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第3讲 平面向量的数量积A级 基础演练时间30分钟 满分55分
一、选择题每小题5分,共20分1.若向量a=3,m,b=2,-1,a·b=0,则实数m的值为 .A.-B.C.2D.6解析 由a·b=3×2+m×-1=0,解得m=
6.答案 D2.2013·东北三校联考已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是 .A.-4B.4C.-2D.2解析 设a与b的夹角为θ,∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积,而cosθ==-,∴|a|cosθ=6×=-
4.答案 A3.2012·陕西设向量a=1,cosθ与b=-12cosθ垂直,则cos2θ等于 .A.B.C.0D.-1解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,即-1+2cos2θ=cos2θ=
0.答案 C4.2012·天津在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2,设点P,Q满足=λ,=1-λ,λ∈R,若·=-2,则λ= .A.B.C.D.2解析 ∵=-=1-λ-,=-=λA-,∴·=-2⇒[1-λ-]·[λA-]=-2,化简得1-λλA·-1-λ2-λA2+·=-2,又因为·=0,2=4,2=1,所以解得λ=.答案 B
二、填空题每小题5分,共10分5.2012·湖北已知向量a=10,b=11,则1与2a+b同向的单位向量的坐标表示为________;2向量b-3a与向量a夹角的余弦值为________.解析 1∵2a+b=20+11=31,∴|2a+b|==,则与2a+b同向的单位向量为=.2设所求夹角为θ.∵向量b-3a=-21,∴cosθ===-.答案 1 2-6.2012·江苏如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.解析 以A点为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy,则=,0,=,1,设Ft2,则=t2.∵·=t=,∴t=1,所以·=,1·1-,2=.答案
三、解答题共25分7.12分设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=.1求a,b夹角的大小;2求|3a+b|的值.解 1设a与b夹角为θ,3a-2b2=7,即9|a|2+4|b|2-12a·b=7,而|a|=|b|=1,∴a·b=,∴|a||b|cosθ=,即cosθ=,又θ∈[0,π],∴a,b的夹角为.23a+b2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+3+1=13,∴|3a+b|=.8.13分在平面直角坐标系xOy中,已知点A-1,-2,B23,C-2,-1.1求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;2设实数t满足-tO·=0,求t的值.解 1由题设知=35,=-11,则+=26,-=44.所以|+|=2,|-|=
4.故所求的两条对角线长分别为4,
2.2由题设知=-2,-1,-tO=3+2t5+t.由-tO·=0,得3+2t5+t·-2,-1=0,从而5t=-11,所以t=-.B级 能力突破时间30分钟 满分45分
一、选择题每小题5分,共10分1.2013·鄂州模拟在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=22,=41,在x轴上取一点P,使·有最小值,则P点的坐标是 . A.-30B.20C.30D.40解析 设P点坐标为x0,则=x-2,-2,=x-4,-1.·=x-2x-4+-2×-1=x2-6x+10=x-32+
1.当x=3时,·有最小值
1.∴此时点P坐标为30,故选C.答案 C2.2012·广东对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβ=.若两个非零的平面向量a,b满足a与b的夹角θ∈,且ab和ba都在集合中,则ab= .A.B.C.1D.解析 ab===cosθ,ba===cosθ.∵ab×ba=cos2θ.∵θ∈,∴ab×ba∈.又∵ab和ba都在集合中,不妨设ab=,ba=n1,n2∈Z,∴ab×ba=∈n1,n2∈Z.又∵θ∈,ab0,ba0,∴n1=n2=
1.∴ab=.答案 D
二、填空题每小题5分,共10分3.2012·湖南如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则·=________.解析 ·=·+=·+++=2||2+·+·=2×9+0+0=
18.答案 184.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,a-b⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.解析 由已知a·c-b·c=0,a·b=0,|a|=1,又a+b+c=0,∴a·a+b+c=0,即a2+a·c=0,则a·c=b·c=-1,由a+b+c=0,∴a+b+c2=0,即a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0,∴a2+b2+c2=-4c·a=4,即|a|2+|b|2+|c|2=
4.答案 4
三、解答题共25分5.12分设两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解 由已知得e=4,e=1,e1·e2=2×1×cos60°=
1.∴2te1+7e2·e1+te2=2te+2t2+7e1·e2+7te=2t2+15t+
7.欲使夹角为钝角,需2t2+15t+7<0,得-7<t<-.设2te1+7e2=λe1+te2λ<0,∴∴2t2=
7.∴t=-,此时λ=-.即t=-时,向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时,t的取值范围是∪.6.13分2012·东营模拟在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=,n=,且满足|m+n|=.1求角A的大小;2若||+||=||,试判断△ABC的形状.解 1由|m+n|=,得m2+n2+2m·n=3,即1+1+2=3,∴cosA=.∵0Aπ,∴A=.2∵||+||=||,∴sinB+sinC=sinA,∴sinB+sin=×,即sinB+cosB=,∴sin=.∵0B,∴B+,∴B+=或,故B=或.当B=时,C=;当B=时,C=.故△ABC是直角三角形.。