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文本内容:
2008年暑假补课数学教案---------必修二之立体几何部分第二章小结108年7月7日
(1)点、直线、平面的位置关系
(一)知识回顾,整体认识
1、本章知识回顾
(1)空间点、线、面间的位置关系
(2)直线、平面平行的判定及性质
(3)直线、平面垂直的判定及性质
(二)整合知识,发展思维
1、公理1——判定直线是否在平面内的依据;公理2——提供确定平面最基本的依据;公理3——判定两个平面交线位置的依据;公理4——判定空间直线之间平行的依据
2、空间问题解决的重要思想方法化空间问题为平面问题;
3、空间平行、垂直之间的转化与联系
(三)应用举例,深化巩固例
1、已知,为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是(D)A.B.C.D.
2、设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( D )A.若与所成的角相等,则B.若,,则C.若,则D.若,,则
3、如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点.求证平面;解:证OE∥PB
4、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证面AB1D1∥面BDC1解:通过两相交直线的平行可证明.5.如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.
(1)证明//平面;解:证FO∥EG巩固训练A组题
一、选择题1.有四个命题
1、直线在平面内,直线在平面内,且相交,则平面与重合;
2、直线共面,直线相交,则直线共面
(3)、直线在平面内,与平行,则与面没有公共点;
(4)、有三个公共点的两个平面一定重合;以上命题中错误命题的个数是C((A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
2、已知,则等于(B)ABCD以上几个都不对
3、如果直线直线b,且a//平面,那么b与的位置关系是(D)A相交BCD
4、下列语句中,正确的个数为(A)
(1)一条直线和另一条直线平行,它和经过另一条直线的任何平面平行;
(2)一条直线和一个平面平行,它和这个平面内的任何直线平行;
(3)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条;
(4)平行于同一个平面的两条直线互相平行A0B1C2D
35、如右图,ABCD--是正方体,分别为所在棱的中点,则下列结论正确的是(B)和为平行直线,和为相交直线和为平行直线,和为相交直线和为相交直线,和为异面直线和为异面直线,和也是异面直线
二、填空题
6、已知是两条异面直线,a上有三个点,b上有两个点,这些点可确定5个平面7.不共线的三个平面两两相交,可将空间分成7或者8个部分.
8、在正方体的六个表面中,与异面组成角的对角线共有4条
9、长方体ABCD--中,已知三条棱,,,则异面直线与所成的角的度数为60°
三、解答题10.已知在正方体中,E、F分别是的中点,求证平面平面
11、已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证AM面EFG
12、如图,四边形ABCD是矩形,面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F,求证四边形BCFE是梯形B组题
四、选择题13.Ab是异面直线,AB是a上的两点,CD是b上的两点,MN分别是线段ACBD的中点,则MN和a的位置关系为(A)A异面B平行C相交D以上三种关系都有可能14.如图所示,在正方体中,M为AB的中点,则异面直线与CM所成角的余弦值为(D)ABCD
15、已知直线与直线垂直,平行于平面,则与平面的位置关系是(D)A.B.C.与平面相交D.以上都有可能
16、是空间四边形,分别是四条边的任意四点,则下列结论正确的是(D)A.和是相交直线B.EH和FG是平行直线C.和是异面直线D.以上情况都有可能
17、正方体中,、、分别是、、的中点.那么正方体的过、、的截面图形是(D)A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形
五、填空题18.三个平面将空间最少分成部分,最多分成部分,则等于12.19.三条直线中有两条平行,第三条和这两条都相交时确定1个平面;三条直线交于一点时可确定__1或者3个平面;三条直线互相平行时,最多可确定3个平面20.连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是
②③⑤(填写所有正确选项的序号)
①菱形
②有3条边相等的四边形
③梯形
④平行四边形
⑤有一组对角相等的四边形21.已知m、n是不同的直线,是不重合的平面,给出下列命题
①若则
②若则
③m、n是两条异面直线,若则上面命题中,真命题的序号是_____
③_______写出所有真命题的序号
六、解答题22.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为
(1)、求△AB1D1的面积;
(2)、求三棱锥的体积解、
①②EQ\f323.已知直四棱柱中,,底面是直角梯形,,,,,,求异面直线与所成的角的余弦值解:为EQ\f
31724、过正方体的棱作一平面交平面于,求证//第二章小结
(2)08年7月8日
(一)知识回顾,整体认识
1.直线和平面垂直的判定及性质;
2.平面和平面垂直的判定及性质.
