还剩34页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
题型
三、计算题注意计算题部分是整个高等数学经济数学占分最重的一部分,希望大家好好巩固、做到举一反三.一求数列、函数的极限
1.求数列的极限思路点拨数列极限的典型特征便是无限项的加和,所以无法运用极限的四则运算,此时求解的方法是充分运用高中阶段数列前n项和的求法,主要方法有拆项求和(等差数列与等比数列的加减)、公式法(适用于等差数列和等比数列)、裂项相消法(适用于分母为相邻几项的乘积)、倒序相加法、错位相减法(适用于等差数列与等比数列的复合).其中以公式法和裂项相消法为掌握的重点.1公式法—等差数列、等比数列求和1已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,则Sn=[na1+nn-1d]/2;(d为公差http://baike.baidu.com/view/
46239.htm\t_blank)Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-d/2Sn={[2a1+n-1d]n}/22已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,则2分组求和法在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.3倒序相加法若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).4错位相减法如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).5通项转换法先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.6裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有
①;
②;
③,;
④;
⑤;
⑥.例题
1.求极限.例题
2.求极限.例题
3.求数列极限例题
4.求极限.
2.求函数的极限思路点拨常见的求极限问题归纳为八类主要题型,现总结如下;模型一型方法上下同除以的最高次幂例题
5.求极限例题
6.求极限例题
7.求函数极限例题
8.求极限例题
9.求极限模型二型原式=例题
10.求极限例题
11.求极限例题
12.求极限例题
13.求极限模型三若,有界例题
14.求极限例题
15.求极限例题
16.求极限模型四0/0型适用于含有三角函数的函数求极限,实际运用时经常是它的变量替换形式,即当limx→x0φ(x)=0时,limx→x0sin[φ(x)]/φ(x)=1例题
17.求极限例题
18.求极限例题
19.求极限例题
20.求极限例题
21.求极限模型五型识别此类题型尤为重要,主要特征为未定式.步骤如下这种模型适用于分式函数幂的模型,常用到分离常数法和凑配法.通常运用它的变量替换形式,即当limx→x0=∞时,有limx→x0[1+1/φ(x)]φ(x)=e成立.若是一元一次分式函数,则采用分离常数法;若是一元二次分式函数,则采用凑配法,即运用完全平方法或平方差法.例题
22.求极限例题
23.求极限例题
24.求极限例题
25.求极限例题
26.求极限模型六等价无穷小替换替换公式替换原则乘除可换,加减忌换.例题
27.求极限例题
28.求极限例题
29.求极限例题
30.求极限例题
31.求极限例题
32.求极限例题
33.求极限例题
34.求极限模型七洛必达法则洛必达法则若且在的邻域附近可导.如果成立则.注
①洛必达法则处理的形式必须是未定式对于,等必须变形为形式.方法是对分子分母同时求导,再代入检验,一直到极限不再是如上所述的不定式为止.
②洛必达法则是一个充分性的法则,若不存在,则说明此方法失效.
③洛必达法则只要前提正确,可重复使用.
④一般而言,洛必达法则和求极限模型五配合使用效果会更佳.
