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推导公式a+b+c/sinA+sinB+sinC=2R其中,R为外接圆半径由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*sinA+sinB+sinC带入a+b+c/sinA+sinB+sinC=2R*sinA+sinB+sinC/sinA+sinB+sinC=2R两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinBsinA-B=sinAcosB-cosAsinBcosA+B=cosAcosB-sinAsinBcosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanBcotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotAcotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA倍角公式Sin2A=2SinACosA对数的性质及推导用^表示乘方,用logab表示以a为底,b的对数*表示乘号,/表示除号定义式若a^n=ba0且a≠1则n=logab基本性质
1.a^logab=b
2.logaMN=logaM+logaN;
3.logaM/N=logaM-logaN;
4.logaM^n=nlogaM推导
1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得把定义式中的[n=logab]带入a^n=b
2.MN=M*N由基本性质1换掉M和Na^[logaMN]=a^[logaM]*a^[logaN]由指数的性质a^[logaMN]=a^{[logaM]+[logaN]}又因为指数函数是单调函数,所以logaMN=logaM+logaN
3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1换掉M和Na^[logaM/N]=a^[logaM]/a^[logaN]由指数的性质a^[logaM/N]=a^{[logaM]-[logaN]}又因为指数函数是单调函数,所以logaM/N=logaM-logaN
4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1换掉Ma^[logaM^n]={a^[logaM]}^n由指数的性质a^[logaM^n]=a^{[logaM]*n}又因为指数函数是单调函数,所以logaM^n=nlogaM其他性质性质一换底公式logaN=logbN/logba推导如下N=a^[logaN]a=b^[logba]综合两式可得N={b^[logba]}^[logaN]=b^{[logaN]*[logba]}又因为N=b^[logbN]所以b^[logbN]=b^{[logaN]*[logba]}所以logbN=[logaN]*[logba]{这步不明白或有疑问看上面的}所以logaN=logbN/logba性质二(不知道什么名字)loga^nb^m=m/n*[logab]推导如下由换底公式[lnx是logexe称作自然对数的底]loga^nb^m=lna^n/lnb^n由基本性质4可得loga^nb^m=[n*lna]/[m*lnb]=m/n*{[lna]/[lnb]}再由换底公式loga^nb^m=m/n*[logab]--------------------------------------------(性质及推导完)公式三:logab=1/logba证明如下:由换底公式logab=logbb/logba----取以b为底的对数logbb=1=1/logba还可变形得:logab*logba=1平方关系sin^2α+cos^2α=1tan^2α+1=sec^2αcot^2α+1=csc^2α·商的关系tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式sinα=2tanα/2/[1+tan^2α/2]cosα=[1-tan^2α/2]/[1+tan^2α/2]tanα=2tanα/2/[1-tan^2α/2]常用的诱导公式有以下几组公式一设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα以上k∈Z一般的最常用公式有:SinA+B=SinA*CosB+SinB*CosASinA-B=SinA*CosB-SinB*CosACosA+B=CosA*CosB-SinA*SinBCosA-B=CosA*CosB+SinA*SinBTanA+B=TanA+TanB/1-TanA*TanBTanA-B=TanA-TanB/1+TanA*TanB平方关系sin^2α+cos^2α=1tan^2α+1=sec^2αcot^2α+1=csc^2α·积的关系sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中角A的正弦值就等于角A的对边比斜边余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ·辅助角公式Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2sinα+t,其中sint=B/A^2+B^2^1/2cost=A/A^2+B^2^1/2·倍角公式sin2α=2sinα·cosα=2/tanα+cotαcos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2αtan2α=2tanα/[1-tan^2α]·三倍角公式sin3α=3sinα-4sin^3αcos3α=4cos^3α-3cosα·半角公式sinα/2=±√1-cosα/2cosα/2=±√1+cosα/2tanα/2=±√1-cosα/1+cosα=sinα/1+cosα=1-cosα/sinα·降幂公式sin^2α=1-cos2α/2=versin2α/2cos^2α=1+cos2α/2=vercos2α/2tan^2α=1-cos2α/1+cos2α·万能公式sinα=2tanα/2/[1+tan^2α/2]cosα=[1-tan^2α/2]/[1+tan^2α/2]tanα=2tanα/2/[1-tan^2α/2]·积化和差公式sinα·cosβ=1/2[sinα+β+sinα-β]cosα·sinβ=1/2[sinα+β-sinα-β]cosα·cosβ=1/2[cosα+β+cosα-β]sinα·sinβ=-1/2[cosα+β-cosα-β]·和差化积公式sinα+sinβ=2sin[α+β/2]cos[α-β/2]sinα-sinβ=2cos[α+β/2]sin[α-β/2]cosα+cosβ=2cos[α+β/2]cos[α-β/2]cosα-cosβ=-2sin[α+β/2]sin[α-β/2]·其他sