还剩24页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第五章定积分的概念教学目的与要求1.解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式2.解广义积分的概念并会计算广义积分3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)
5.1定积分概念1.定积分的定义不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分定义设函数fx在[ab]上有界,在[ab]中任意插入若干个分点,把区间[ab]分成n个小区间,记在[]上任意取一点,作和式如果无论[ab]作怎样分割,也无论在[]怎样选取,只要有I(I为一个确定的常数),则称极限I是fx在[ab]上的定积分,简称积分,记做即I=其中fx为被积函数,fxdx为积分表达式,a为积分下限,b为积分上限,x称为积分变量,[ab]称为积分区间注1.定积分还可以用语言定义2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=和S=3有定义知道表示一个具体的书,与函数fx以及区间[ab]有关,而与积分变量x无关,即==4定义中的不能用代替5如果存在,则它就是fx在[ab]上的定积分,那么fx必须在[ab]上满足什么条件fx在[ab]上才可积分呢?经典反例在[0,1]上不可积可见函数fx在什么情况下可积分并不是一件容易的事情以下给出两个充分条件定理1设fx在区间[ab]上连续,则fx在[ab]上可积定理2设fx在区间[ab]上有界,且只有有限个间断点,则fx在[ab]上可积定理3设fx在区间[ab]上单调,则fx在[ab]上可积6几何意义当fx0时,表示曲边梯形的面积;当fx0时,表示曲边梯形的面积的负值;一般地,若fx在[ab]上有正有负,则表示曲边梯形面积的代数和[例1]计算解显然fx在[ab]上连续,则fx在[ab]上可积,现将[0,1]分成n个等分,分点为,,取作和式所以=e-17.按照定义5.2定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知,是当ab时才有意义,而当a=b与ab时无意义,但为了计算及应用的方便,特作两个规定1.a=b时,=02.ab时,=-性质1和差的定积分等于它的定积分的和差,即性质2常数因子可以外提(可以推广到n个)性质3无论abc的位置如何,有性质4fx则性质5若fxgx则性质6性质7设在,,则性质8(积分中值定理)若fx在[ab]上连续,则[ab]上至少存一点,使下式成立,例1.利用定积分几何意义,求定积分值上式表示介于之间面积例
2、(估计积分值)证明证在上最大值为,最小值为2∴∴5.3定积分的计算方法1.变上限积分函数的导数设函数fx在[ab]上连续,x为[ab]上任一点,显然,fx在[ab]上连续,从而可积,定积分为由于积分变量与积分上限相同,为防止混淆,修改为()称是变上限积分的函数定理1设fx在[ab]上连续,则在[ab]上可导,且导数为证明省略定理2如果函数fx在[ab]上连续,则积分上限的函数是fx在[ab]上的一个原函数注意1定理说明了连续函数的原函数一定存在2此定理指出了定积分与原函数的关系
二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式定理 如果函数Fx是连续函数fx在区间[ab]上的一个原函数,则 1证 已知函数Fx是连续函数fx的一个原函数,又根据前面的定理知道,积分上限的函数也是fx的一个原函数于是这两个原函数之差为某个常数,即2在上式中令x=a,得又由的定义式及上节定积分的补充规定知,因此,C=Fa以Fa代入2式中的C,以代入2式中的,可得,在上式中令x=b,就得到所要证明的公式1由积分性质知,1式对ab的情形同样成立为方便起见,以后把Fb–Fa记成公式1叫做牛顿Newton-莱步尼兹Leibniz公式,它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法,也称为微积分基本公式例1 计算定积分解 例2 计算解 例3 计算解 例4 计算正弦曲线y=sinx在[0]上与x轴所围成的平面图形的面积解 例5 求解 易知这是一个型的未定式,我们利用洛必达法则来计算因此例
6、5.4定积分的换元法定理设
(1)fx在[ab]上连续,
(2)函数在上严格单调,且有连续导数,
(3)时,且则有换元公式…….1注1.用换元法时,当用将积分变量x换成t求出原函数后,t不用回代,只要积分上下限作相应的变化即可2.必须严格单调3.可以大于4.从左往右看,是不定积分的第二换元法;从右往左看,可以认为是第一换元法例