⑤注意其和连续,可导概念结合的综合题.对于衍生不定式的处理方式现总结如下
①0·∞型设f(x)g(x)为0·∞型不定式,则limf(x)g(x)=limf(x)/[1/g(x)]是0/0型(或limg(x)/[1/f(x)]是∞/∞型);
②∞±∞型设[f(x)±g(x)]为∞±∞型不定式,则lim[f(x)±g(x)]=lim(1/[1/f(x)]±1/[1/gx])=lim[1/g(x)±1/f(x)]/[1/f(x)·1/g(x)]是0/0型(即通分);
③幂指形式的不定式(如00型、1∞型、∞0型)设limf(x)g(x)为幂指形式的不定式,则limf(x)g(x)=limeg(x)㏑f(x)=elimg(x)㏑f(x),而limg(x)㏑f(x)为0·∞型不定式,可将其化为0/0型或∞/∞型不定式,进而利用洛必达法则求解.例题
35.求极限例题
36.求极限例题
37.求极限例题
38.求极限例题
39.求极限例题
40.求极限例题
41.求极限例题
42.求极限例题
43.求极限例题
44.求极限模型八变上限积分有关积分变上限积分是函数的另一种重要形式求导公式(其中)是一个非常重要的公式,它提供了利用导数来研究它的工具.更一般的结论是例题
45.求极限例题
46.求极限二函数连续与可导之间的关系思路点拨函数的极限存在、连续、可导、可微四者之间的关系是1可微与可导之间的关系:函数在x处可微在x处可导.2可导与连续的关系若函数在点处可导,则在点x处连续,但函数连续不一定可导.3导数与左右导数的关系存在.4函数在某一点处存在极限未必在该点处连续,但函数在该点处连续,在该点处也一定存在极限.5其中分别表示左、右极限.例题
1.,若在处连续,求.例题
2.,若在处连续,求.例题
3.讨论函数在处的连续性与可导性.三求复合函数的导数、微分思路点拨
1.复合函数在求导数时,一定要弄清楚是哪个函数与哪个函数的复合,可参照基本初等函数即可分辨出被复合的部分.因此我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”“外及里;号变号;则用则;层间乘”.注意
①导数符号“'”在不同位置表示对不同变量求导数,这就要求一定要看清楚导数符号的位置.例如f'(arcsinx)表示对arcsinx求导,即f'(arcsinx)=df(arcsinx)/d(arcsinx),而[f(arcsinx)]'表示对x求导,即[f(arcsinx)]'=df(arcsinx)/d(arcsinx)·d(arcsinx)/d(x)=f'(arcsinx)·(arcsinx)=f'(arcsinx)·1/[(1-x2)1/2](-1<x<1).
②分段函数求导时,必须验证在分界点处的可导性;若不存在可导性,则分段函数在分界点处的导数无意义,最后所求得的导函数中不包括分界点;若在分界点处可导,则分段函数中的各个部分才可采用求导法则以及求导公式,并且最后所求得的导函数中包含分界点.验证可导性时可利用导数的定义判断.
2.求复合函数的微分在可导可微,且.可作为微分求解公式.例题
1.已知函数,求.例题
2.已知函数,求.例题
3.已知函数,求.例题
4.已知函数,求.例题
5.已知函数,求.例题
6.已知函数,求例题
7.已知函数.
(1)求;
(2)试判断在处的连续性.例题
8.已知函数,求.例题
9.已知函数,求.例题
10.已知函数,求.四求隐函数、由参数方程所确定的函数的导数
1.求隐函数的导数思路点拨隐函数导数的求法一般有三种方法1直接求导法方程两边对求导,要记住是的函数,则的函数是的复合函数.例如,,,等均是的复合函数.对求导应按复合函数连锁法则做.2公式法.由知其中,,分别表示对和的偏导数.3利用微分形式不变性.在方程两边求微分,然后解出.4对数求导法对数求导法适用于幂指函数、多因子乘幂型函数求导,方法如下
①将函数y=f(x)两边同时取自然对数,得到㏑y=㏑f(x);
②利用隐函数的求导方法进行求导,得到y'的一个表达式;
③将y用原式y=f(x)代换,此时新得到的表达式即为y'的最终表达式.5底数求导法底数求导法与对数求导法一样,都是适用于幂指函数、多因子乘幂型函数求导,具体方法如下
①将函数y=f(x)g(x)取自然底数,得到y=eg(x)㏑f(x);
②利用复合函数的求导法则(链式法则)进行求导;
③将含有自然底数的函数表达式还原为f(x).例题
1.由确定隐函数,求.例题
2.由方程确定隐函数求.例题
3.已知由方程确定,求.
