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周世国软件学院高等数学(下)综合练习参考答案高等数学下综合练习
一一、计算下列各题每小题5分共30分
1.设求解;由轮换对称性知所以
2.设由方程可以确定函数求解一(公式法)(这里互相独立)令则,故有;所以解二
(一)方程两边同时关于求导(视为,并视常数),有,故;
(二)方程两边同时关于求导(视为,并视常数),有,故有所以解三方程两边取全微分,得,利用微分形式的不变性所以,
3.设其中可微求解;;
4.求曲面在点处的切平面与法线方程.解设,.则,所以,切平面的方程为切平面的法线方程为.
5.判定级数的敛散性.解记因为(等价替换),所以发散.
6.求函数的极值点解
(一)解方程组或者得两个驻点
(二)
(1).在处,因为,所以非极值点.
(2).在处,因为故为极小值.
二、计算下列积分每题10分共70分
1.其中D是由直线及所围成的闭区域.解
2.其中为曲面与平面所围成的闭区域.解本题宜采用“切片法”计算如采用柱面坐标系
3.,其中为圆周.解(上述倒数第二步用到了曲线积分的对称性)
4.其中为圆周上由点到的一段弧.解一可化为其的参数方程为解二记,记D为所围成的区域.由格林公式,得又,故解三由于,故与路径无关,
5.其中为锥面被平面截出的顶部.解由可算得故
6.其中为半球面的上侧.解若取(下侧).则与一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的半球型闭区域为.在上利用高斯公式,便得所以,
8.求函数在闭区域上的最大值与最小值.解
(一)内部令所以,得唯一驻点,无偏导不存在的点.
(二)边界在边界
(1)上,问题转化为求
(2)在条件下的极值.由(*)式,可设代入
(2)得所以在边界上的最大值是;最小值是
(三)比较与及知在闭区域上的最大值与最小值分别和.9.求的和函数并求级数的和.解
(一)记因为所以,又在端点发散;在端点也发散.总之,的收敛区间为
(二)设,其中对积分,有故所以
(三)
10.把函数展成的幂级数.解另由收敛域为.高等数学下综合练习二一.计算下列各题
1.设求;解;;所以
2.设其中可微求解
3.设可以确定函数求解方程两边微分,得即所以从而;
4.求曲面在点处的切平面与法线方程.解设则所以,切平面的方程为;切平面的法线方程为.
5.求的极值.解
(一)解方程组或者得两个驻点
(二)
(1).在处,因为,所以非极值点.
(2).在处,因为故为极小值.
6.求函数在椭球面上的最大值.解所求最值问题即为求在条件下的极值.令下面求的驻点,即求解方程组,故得到四个可能的条件极值点,,,因为故在椭球面上的最大值为二.计算下列积分
1.计算;解交换积分次序,得
2.,其中.解
3.其中D由x轴,,围成的平面区域.解
4.其中为圆周.解
5.其中是由曲面围成区域.解本题宜采用“切片法”计算如采用柱面坐标系
6.其中为圆周上由点00到20的一段.解一可化为其的参数方程为解二记,记D为所围成的区域.由格林公式,得-又,故
7.其中∑为球面被平面截出的部分的顶部.解由,则,所以,.因此
8.求其中∑为旋转抛物面介于之间部分的下侧.解法一(直接计算)
(一).将分成.其中的方程为,取前侧;的方程为,取后侧.在平面上的投影区域均为,所以;.所以(令)
(二)(下侧)在平面上的投影区域为故解法二利用高斯公式计算设的上侧;则构成封闭曲面的外侧.因此解法三化为第一型曲面积分计算.的向上的法向量,所以.故解法四由于这里(下侧)在平面上的投影区域为故三.计算下列各题
1.判别级数的敛散性.解,而所以,收敛,从而原级数也收敛.
2.求幂级数的收敛域及和函数.解
(一)记因为所以,又在端点条件收敛;在端点发散.故,的收敛域为
(二)设,其中对关于求导,有故所以
3.判断级数是绝对收敛还是条件收敛,并说明理由.解
(一).由于且单调减少,故由莱布尼兹定理知,交错级数是条件收敛的.
(二).又由于故发散.综上,条件收敛.PAGE8。