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0以及sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示由泰勒级数易得sinx=[e^ix-e^-ix]/2icosx=[e^ix+e^-ix]/2tanx=[e^ix-e^-ix]/[ie^ix+ie^-ix]泰勒展开有无穷级数,e^z=expz=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…此时三角函数定义域已推广至整个复数集·三角函数作为微分方程的解对于微分方程组y=-y;y=y,有通解Q可证明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数补充由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣特殊三角函数值a0`30`45`60`90`sina01/2√2/2√3/21cosa1√3/2√2/21/20tana0√3/31√3NonecotaNone√31√3/30三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxnn=
0..∞c0+c1x-a+c2x-a2+...+cnx-an+...=∑cnx-ann=
0..∞它们的各项都是正整数幂的幂函数其中c0c1c
2...cn...及a都是常数这种级数称为幂级数.泰勒展开式幂级数展开法:fx=fa+fa/1!*x-a+fa/2!*x-a2+...fna/n!*x-an+...实用幂级数ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...ln1+x=x-x2/3+x3/3-...-1k-1*xk/k+...|x|1sinx=x-x3/3!+x5/5!-...-1k-1*x2k-1/2k-1!+...-∞x∞cosx=1-x2/2!+x4/4!-...-1k*x2k/2k!+...-∞x∞arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5+...|x|1arccosx=π-x+1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5+...|x|1arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...x≤1sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...-1k-1*x2k-1/2k-1!+...-∞x∞coshx=1+x2/2!+x4/4!+...-1k*x2k/2k!+...-∞x∞arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5-...|x|1arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...|x|1--------------------------------------------------------------------------------傅立叶级数三角级数fx=a0/2+∑n=
0..∞ancosnx+bnsinnxa0=1/π∫π..-πfxdxan=1/π∫π..-πfxcosnxdxbn=1/π∫π..-πfxsinnxdx注意正切也可以表示为“Tg”如TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1三角函数公式两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinBsinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinBcosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanBctgA+B=ctgActgB-1/ctgB+ctgActgA-B=ctgActgB+1/ctgB-ctgA倍角公式tan2A=2tanA/1-tan2Actg2A=ctg2A-1/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sinA/2=√1-cosA/2sinA/2=-√1-cosA/2cosA/2=√1+cosA/2cosA/2=-√1+cosA/2tanA/2=√1-cosA/1+cosAtanA/2=-√1-cosA/1+cosActgA/2=√1+cosA/1-cosActgA/2=-√1+cosA/1-cosA和差化积2sinAcosB=sinA+B+sinA-B2cosAsinB=sinA+B-sinA-B2cosAcosB=cosA+B-sinA-B-2sinAsinB=cosA+B-cosA-BsinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2tanA+tanB=sinA+B/cosAcosBtanA-tanB=sinA-B/cosAcosBctgA+ctgBsinA+B/sinAsinB-ctgA+ctgBsinA+B/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=nn+1/21+3+5+7+9+11+13+15+…+2n-1=n22+4+6+8+10+12+14+…+2n=nn+112+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=nn+12n+1/613+23+33+43+53+63+…n3=n2n+12/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+nn+1=nn+1n+2/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注角B是边a和边c的夹角弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2*l*r乘法与因式分a2-b2=a+ba-ba3+b3=a+ba2-ab+b2a3-b3=a-ba2+ab+b2三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√b2-4ac/2a-b-√b2-4ac/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注韦达定理判别式b2-4ac=0注方程有两个相等的实根b2-4ac0注方程有两个不等的实根b2-4ac0注方程没有实根,有共轭复数根降幂公式(sin^2)x=1-cos2x/2(cos^2)x=i=cos2x/2万能公式令tana/2=tsina=2t/1+t^2cosa=1-t^2/1+t^2。