2.求由参数方程确定的导数思路点拨已知,求.求导公式==,=.例题
4.已知求.例题
5.已知,求,,并给出时的切线和法线方程.例题
6.已知由确定,求.五导数的几何应用—求切线方程、法线方程思路点拨求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.下面将列举四种常见的类型及解法.类型一已知切点,求曲线的切线方程.方法总结此类题较为简单,只须求出曲线的导数,并代入点斜式方程即可.例如曲线在点处的切线方程为( )A.B.C.D.类型二已知斜率,求曲线的切线方程.方法总结此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.例如与直线的平行的抛物线的切线方程是( )A.B.C.D.类型三已知过曲线上一点,求切线方程.方法总结过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.例如求过曲线上的点的切线方程.类型四已知过曲线外一点,求切线方程.方法总结此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.例如求过点且与曲线相切的直线方程.例如已知函数,过点作曲线的切线,求此切线方程.例如曲线在点处的法线方程为______.例题
1.已知函数,求过的切线方程.例题
2.过点引抛物线=的切线,求切线方程.例题
3.已知是周期为5的连续函数,它在的某邻域内满足关系式,其中是当时比的高阶无穷小,且在处可导,求曲线在点处的切线方程.六一元函数的不定积分(有理分式函数、三角函数、无理根式函数)思路点拨求不定积分的四种基本方法
1.直接积分法利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!例题
1.求不定积分例题
2.求不定积分例题
3.求不定积分例题
4.求不定积分例题
5.求不定积分例题
6.求不定积分例题
7.求不定积分例题
8.求不定积分例题
9.求不定积分例题
10.求不定积分例题
11.求不定积分例题
12.求不定积分例题
13.求不定积分例题
14.求不定积分例题
15.求不定积分例题
16.求不定积分例题
17.求不定积分例题
18.求不定积分例题
19.求不定积分例题
20.求不定积分例题
21.设,求.例题
22.一曲线通过点,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程.
2.第一换元法凑微分法做数学题首先需要审题,审题看看是否需要凑微分.直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握.基本原理.一些常见的固定类型等等.常考模型有理分式函数、三角函数、无理根式函数的不定积分.有理分式函数被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析.也可以采用待定系数法解决有理分式函数的不定积分.四中典型的有理分式函数的不定积分变分子为,再分项积分.变分子为,再分项积分.求∫Rxdx的步骤
1.将Qx在实数范围内分解成一次式和二次质因式的乘积.
2.将Rx=Px/Qx拆成若干个部分分式之和.分解后的部分分式必须是最简分式.
3.求出各部分分式的原函数即可求得∫Rxdx利用多项式除法假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,从而利用有理真分式的积分法求解.注意若被积函数为hx+e/ax2+bx+c型,则他可分为2ax+b/ax2+bx+c与1/ax2+bx+c之和,前一式可用第一换元法,后一式分三种情况讨论、
①当Δ=b2-4ac>0时,将ax2+bx+c因式分解,被积函数分项后,结合裂项相消用第一换元法即可,所利用的公式为
②Δ=b2-4ac=0时,将ax2+bx+c写成Ax2+B,再用第一换元法,所利用的公式为xu+1/u+1+C(u≠-1)
③Δ=b2-4ac<0时,配方得ax2+bx+c=x+A2+B,再利用第一换元法,所利用的公式为=三角函数三角函数的不定积分可以利用就近原则巧妙使用凑微分法求解不定积分.无理根式函数可以采用第一换元法凑微分法,也可以采用第二换元法变量替换法去解决相关不定积分的问题,具体详见
2.例题
23.求不定积分例题
24.求不定积分例题
25.求不定积分例题
26.求不定积分例题
27.求不定积分例题
28.求不定积分例题
29.求不定积分例题
30.求不定积分例题
31.求不定积分例题
32.求不定积分例题
33.求不定积分例题
34.求不定积分例题
35.求不定积分例题
36.求不定积分例题
37.求不定积分例题
38.求不定积分例题
39.求不定积分例题
40.求不定积分例题
41.求不定积分例题
42.求不定积分例题
43.求不定积分例题
44.求不定积分例题
45.求不定积分例题
46.求不定积分例题
47.求不定积分例题
48.求不定积分例题
49.求不定积分例题
50.求不定积分例题
51.求不定积分例题
52.求不定积分例题
53.求不定积分例题
54.求不定积分例题
55.求不定积分例题
56.求不定积分例题
57.求不定积分例题
58.求不定积分例题
59.求不定积分例题
60.求不定积分例题
61.求不定积分例题
62.求不定积分例题
63.求不定积分例题
64.求不定积分例题
65.求不定积分例题
66.求不定积分例题
67.求不定积分例题
68.求不定积分例题
69.求不定积分例题
70.求不定积分例题
71.求不定积分
3.第二换元法变量替换法常用的变量替换三角替换、幂函数替换、指数函数替换、倒代换下面具体介绍这些方法.