(二)应用举例,深化巩固
1、如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证VB⊥AC.
2、过△ABC所在平面外一点P,作PO⊥,垂足为O,连接PA,PB,PC.1若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的中点.2若PA=PB=PC,则点O是△ABC的外心.3若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的垂心.
3、如图,已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证AH⊥平面BCD.
4.已知ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,BE⊥PC,E为垂足.求证平面BDE⊥平面PBC.解:PC⊥面BDE训练提高练习:C组题
七、选择或填空题
25、平面平面,平面平面,平面平面,若,则与的位置关系是(D)A.与异面B.与相交C.至少与中的一条相交D.与都平行26.平面过直线外的两点,若要这个平面与平行,则这样的平面有(D)A无数个B一个C不存在D上述情况都有可能
八、解答题27.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1求BF的长;解:2注意到AE∥FC128.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证MN∥平面BCE29.(08高考宁夏18)(本小题满分12分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和侧视图在下面画出(单位cm)(Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(Ⅲ)在所给直观图中连结,证明面.解:俯视图为:第二章小结
(3)08年7月9日
(一)知识回顾,整体认识
1.异面直线所成角;
2.直线与平面所成角;
3.两平面所成角.
(二)应用举例,深化巩固例
1.已知空间四边形ABCD中,P、Q分别是AB、CD的中点,且PQ=3,AC=4,BD=2,AC与BD所成角的大小.例
2.已知四面体ABCD的各棱长均相等,E、F分别为AB、CD的中点,求EF与AC所成角的大小.例
3.在四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,△ABD为等边三角形,CD⊥BD,∠DBC=30o.1求二面角A-DC-B的大小;2求二面角A-BC-D的平面角的正切值;3求二面角D-AB-C的平面角的正切值.解:注意三垂线法的应用与讲解.例
4.圆台上、下底面半径分别为
2、4,O1A
1、OB分别为上、下底面的半径,二面角A1-OO1-B是60o,圆台母线与底面成60o角.1求A1B和OO1所成角的正切值;2求圆台的侧面积及体积.解;注意概念的转化实为一个三棱台的问题.例
5.在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90o,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点,求CD与平面ADMN所成角的正弦.解:注意到BN⊥面ADMN第二章小结
(4)——空间距离08年7月10日
一、复习目的:1.掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理;(对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离)2.掌握点、直线到平面的距离,直线和平面所成的角;3.掌握平行平面间的距离,会求二面角及其平面角;
二、教学过程1.基本知识
(1)空间中的距离是立体几何的重要内容,其内容主要包括点点距,点线距,点面距,线线距,线面距,面面距其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因此,掌握点、线、面之间距离的概念,理解距离的垂直性和最近性,理解距离都指相应线段的长度,懂得几种距离之间的转化关系,所有这些都是十分重要的
(2)求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离
(3)点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′,则线段PP′的长度就是点到平面的距离;求法“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来等体积法
