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3.1 导数的概念及其运算2014高考会这样考
1.利用导数的几何意义求切线方程;
2.考查导数的有关计算,尤其是简单的复合函数求导.复习备考要这样做
1.理解导数的意义,熟练掌握导数公式和求导法则;
2.灵活进行复合函数的求导;
3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程.1.函数y=fx从x1到x2的平均变化率函数y=fx从x1到x2的平均变化率为,若Δx=x2-x1,Δy=fx2-fx1,则平均变化率可表示为.2.函数y=fx在x=x0处的导数1定义称函数y=fx在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=fx在x=x0处的导数,记作f′x0或y′|x=x0,即f′x0==.2几何意义函数fx在点x0处的导数f′x0的几何意义是在曲线y=fx上点x0,fx0处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-fx0=f′x0x-x0.3.函数fx的导函数称函数f′x=为fx的导函数,导函数有时也记作y′.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数fx=cc为常数f′x=__0__fx=xnn∈Q*f′x=nxn-1fx=sinxf′x=cos_xfx=cosxf′x=-sin_xfx=axa0f′x=axln_afx=exf′x=exfx=logaxa0,且a≠1f′x=fx=lnxf′x=
5.导数的运算法则1[fx±gx]′=f′x±g′x;2[fx·gx]′=f′xgx+fxg′x;3′=gx≠0.6.复合函数的导数复合函数y=fgx的导数和函数y=fu,u=gx的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.[难点正本 疑点清源]1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系1函数fx在点x0处的导数f′x0是一个常数;2函数y=fx的导函数,是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y=fx在区间a,b内每一点x都可导,是指对于区间a,b内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′x0.这样就在开区间a,b内构成了一个新函数,就是函数fx的导函数f′x.在不产生混淆的情况下,导函数也简称导数.2.曲线y=fx“在点Px0,y0处的切线”与“过点Px0,y0的切线”的区别与联系1曲线y=fx在点Px0,y0处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′x0的切线,是唯一的一条切线.2曲线y=fx过点Px0,y0的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.1.f′x是函数fx=x3+2x+1的导函数,则f′-1的值为________.答案 3解析 ∵f′x=x2+2,∴f′-1=-12+2=
3.
2.如图,函数y=fx的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f5+f′5=______.答案 2解析 如图可知,f5=3,f′5=-1,因此f5+f′5=
2.3.已知fx=x2+3xf′2,则f′2=________.答案 -2解析 由题意得f′x=2x+3f′2,∴f′2=2×2+3f′2,∴f′2=-
2.4.已知点P在曲线fx=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于3x-y=0,则点P的坐标为________.答案 10解析 由题意知,函数fx=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f′x0=4x-1=3,∴x0=1,将其代入fx中可得P10.5.曲线y=在点-1,-1处的切线方程为____________.答案 y=2x+1解析 易知点-1,-1在曲线上,且y′==,∴切线斜率k=y′|x=-1==
2.由点斜式得切线方程为y+1=2x+1,即y=2x+
1.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数fx=x3在x=x0处的导数,并求曲线fx=x3在x=x0处的切线与曲线fx=x3的交点.思维启迪正确理解导数的定义,理解导数的几何意义是本题的关键.解 f′x0===x2+xx0+x=3x.曲线fx=x3在x=x0处的切线方程为y-x=3x·x-x0,即y=3xx-2x,由得x-x02x+2x0=0,解得x=x0,x=-2x
0.若x0≠0,则交点坐标为x0,x,-2x0,-8x;若x0=0,则交点坐标为00.探究提高 求函数fx的导数步骤1求函数值的增量Δf=fx2-fx1;2计算平均变化率=;3计算导数f′x=.利用导数的定义,求1fx=在x=1处的导数;2fx=的导数.解 1∵======,∴f′1===-.2∵====,∴f′x===-.题型二 导数的运算例2 求下列函数的导数1y=ex·lnx;2y=x;3y=sin2;4y=ln2x+5.思维启迪求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导.解 1y′=ex·lnx′=exlnx+ex·=exlnx+.2∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.3设y=u2,u=sinv,v=2x+,则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=4sin·cos=2sin.4设y=lnu,u=2x+5,则y′x=y′u·u′x,因此y′=·2x+5′=.