①根式代换—无理一次根式,设;
②三角函数代换—无理二次根式被积函数含根式所作代换三角形示意图
③倒代换—被积函数的分母为xnx2±a2½或xna2-x2½形式时,常可通过倒代换t=1/x,消去分母中的xn的因子,当有理函数的分母比分子至少高一次幂时,倒代换通常有效.
④指数替换—被积函数含ex时,由t=ex,设x=㏑t;被积函数含ex+a½或ex-a½时,由ex+a½或ex-a½=t,设x=㏑t2-a或㏑t2+a.1根式代换题型.方法令,则.例题
72.求不定积分例题
73.求不定积分例题
74.求不定积分例题
75.求不定积分2三角换元法题型变换变换变换例题
76.求不定积分例题
77.求不定积分例题
78.求不定积分例题
79.求不定积分例题
80.求不定积分3倒代换例题
81.求不定积分4指数代换例题
82.求不定积分
4.分部积分法—适用于特定函数相乘时的积分公式1模型选取u=Pmx,v'x=eαx例题
83.求不定积分例题
84.求不定积分例题
85.求不定积分2或模型选取u=Pmx,v'x=cosβx或sinβx例题
86.求不定积分例题
87.求不定积分例题
88.求不定积分例题
89.求不定积分3或模型可以选取u=eαx,也可以选取cosβx或sinβx,最后利用解方程思想求解即可.例题
90.求不定积分4模型选取u=㏑ax+b或arcsincx+d、arctanmx+n,v'x=Pmx例题
91.求不定积分例题
92.求不定积分例题
93.求不定积分例题
94.求不定积分例题
95.求不定积分补充内容
5.含有绝对值的函数的积分例题
96.求不定积分例题
97.求不定积分
6.分段函数的积分例题
98.已知函数,求.
7.递推关系例题
99.求不定积分
8.特殊的变换例题
100.求不定积分
9.特殊的积分例题
101.求不定积分例题
102.求不定积分例题
103.求不定积分
10.三角有理函数的积分—万能代换公式由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.一般记为Rsinxcosx,则万能代换公式则注意
①三角有理式的计算中先考虑其它手段不得已才用万能代换.
②通常含有sin2x、cos2x及sinxcosx的有理式的积分时,用代换u=tanx往往更方便.例题
104.求不定积分例题
105.求不定积分例题
106.求不定积分七一元函数的定积分—有理分式函数、三角函数、无理根式函数、绝对值函数(分段函数)思路点拨
1.定积分的计算定积分计算的主要依据是牛顿—莱伯尼兹公式设,则.其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的,也有三个主要方法,但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法,注意积分限的变化.例题
1.计算定积分例题
2.计算定积分例题
3.计算定积分
2.特殊类函数的定积分计算1含有绝对值函数的定积分计算利用函数的可拆分性质,插入使绝对值为0的点,去掉绝对值,直接积分即可.例题
4.计算定积分例题
5.计算定积分2分段函数的定积分计算原理如同绝对值函数定积分的计算.例题
6.已知函数,求.例题
7.已知函数,求.3奇函数的定积分计算如果为定义在的奇函数,则,这是一个很重要考点.4偶函数的定积分计算如果为定义在的偶函数,则偶函数在对称区间上的定积分等于在区间[0a]上的定积分的两倍.这也是一个很重要的考点.