(4)直线与平面的距离一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离;
(5)平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离求距离的一般方法和步骤应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法,把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之,其一般步骤是
①找出或作出表示有关距离的线段;
②证明它符合定义;
③归到解某个三角形.若表示距离的线段不容易找出或作出,可用体积等积法计算求之
2、举例分析例
1、正方形ABCD的边长是2,E、F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示).M为矩形AEFD内一点,如果∠MBE=∠MBC,MB和平面BCFE所成角的正切值为,那么点M到直线EF的距离为EQ\f2例2.如图,四面体ABCD中,O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2△ABD为等腰直角三角形(Ⅰ)求证AO⊥平面BCD;(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离解:注意平移之后再求距离的问题的应用.★【例题3】、如图四棱锥的底面为菱形且的中点.1求直线与平面所成角的大小;2求二面角的平面角的正切值;3在线段上是否存在一点使成立如果存在求出的长;如果不存在请说明理由.解;本题最好使用几何法加以处理.★【例题4】、如图直平行六面体ABCD-A′B′C′D′的底面ABCD是边长为2的菱形∠BAD=60°E为AB的中点二面角A′-ED-A为60°;
(1)、求证平面A′ED⊥平面ABB′A′;
(2)、求二面角A′-ED-C′的大小;
(3)、求点C′到平面A′ED的距离解:本题第一问最好用几何法处理第二问要注意到A′E⊥ED且C′D⊥ED再用向量法处理;第三问则最好用向量法去处理.【例题5】如图,在正方体ABCD—A′B′C′D′中,EF是异面直线AC与A′D的公垂线则由正方体的八个顶点所连接的直线中与EF平行的直线AA有且只有一条B有二条C有四条D不存在★【例题6】如图所示,在单位正方体ABCD-A′B′C′D′中,若四边形A′ABB′的对角线A′B上存在一点P使得AP+D′P最小,则AP+D′P的最小值是_____解:EQ\r2+考虑图形的翻折去处理.
一、两个平面垂直
1、生活实例教室中黑板面与地面间关系,打开的手提电脑……
2、几何意义
①直二面角
②法向量互相垂直的两个平面
二、判定方法方法1判定定理
①文字表述
②数学符号语言aα且a⊥β则α⊥β→思路在一个平面之内找出一条直线,证明它垂直于另一个平面方法2求出该二面角的平面角等于90度方法3向量法计算出两个平面的法向量EQ\o\acn1·EQ\o\acn2=0
三、性质性质定理
①文字表述
②数学符号语言α⊥βaαα∩β=La⊥L即a⊥β思路空间做垂线时,找垂足位置的依据——要做垂线,先找垂直平面与交线垂面可见,垂足可做
(3)基础演练题1如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=AD=1,则
(1)直线BC到平面PAD的距离为______1_____(找)
(2)点D到平面PAC的距离为________/3__(做)
(3)点C到平面PAB的距离为______/2____(先转化→再做)题2填空
(1)平面α∥平面β,平面β⊥平面γ,则平面α与平面γ的位置关系为_______⊥γ__2平面α⊥平面β平面β⊥平面γ,则平面α与平面γ的位置关系为____∥γ或与γ相交_____.3直线a⊥平面α,直线a⊥平面β,则平面α与平面β的位置关系为____∥_____.
(4)直线a⊥平面α,直线b⊥平面β,直线a⊥直线b则平面α与平面β的位置关系___⊥.题3已知m、n、l为不同的直线,α、β、γ为不同的平面,则真命题序号有__
①②④_______
①α⊥γβ∥γ则α⊥β
②l∥αl⊥β则α⊥β
③m⊥αnβm⊥n则α⊥β
④α∥β m⊥α n∥β则m⊥n
⑤α⊥βα∩β=m n⊥m 则n⊥β
⑥β∩γ=ll∥αmαm⊥γ则l⊥mm∥β题4三角形ABC中 AB=BC=1,∠ABC=120o将三角形ABC所在平面沿BC边所在的直线旋转90o之后,得到平面A′BC,
(1)求AA′与平面A′BC所成角的大小?
(2)求二面角A-BA′-C的平面角的大小?
(3)求点B到平面AA′C的距离?
