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函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最(极)值是高考的热点,新课程中函数的单调性、最(极)值的要求提高了,可能更会成为高考的热点、难点.在高考试题中,函数的单调性、极(最)值往往是以某个初等函数为载体出现,综合题往往与不等式、数列等联系起来,处理方法除了定义法之外,一般采用导数法.难度值控制在
0.3~
0.6之间.考试要求
①了解函数单调性的概念掌握判断简单函数的单调性的方法;
②了解函数单调性与导数的关系;
③能求函数的最大(小)值;
④掌握用导数研究函数的单调性.题型一已知函数的单调性、最(极)值,求参变量的值.例1设函数.
(1)若的两个极值点为且,求实数的值;
(2)是否存在实数,使得是上的单调函数?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.点拨因为是三次函数,所以只要
①利用“极值点的根”,转化为一元二次方程根的问题;
②利用在上单调>0(<0),转化为判断一元二次函数图像能否在轴上方的问题.解
(1)由已知有,从而所以;
(2)由,得总有两个不等的实根,不恒大于零,所以不存在实数,使得是上的单调函数.易错点
①三次函数的极值点与原函数的导数关系不清;
②含参变量的问题是逆向思维,学生易出现错误;
③学生不会将在上是单调函数的问题转化为恒成立问题.变式与引申12011年高考江西卷理设
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.题型二已知最(极)值或其所在区域,通过单调性分析参变量的范围.例2已知函数.
(1)若函数的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;
(2)若函数在区间(1,1)上至少有一个极值点,求a的取值范围.点拔第
(1)问利用已知条件可得,求出a,b的值.第
(2)问利用“极值点”的根转化为一元二次方程根的分布问题.解析
(1)由函数的图像过原点,得,又,在原点处的切线斜率是,则,所以,或.
(2)法一由,得.又在上至少有一个极值点,即或解得或所以的取值范围是.法二由题意
①必有一根在-11上故即解得;或,则,当(舍去),当时,经检验符合题意;同理,则,经检验,均不符合题意,舍去.
②有两个不同的根在-11上故解得所以,a的取值范围.易错点
①解不等式出错;
②第
(2)问的解法一,不易分析.;
③第
(2)问的解法二,分类讨论,不易讨论完整.变式与引申2将
(2)中改为“在区间(1,1)上有两个极值点”,或改为“存在极值点,但在区间(1,1)上没有极值点”,如何求的取值范围?题型三函数的单调性、最(极)值与不等式结合的问题例3设函数,已知和为的极值点.
(1)求和的值;
(2)讨论的单调性;
(3)设,试比较与的大小.点拔此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数,分析第
(1)问先由极值点转化为方程的根,再用待定系数法;第
(3)问中比较两个函数与的大小,可构造新函数,再通过分析函数的单调性来讨论与0的大小关系.解
(1)因为,又和为的极值点,所以,因此解方程组得,.
(2)因为,,所以,令,解得,,.因为当时,;当时,.所以在和上是单调递增的;在和上是单调递减的.
(3)由
(1)可知,故,令,则.令,得,因为时,,所以在上单调递减.故时,;因为时,,所以在上单调递增.故时,.所以对任意,恒有,又,因此,故对任意,恒有.易错点
①求导数时,易出错;
②比较两个函数的大小属于不等式问题,学生容易只从不等式的简单知识出发,而无法从构造的新函数的单调性来分析.变式与引申3将第
(3)问改为设,试证恒成立.本节主要考查
(1)用导数研究函数单调性极值;
(2)利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题;
(3)方程与函数的转化方程思想和函数思想综合应用;
(4)数形结合思想.点评
(1)讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集;
(2)求函数单调区间的常用方法定义法、图像法、复合函数法、导数法等;
(3)利用求导的方法研究函数的单调性、最(极)值,函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题,从而转化为不等式问题,再而研究函数的最(极)值.需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.习题1—
31.已知函数,若,,均不相等,且,则的取值范围是()
2.已知函数的定义域均为非负实数集,对任意的,规定.
3.已知函数
(1)设,求的单调区间;
(2)设在区间23上不单调,求的取值范围.
4.已知函数,.(I)若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;(II)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;(III)对
(2)中的,证明当时,
1.
5.设函数,其中为常数.
(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(2)时,求的极值点;
(3)求证对任意不小于3的正整数,不等式都成立.PAGE。