3.一些特殊的含有特定技巧的积分例题
8.计算定积分例题
9.计算定积分例题
10.计算定积分
4.定积分的综合运用例题
11.求.例题
12.计算定积分例题
13.设,在上连续,且,.求.例题
14.求其中为自然数.例题
15.求例题
16.已知两曲线与在点处的切线相同,其中,,试求该切线的方程并求极限.例题
17.试求正数与,使等式成立.例题
18.设,,,求并讨论的连续性.
5.广义积分的敛散性定义存在有限基本结论(其中)复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分的敛散性.例题
19.讨论的敛散性.例题
20.当为何值时,广义积分收敛?当为何值时,这个广义积分发散?又当为何值时,广义积分取得最小值?八定积分的几何应用—
1.求曲边图形的面积思路点拨1曲线及轴所围图形,如下图,面积微元,面积.2由上、下两条曲线及所围成的图形,如下页右图,面积微元,面积.3由左右两条曲线及所围成图形(图见下页)面积微元(注意,这时就应取横条矩形,即取为积分变量),面积.例题
1.求由与直线所围图形面积.例题
2.求由轴所围图形面积.例题
3.求由所围图形面积.例题
4.求由过抛物线y=上点的切线与抛物线本身及轴所围图形的面积.例题
5.过作抛物线两切线,求两切线与抛物线本身所围图形的面积.例题
6.由直线及抛物线围成一个曲边三角形,在曲边上求一点,使曲线在该点处的切线与直线的围成的三角形面积最大.
2.求在直角坐标系下旋转体的体积思路点拨设所给立体垂直于x轴的截面面积为Ax上连续则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为.例题
7.计算由和轴所围成的平面图形绕轴,轴分别旋转而得到的旋转体的体积.例题
8.已知抛物线1抛物线上哪一点处切线平行于轴?写出切线方程?2求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积.3求该平面图绕轴旋转所成的旋转体的体积.九求解一阶线性微分方程
1.一阶齐次线性常微分方程的解法—分离变量思路点拨一阶齐次线性常微分方程的基本型基本解法
①分离变量原则:y与dy扎堆,x与dx扎堆或者是各找各爹,各找各妈
②等式两边同时取不定积分例题
1.求解微分方程.例题
2.求解微分方程.例题
3.求解微分方程.例题
4.已知满足,求.
2.一阶线性常微分方程的解法—公式法思路点拨基本模型标准形.公式应用此公式要注意
①微分方程必须化为标准形式;
②不定积分不带C.例题
5.求解微分方程.例题
6.求解微分方程.十求二元函数的偏导数、全微分以及隐函数的求导思路点拨多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题1显式函数一阶偏导;2复合函数一阶偏导;3隐函数一阶偏导数.
1.显函数的一阶偏导数的求法函数z=fxy的两个偏导数求一阶偏导数时,分母是哪个变量就把另外一个变量看做是常数.
2.显函数的二阶偏导数的求法始终如一型三心二意型二阶混合偏导数求二阶偏导数时,分母中哪个变量在前就说明先对谁求的一阶偏导数.结论在连续条件下.例题
1.已知二元函数,求.例题
2.已知二元函数,求.例题
3.已知二元函数+,求.
3.二元复合函数的求导—连锁法则我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤例如,其中为已知可微三元函数,求.第一步变量的关系网络图其中1,2,3分别表示第二步寻找与对应的路径,计算的过程可以总结为“路中用乘,路间用加”同理,寻找与对应的路径,.例题
4.已知二元复合函数,求.例题
5.已知二元复合函数求.