探究提高 1求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;2有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;3复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.求下列各函数的导数1y=+;2y=;3y=1+sinx2;4y=ln.解 1∵y=+=,∴y′=′==.2∵y==cosx-sinx,∴y′=-sinx-cosx.3设u=1+sinx,则y=1+sinx2,由y=u2与u=1+sinx复合而成.因此y′=f′u·u′=2u·cosx=2cosx1+sinx.4y′=ln′=·′=·x2+1-·x2+1′=.题型三 导数的几何意义例3 已知曲线y=x3+.1求曲线在点P24处的切线方程;2求曲线过点P24的切线方程;3求斜率为1的曲线的切线方程.思维启迪求曲线的切线方程,方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.解 1∵P24在曲线y=x3+上,且y′=x2,∴在点P24处的切线的斜率为y′|x=2=
4.∴曲线在点P24处的切线方程为y-4=4x-2,即4x-y-4=
0.2设曲线y=x3+与过点P24的切线相切于点A,则切线的斜率为y′|x=x0=x.∴切线方程为y-=xx-x0,即y=x·x-x+.∵点P24在切线上,∴4=2x-x+,即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,∴xx0+1-4x0+1x0-1=0,∴x0+1x0-22=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=
0.3设切点为x0,y0,则切线的斜率为x=1,x0=±
1.切点为-11或,∴切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,即x-y+2=0或3x-3y+2=
0.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件1函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标.2切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P11,且在点Q2,-1处与直线y=x-3相切,求实数a、b、c的值.解 ∵y′=2ax+b,∴抛物线在点Q2,-1处的切线斜率为k=y′|x=2=4a+b.∴4a+b=
1.
①又∵点P
11、Q2,-1在抛物线上,∴a+b+c=1,
②4a+2b+c=-
1.
③联立
①②③解方程组,得∴实数a、b、c的值分别为
3、-
11、
9.一审条件挖隐含典例12分设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.1求a,b之间的关系;2求ab的最大值.审题路线图C1与C2有交点↓可设C1与C2的交点为x0,y0过交点的两切线互相垂直↓切线垂直隐含着斜率间的关系两切线的斜率互为负倒数↓利用导数求两切线的斜率k1=2x0-2,k2=-2x0+a↓2x0-2-2x0+a=-1
①↓交点x0,y0适合解析式,即2x-a+2x0+2-b=0
②↓a+b=↓ab=a=-2+当a=时,ab最大且最大值为.规范解答解 1对于C1y=x2-2x+2,有y′=2x-2,[1分]对于C2y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,[2分]设C1与C2的一个交点为x0,y0,由题意知过交点x0,y0的两切线互相垂直.∴2x0-2-2x0+a=-1,即4x-2a+2x0+2a-1=0
①又点x0,y0在C1与C2上,故有⇒2x-a+2x0+2-b=0
②由
①②消去x0,可得a+b=.[6分]2由1知b=-a,∴ab=a=-2+.[9分]∴当a=时,ab最大值=.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切入点是两条曲线有交点Px0,y0,交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′x0与fx0′是不一样的,f′x0代表函数fx在x=x0处的导数值,不一定为0;而fx0′是函数值fx0的导数,而函数值fx0是一个常量,其导数一定为0,即fx0′=
0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.失误与防范1.利用导数定义求导数时,要注意到x与Δx的区别,这里的x是常量,Δx是变量.2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.3.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A组 专项基础训练时间35分钟,满分57分
一、选择题每小题5分,共20分1.若函数fx=ax4+bx2+c满足f′1=2,则f′-1等于 A.-1B.-2C.2D.0答案 B解析 f′x=4ax3+2bx,∵f′x为奇函数且f′1=2,∴f′-1=-
2.2.已知fx=xlnx,若f′x0=2,则x0等于 A.e2B.eC.D.ln2答案 B解析 fx的定义域为0,+∞,f′x=lnx+1,由f′x0=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为 A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0答案 A解析 切线l的斜率k=4,设y=x4的切点的坐标为x0,y0,则k=4x=4,∴x0=1,∴切点为11,即y-1=4x-1,整理得l的方程为4x-y-3=
0.4.2011·大纲全国曲线y=e-2x+1在点02处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 A.B.C.D.1答案 A解析 ∵y′=-2e-2x,k=y′|x=0=-2e0=-2,∴切线方程为y-2=-2x-0,即y=-2x+
2.如图,∵y=-2x+2与y=x的交点坐标为,,y=-2x+2与x轴的交点坐标为10,∴S=×1×=.