1、法一设法二设原式例2.设在上连续,且证明若fx为偶函数,则Fx也是偶函数证例3.奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质1在[-aa]连续,当为偶数,则当为奇函数,则2,以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的例
4、原式例
5、例
6、设为连续函数,且求解设则两边积分∴
5.5定积分的分部积分法定理若uxvx在[ab]上有连续导数,则证明因为,则有,两边取定积分有也可以写成例1.解例2.解===[]例
3、设,求解例4.设在连续,可导,且,证明在内,有证在单调减,故5.6定积分的近似计算5.7广义积分一无穷限的广义积分定义1 设函数fx在区间[a+上连续,取ba,若极限存在,则称此极限为函数fx在无穷区间[a+上的广义积分,记作,即 1这时也称广义积分收敛;若上述极限不存在,称为广义积分发散类似地,若极限存在,则称广义积分收敛设函数fx在区间-+上连续,如果广义积分和都收敛,则称上述两广义积分之和为函数fx在无穷区间-+上的广义积分,记作,也称广义积分收敛;否则就称广义积分发散上述广义积分统称为无穷限的广义积分例1计算广义积分解=例2.计算广义积分以及解显然发散同理也发散例3 证明广义积分a0当p1时收敛,当p1时发散证 当p=1时,当p1时,因此,当p1时,这广义积分收敛,其值为;当p1时,这广义积分发散二.无界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形定义2 设函数fx在ab]上连续,而在点a的右领域内无界,取,如果极限存在,则称此极限为函数fx在ab]上的广义积分,仍然记作,这时也称广义积分收敛类似地,设函数fx在[ab]上除点cacb外连续,而在点c的领域内无界,如果两个广义积分与都收敛,则定义; 2否则,就称广义积分发散例1 证明广义积分当q1时收敛,当q1时发散证 当q=1时,,当q1时,因此,当q1时,这广义积分收敛,其值为;当q1时,这广义积分发散例2.计算广义积分解例3广义积分可以相互转化第六章定积分应用
6.1定积分的微小元素法详请见合肥工业大学编写的高等数学上册267页6.2平面图形的面积一直角坐标的情形定理1由两条连续曲线以及直线x=ax=b所围平面图形的面积为证明有微小元素法则注意1.从几何意义容易看出2.若无这一条件,则面积3.同理,曲线与y=cy=d所围区域的面积为,其中例1求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解在点处,,切线方程在点处,,切线方程得交点定理2若平面曲线由参数方程给出,且在[]连续,,则曲线与x=ax=b以及x轴所围的曲边梯形的面积为例1.求摆线x=at-sinty=a1-costa0的一拱与x轴所为的面积解二极坐标的情形定理3设曲线且在[]上连续,非负则有曲线与射线所围区域(称为曲边扇形)的面积为证明又微小元素法[]上的面积微元是,所以例
1、求双纽线所围的平面图形的面积解又由图形的对称性以及公式有例
2、求由曲线所围图形公共部分的面积解两曲线的交点+6.3体积1.平行截面面积为已知的立体体积定理一设V是位于[ab]间的一空间立体,Ax()是截面积的函数,且在[ab]上连续,则立体V的体积为证明在[xx+dx]上的体积微元是dV=Axdx则体积为例1求由圆柱面所围立体的体积解由于对称性,我们只要求第一卦限立体体积,过x点()且垂直于x轴的平面与该立体的截面为边长为的正方形,则2.旋转体的体积旋转体是一种特殊的空间立体,它是一条平面图形饶平面一直线l旋转一周所得,特别地,直线为x轴,一般地,设旋转体由曲线y=fxx=ax=b以及x轴所围的曲边梯形饶x轴旋转一周所得的一个立体,用垂直于x轴的平面去截立体得到截面面积为Ax=则旋转体的体积为例1例
3、过点作抛物线的切线,求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解设切点为切线方程切点在切线上,∴,∴切线方程6.4平面曲线的弧唱一直角坐标系定理1设y=fx在[ab]上连续,且有一阶连续导数,则y=fx在[ab]上的弧长为这由弧微分很容易推导出来例1.曲线相应于的一段解
1.二参数方程的情形当曲线以参数方程给出时要求t由时的曲线弧长由弧微分容易知道例1.摆线的一拱
3.三极坐标的情形定理3若曲线的极坐标方程为那么相应于的一段弧长为例1心形线的全长,=8a=8a36.5功,压力例子
1.一锥形水池池口直径20m深15m池中盛满瞒水求将全部池水抽到池口外所做的功.解:如图建立坐标系以x为积分变量变化区间为
[015]重中任意取一子区间考虑深度[xx+dx]的一层水量抽到池口处所做的功当dx很小时抽出中的每一体积水所做的功为x而的体积约=吨米例
2.边长为a和bab的矩形薄片斜置欲液体中薄片长边a与液面平行位于深为h处而薄片与液面成角已知液体的密度为求薄片所受的压力解:取x为积分变量变化区间为[hh+bsin]从中取[xx+dx]知道面积元素压力元素则
(31)0123PAGE93。