(4)巩固练习题
1、斜三棱柱ABC-A′B′C′中∠BAC=90o,且BC′⊥AC,过C′做C′H⊥平面ABC,垂足为H,则(B)A、点H落于直线AC上B、点H落于直线AB上C、点H落于直线BC上D、点H落于三角形ABC之内题
2、在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且ABCD为菱形,M在PC边上滑动,则当点M满足___MB⊥PC______时平面MBD⊥平面PCD题3四棱锥P-ABCD中,侧面PCD为正△,且与底面ABCD垂直,已知底面ABCD为菱形,其边长为2,且∠ADC=60o,M为PB中点1求证PA⊥CD2求PB与底面ABCD所成的角3求证平面CDM⊥平面PAB解:注意到PA⊥面CDMN
(5)回味高考题1(湖南05年文科4题)正方体ABCD-A′B′C′D′中棱长为1,E为A′B′中点,则E到平面ABC′D′距离为(B)AEQ\f2BEQ\f2CDEQ\f3题2(湖南05年文科15题)平面α、β和直线m,给出条件
①m∥α
②m⊥α
③mα
④α⊥β
⑤α∥β则1当满足条件___
③⑤______时有m∥β2当满足条件____
②⑤_____时有m⊥β题3(06年全国文7题)平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角为45o、30o过A、B分别做两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,设AB=12,则A′B′=(B)A、4B、6C、8D、9归纳总结
(2)求距离的一般方法和步骤是一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就是所要求的距离;三算——计算其值.此外,我们还常用体积法求点到平面的距离.
(3)求距离的关键是化归即空间距离与角向平面距离与角化归,各种具体方法如下
①求空间中两点间的距离,一般转化为解直角三角形或斜三角形
②求点到直线的距离和点到平面的距离,一般转化为求直角三角形斜边上的高;或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高,即用体积法高一数学必修2立体几何测试题自测用
一、选择题50分
1、线段在平面内,则直线与平面的位置关系是A、B、C、由线段的长短而定D、以上都不对
2、下列说法正确的是A、三点确定一个平面B、四边形一定是平面图形C、梯形一定是平面图形D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点
3、垂直于同一条直线的两条直线一定A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能
4、在正方体中,下列几种说法正确的是A、B、C、与成角D、与成角
5、若直线∥平面,直线,则与的位置关系是A、∥B、与异面C、与相交D、与没有公共点
6、下列命题中
(1)、平行于同一直线的两个平面平行;
(2)、平行于同一平面的两个平面平行;
(3)、垂直于同一直线的两直线平行;
(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A、1B、2C、3D、
47、在空间四边形各边上分别取四点,如果与能相交于点,那么A、点必在直线上B、点必在直线BD上C、点必在平面内D、点必在平面外
8、a,b,c表示直线,M表示平面,给出下列四个命题
①若a∥M,b∥M,则a∥b;
②若bM,a∥b,则a∥M;
③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;
④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确命题的个数有A、0个B、1个C、2个D、3个
9、一个棱柱是正四棱柱的条件是底面是正方形,有两个侧面是矩形B、底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱
10、在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体则截去8个三棱锥后剩下的凸多面体的体积是A、B、、D、
二、填空题
11、已知二面角的平面角是锐角,内一点到的距离为3,点C到棱的距离为4,那么的值等于______
12、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上,AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积为______
13、
1、等体积的球和正方体它们的表面积的大小关系是_____填”大于、小于或等于”.
2、正方体中,平面和平面的位置关系为
14、已知垂直平行四边形所在平面,若,平行则四边形一定是.
15、如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件_________时,有A1B⊥B1D1.注填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.
三、解答题
16、已知圆台的上下底面半径分别是
2、5且侧面面积等于两底面面积之和求该圆台的母线长.10分
17、已知中,面,,求证面.
18、一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器试建立容器的容积与的函数关系式并求出函数的定义域.12分
19、已知正方体,是底对角线的交点.求证(1)∥面;
(2)面.
20、已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且(Ⅰ)求证不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?14分
21、已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是、边长为的菱形,又,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明DN//平面PMB;
(2)证明平面PMB平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.参考答案ACDDDBCBDDDB
13、
14、
15、
16、
17、解:设圆台的母线长为则圆台的上底面面积为圆台的上底面面积为所以圆台的底面面积为又圆台的侧面积于是即为所求.
20、解依题意函数的定义域为
22、证明(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.又∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,∴由AB2=AE·AC得故当时,平面BEF⊥平面ACD.平面(公理
1、公理
2、公理
3、公理4)空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直64422EDABCFG2PAGE。