二、填空题每小题5分,共15分5.若以曲线y=x3+bx2+4x+cc为常数上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数b的取值范围为__________.答案 [-22]解析 y′=x2+2bx+4,∵y′≥0恒成立,∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤
2.6.设函数fx的导数为f′x,且fx=f′sinx+cosx,则f′=________.答案 -解析 因为fx=f′sinx+cosx,所以f′x=f′cosx-sinx,所以f′=f′cos-sin,即f′=-1,所以fx=-sinx+cosx,故f′=-cos-sin=-.7.已知函数fx,gx满足f5=5,f′5=3,g5=4,g′x=1,则函数y=的图象在x=5处的切线方程为____________.答案 5x-16y+3=0解析 由y==hx知y′=h′x=,得h′5===.又h5===,所以切线方程为y-=x-5,即5x-16y+3=
0.
三、解答题共22分8.10分已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.1求P0的坐标;2若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.解 1由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解之得x=±
1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-
4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为-1,-4.2∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为-.∵l过切点P0,点P0的坐标为-1,-4,∴直线l的方程为y+4=-x+1,即x+4y+17=
0.9.12分已知函数fx=在x=处的切线为l,直线gx=kx+与l平行,求fx的图象上的点到直线gx的最短距离.解 因为fx=,所以f′x=.所以切线l的斜率为k=f′=1,切点为T.所以切线l的方程为x-y+=
0.因为切线l与直线gx=kx+平行,所以k=1,即gx=x+.fx的图象上的点到直线gx=x+的最短距离为切线l x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,所以所求最短距离为=.B组 专项能力提升时间25分钟,满分43分
一、选择题每小题5分,共15分1.若函数fx=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′x的大致图象是 答案 A解析 ∵fx=x2+bx+c=2-+c,由fx的图象的顶点在第四象限得-0,∴b
0.又f′x=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选A.2.2011·湖南曲线y=-在点M处的切线的斜率为 A.-B.C.-D.答案 B解析 ∵y′==.故y′|x==,∴曲线在点M处的切线的斜率为.3.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 A.B.C.D.答案 D解析 设曲线在点P处的切线斜率为k,则k=y′==.因为ex0,所以由基本不等式可得k≥=-
1.又k0,所以-1≤k0,即-1≤tanα
0.所以≤απ.故选D.
二、填空题每小题5分,共15分4.若函数fx=-x3+f′1x2-f′2x+5,则曲线fx在点0,f0处的切线l的方程为________.答案 x-y+5=0解析 f′x=-x2+f′1·x-f′2,∴,∴f′2=-1,f′1=
1.∴fx=-x3+x2+x+5,f′x=-x2+x+
1.∴f′0=1,f0=
5.∴曲线fx在点0,f0处的切线方程为y=x+
5.
5.已知函数y=fx及其导函数y=f′x的图象如图所示,则曲线y=fx在点P处的切线方程是__________.答案 x-y-2=0解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=fx在点P处的切线的斜率k=f′2=1,又过点P20,所以切线方程为x-y-2=
0.6.曲边梯形由曲线y=x2+1,y=0,x=1,x=2所围成,过曲线y=x2+1,x∈
[12]上一点P作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为__________.答案 解析 设Px0,x+1,x∈
[12],则易知曲线y=x2+1在点P处的切线方程为y-x+1=2x0x-x0,令y=2x0x-x0+x+1=gx,由g1+g2=2x+1+2x01-x0+2-x0,得S普通梯形=×1=-x+3x0+1=-2+,所以当P点坐标为时,S普通梯形最大.
三、解答题7.13分设函数fx=ax-,曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为7x-4y-12=
0.1求fx的解析式;2曲线fx上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解 1方程7x-4y-12=0可化为y=x-
3.当x=2时,y=.又f′x=a+,于是 解得故fx=x-.2设Px0,y0为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点Px0,y0处的切线方程为y-y0=x-x0,即y-=x-x0.令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为2x02x0.所以点Px0,y0处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为S=|2x0|=
6.故曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,且此定值为
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