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文本内容:
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2.4平面向量的数量积第7课时
一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.教学重点平面向量的数量积定义教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型新授课教具多媒体、实物投影仪内容分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程
一、复习引入1．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个非零实数λ，使=λ.2．平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ23．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作4．平面向量的坐标运算若，，则，，.若，，则5．∥的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况λ0内分外分λ0λ-1外分λ0-1λ
07.定比分点坐标公式若点P１x1，y1，Ｐ２x2，y2，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.
8.点P的位置与λ的范围的关系
①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.
②当λ＜０时，与反向共线，这时称点P为的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，可得=.10．力做的功W=|F||s|cos，是F与s的夹角.
二、讲解新课1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明
（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为
0.探究两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=
0.因为其中cos有可能为
0.
（4）已知实数a、b、cb0，则ab=bca=c.但是ab=bca=c如右图ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac5在实数中，有abc=abc，但是abcabc显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3．“投影”的概念作图定义|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos2abab=03当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或4cos=5|ab|≤|a||b|
三、讲解范例例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120o，求a·b.例2已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求a+2b·a-3b.例3已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.例4判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；
②0·ａ＝０；
③0－＝；
④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；
⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；
⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解上述8个命题中只有
③⑧正确；对于
①两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于
②应有０·ａ＝0；对于
④由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于
⑤若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于
⑥由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于
⑦若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则ａ·ｂс≠（ｂ·с）ａ.评述这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当
①ａ∥ｂ，
②ａ⊥ｂ，
③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解
①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9评述两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习
1.已知|a|=1，|b|=，且a-b与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（）A.2B.2C.6D.
123.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是a+b与a-b垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|=.
5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=.
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则a+2b-c２＝______.
7.已知|a|=1，|b|=，1若a∥b，求a·b；2若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；3若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、教学后记C。
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