedu.cn/即http://www.7caiedu.cn/∴http://www.7caiedu.cn/,又∵http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/.
(2)http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/,∴http://www.7caiedu.cn/,两边平方,得http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/=http://www.7caiedu.cn/.
四、考点预测
(一)文字介绍预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题,通常为选择题或填空题出现;而向量与三角函数、解三角形等综合的问题,通常为解答题,难度以中档题为主.具体如下1.向量概念和向量的基本定理有关向量概念和向量的基本定理的命题,主要以选择题或填空题为主,考查的难度属中档类型.2.向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算,理解两个向量共线的含义,会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算,体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系.主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合.3.向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求.命题以三角函数作为坐标,以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合,也有向量与三角函数图象平移结合的问题,属中档偏易题.4.平面向量与函数问题的交汇平面向量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围.命题多以解答题为主,属中档题.
(二)考点预测题1(2008年江苏卷5).http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/的夹角为http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/则http://www.7caiedu.cn/.〖解析〗http://www.7caiedu.cn/=http://www.7caiedu.cn/,则http://www.7caiedu.cn/7.〖答案〗7.2(2007年山东理11).在直角http://www.7caiedu.cn/中,http://www.7caiedu.cn/是斜边http://www.7caiedu.cn/上的高,则下列等式不成立的是( )A.http://www.7caiedu.cn/B.http://www.7caiedu.cn/C.http://www.7caiedu.cn/D.http://www.7caiedu.cn/〖解析〗由于http://www.7caiedu.cn/cso∠CAB=|http://www.7caiedu.cn/|2可排除A.http://www.7caiedu.cn/cos∠ABC=http://www.7caiedu.cn/2可排除B而http://www.7caiedu.cn/cosπ-∠ACD=-|http://www.7caiedu.cn/cos∠ACD0,|http://www.7caiedu.cn/0∴|http://www.7caiedu.cn/≠http://www.7caiedu.cn/,可知选C.〖答案〗C.3(广东省2009届高三第一次六校联考(理)16).已知向量a=sinθ,1,b=1,cosθ,http://www.7caiedu.cn/.(Ⅰ)若a⊥b,求θ;(Ⅱ)求|a+b|的最大值.〖解析〗(Ⅰ)若a⊥b,则sinθ+cosθ=0,由此得tanθ=-1(http://www.7caiedu.cn/),所以θ=http://www.7caiedu.cn/;(Ⅱ)由a=sinθ,1,b=1,cosθ,得|a+b|===,当sinθ+=1时,|a+b|取得最大值,即当θ=时,|a+b|最大值为+1.42009届广东五校高三第二联考试卷文.已知向量http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/,http://www.7caiedu.cn/.
(1)若http://www.7caiedu.cn/的夹角;
(2)当http://www.7caiedu.cn/时,求函数http://www.7caiedu.cn/的最大值.〖解析〗
(1)当http://www.7caiedu.cn/时,http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/
(2)http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/http://www.7caiedu.cn/.http://www.7caiedu.cn/∴http://www.7caiedu.cn/,故http://www.7caiedu.cn/∴当http://www.7caiedu.cn/时,即http://www.7caiedu.cn/,所以http://www.7caiedu.cn/.ABOP(第5题图)。