4.隐函数一阶偏导由方程决定隐函数求偏导公式为,注意这里的Fx'指的是隐函数方程中将y和z看做是常数,仅仅对x求导数;同理,Fy'指的是隐函数方程中将x和z看做是常数,仅仅对y求导数、Fz'指的是隐函数方程中将x和y看做是常数,仅仅对z求导数.例题
6.已知隐函数方程由方程决定,求.例题
7.已知隐函数方程,求.
5.全微分,全微分,全微分例题
8.已知二元函数,求.例题
9.已知二元函数,求.例题
10.已知二元函数,求.十一多元函数的积分学—二重积分的计算
1.直角坐标系下二重积分的计算思路点拨总口诀陈氏穿线法后积先定常数限,先积方向正直穿;相交必须同一线,否则域内要分拆;隐含边界须周全,6类对称挂耳边;极坐标逆弧线,多种边界同园拆型区域型区域上述型,型区域的定限方法非常重要,将直角坐标下二重积分转换为累次积分,更复杂的区域可以看成(拆分)为若干型,型区域组合而成.例题
1.已知由在第一象限所围的区域,计算.例题
2.已知由曲线轴所围的区域,计算.例题
3.已知由曲线在(1,1)点处切线,本身,轴所围的区域,计算.例题
4.已知为从,连线PQ,正方形,去除右上角剩余部分,计算.
2.极坐标系下二重积分的计算思路点拨极坐标系下二重积分的计算公式为如下图所示能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定,而不是由区域特点所决定;使用极坐标方式有两种原位法平移法.选择的原则是使被积函数容易积出,一般来说,被积函数具有或形式时,使用极坐标会大大简化计算.如果选择不当会使积分求解复杂.常用结论例题
5.已知为计算.例题
6.已知为且,计算.例题
7.已知且,计算例题
8.已知为圆周与轴在第一象限所围部分,求.十二求幂级数的收敛半径、收敛域思路点拨1标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论x=±R处的敛散性.2非标准形式幂级数:
①通过换元转化为标准形式
②直接用比值法或根值法设lim▕an+1/an▏=ρ,则
①当ρ≠0时,R=1/ρ=c(c为非零常数);
②当ρ=0时,R=1/ρ=+∞;
③当ρ=+∞时,R=1/ρ=
0.例题
1.求下列幂级数的收敛域123例题
2.求下列幂级数的收敛域12例题
3.求下列幂级数的收敛半径12十三幂级数的和函数思路点拨
1.幂级数和函数的求法若对幂级数中的每一个都有,则称为幂级数的和函数.幂级数的部分和记为且部分和有如下性质
(1)定义法对于幂级数,若前项和函数列有极限,即存在,则此幂级数收敛,且.例如求幂级数的和函数,其中,.
(2)分项组合法我们通过观察可以发现有些幂级数具有某些明显的特征,比如可以将已知级数的通项拆项组合,再计算所拆得各项的和函数,从而求得该级数的和函数例如求的和函数.
(3)逐项求导与逐项积分法若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式,可考虑用“先积分,再求导”的做法;若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数,可考虑用“先求导,再积分”的做法定理设幂级数在内的和函数为,则
1.在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径
2.在内可以积分,且有逐项积分公式其中是内任意一点,积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径在函数项级数一致收敛的前提下,对其进行逐项微分或积分通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式,从而得到新级数的和函数;将得到的和函数做与之前相反的分析运算,便得到所求幂级数的和函数例如求幂级数的和函数.例如求幂级数的和函数.
(4)代数方程法此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程,并解之,从而得到原幂级数的和函数例如设有等差数列等比数列则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积所构成的级数为求其和函数其中为常数.例如求幂级数的和函数,其中为的次多项式
(5)微分方程法在幂级数中,有一类含有阶乘运算的幂级数,这种幂级数的和函数的求法,在现行高等数学教材中涉及的不多,因此成为很多同学学习的一个盲点此方法将通过实例介绍这类幂级数和函数的求法,把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题,也就是把幂级数的和函数微分后,再与原来幂级数作某种运算,得到一个含有幂级数和函数以及和函数导数的关系式,即微分方程最后求解此微分方程即得和函数例如求幂级数在下列情况下的和函数
①,即公差为的等差数列,其中为常数;
②,即公比为的等比数列,其中为常数.
