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高中数学必修2第1章立体几何初步特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)柱体、锥体、台体的体积公式第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2三个公理
(1)公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈LB∈L=LαA∈αB∈α公理1作用判断直线是否在平面内.
(2)公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面符号表示为A、B、C三点不共线=有且只有一个平面α,使A∈α、B∈α、C∈α公理2作用确定一个平面的依据
(3)公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示为P∈α∩β=α∩β=L,且P∈L公理3作用判定两个平面是否相交的依据.
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1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系相交直线同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线同一平面内,没有公共点;异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点2公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用公理4作用判断空间两条直线平行的依据3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4注意点
①a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈0,;
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角
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1.3—
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1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点指出直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α
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2.直线、平面平行的判定及其性质
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2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行简记为线线平行,则线面平行符号表示aαbβ=a∥αa∥b
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2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行符号表示aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α
2、判断两平面平行的方法有三种
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行
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2.3—
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2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简记为线面平行则线线平行符号表示a∥αaβa∥bα∩β=b作用利用该定理可解决直线间的平行问题
2、两个平面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行符号表示α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
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3.1直线与平面垂直的判定
1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面如图,直线与平面垂直时它们唯一公共点P叫做垂足PaL
2、直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直注意点a定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想
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3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβB α
2、二面角的记法二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
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3.3—
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3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行
2、两个平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直第三章直线与方程
(1)直线的倾斜角定义x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角特别地,当直线与x轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为0度因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率直线的斜率常用k表示即斜率反映直线与轴的倾斜程度当直线l与x轴平行或重合时α=0°k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时α=90°k不存在.当时,;当时,;当时,不存在
②过两点的直线的斜率公式(P1x1y1P2x2y2x1≠x2)注意下面四点1当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;2k与P
1、P2的顺序无关;3以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;4求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到
(3)直线方程
①点斜式直线斜率k,且过点注意当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1
②斜截式,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式()直线两点,
④截矩式其中直线与轴交于点与轴交于点即与轴、轴的截距分别为
⑤一般式(A,B不全为0)注意各式的适用范围特殊的方程如平行于x轴的直线(b为常数);平行于y轴的直线(a为常数);
(6)两直线平行与垂直当,时,;注意利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否
(7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解方程组无解;方程组有无数解与重合
(8)两点间距离公式设是平面直角坐标系中的两个点,则
(9)点到直线距离公式一点到直线的距离
(10)两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为,,则与的距离为第四章圆与方程
1、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;点与圆的位置关系当,点在圆外当=,点在圆上当,点在圆内
(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形
(3)求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;
(2)过圆外一点的切线
①k不存在,验证是否成立
②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】3过圆上一点的切线方程圆x-a2+y-b2=r2,圆上一点为x0,y0,则过此点的切线方程为x0-ax-a+y0-by-b=r
24、圆与圆的位置关系通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆注意已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点LA·αC·B·A·αP·αLβ共面直线=a∥c。