(6)柯西方法如果级数与都绝对收敛,作这两个级数的乘积,其中,则也绝对收敛,且必有例如:求幂级数的和函数
(7)差分算子求和法此方法适用于通项系数是以为自变量的有限次多项式的幂级数求和问题若为任意实函数,为差分算子,则定义函数的一阶差分为阶差分为定理设为次多项式,则当时收敛,而且其和函数例如求幂级数的和函数.
2.函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式12例题
1.求下列级数的和函数123例题
2.将函数=1/3-x展开成x的幂级数.例题
3.将函数=1/x展开成x-1的幂级数.例题
4.设,试将展开成的幂级数.十四解析几何思路点拨
1.空间平面的方程
①点法式方程已知平面通过点(a,b,c),与平面垂直的一条直线的方向数为A,B,C,则这个平面的方程为.
②截距式方程已知平面在三个坐标轴上的截距为a,b,c,则可以得到平面的方程为,显然其中的a,b,c不能有一个为
0.
③三点式方程已知平面通过三点(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i),那么可以得到平面的方程为,显然这里的三点必须是不同的三点.
④法线式方程已知平面的法线的方向角与原点到平面的距离p,可以得到平面方程.
⑤一般式方程,这里A,B,C仍然可以看成是平面的某个法线的方向数.
2.空间中平面之间的位置关系已知平面
①平行关系两个平面平行的充要条件是.如果则两个平面重合
②两个平面垂直的充要条件为.
3.空间中的相关计算
①空间夹角公式一般地,如果两个平面的夹角为,则夹角的余弦为.
②点到平面的距离一点(a,b,c)到平面的距离为
4.空间直线的方程
①一般式方程把直线理解为两个平面的相交部分,得到方程.方向向量S=n1×n
2.
②点向式方程如果已知直线通过点(a,b,c),它的方向向量为S=p,q,r,则得到方程.
③两点式方程如果已知直线通过两点(a,b,c),(d,e,f),则得到方程.
④向量式方程已知直线与一个向量平行,并且直线通过一个矢径的端点,则得到方程.
⑤参数式方程{x=x0+mt{y=y0+nt其中t为参数.{z=z0+pt
5.空间直线之间的位置关系已知直线L1x-x1/m1=y-y1/n1=z-z1/p1,方向向量S1=m1n1p1,过点M1x1y1z1和直线L2x-x2/m2=y-y2/n2=z-z2/p2,方向向量S2=m2n2p2,过点M2x2y2z
2.
①两直线平行L1∥L2↔S1∥S2↔m1/m2=n1/n2=p1/p2;
②两直线垂直L1⊥L2↔S1⊥S2↔m1m2+n1n2+p1p2=
0.
6.直线与平面的位置关系已知空间中一条直线L的方程为x-x0/m=y-y0/n=z-z0/p,方向向量S=mnp,定点Mx0y0z0;空间中有一平面π的方程为法向量n=ABC.
①直线在平面上Am+Bn+Cp=0,且Ax0+By0+Cz0+D=0(n⊥S,M0∈π);
②直线与平面平行L∥π↔n⊥S↔Am+Bn+Cp=0;
③直线与平面垂直L⊥π↔n∥S↔A/m=B/n=C/p.
7.空间直线的相关计算
①两直线之间的距离.
②对于一条参数式方程的直线和一个一般式方程的平面,可以得到它们之间的夹角的正弦为.例题
1.求过三点的平面方程.例题
2.求过点且通过的平面方程.例题
3.求过点且与直线垂直的平面方程.例题
4.求点到平面的距离.图示
8.1图示
8.2PAGE20。