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文本内容:
第十章曲线积分与曲面积分复习要点§1对弧长的曲线积分
一、了解对弧长的曲线积分的概念与性质
1.定义其中称为被积函数称为积分路径如果是闭曲线那么上述对弧长的曲线积分可记作
2.性质
(1)设、为常数则
(2)若积分路径则
2、掌握队弧长的曲线积分的计算方法基本思想转化为定积分来计算步骤
1.将曲线方程代入被积函数fxy使之转化为一元函数;
2.利用将化为曲线方程中自变量的微分;
3.曲线方程中自变量的取值范围为定积分的积分区间.应注意的问题定积分的下限一定要小于上限例如,若曲线方程的方程为,则若曲线方程的方程为,则若曲线方程的方程为,,则§2对坐标的曲线积分
一、了解对坐标的曲线积分的概念与性质
1.定义称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分.称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分.对坐标的曲线积分的简写形式
2.对坐标的曲线积分的性质1若积分路径则2是有向曲线弧设是与方向相反的有向曲线弧则
二、掌握对坐标的曲线积分的计算方法基本思想转化为定积分来计算步骤
1.将曲线方程代入被积函数PxyQxy使之转化为一元函数;
2.利用曲线的方程将化为曲线方程中自变量的微分;
3.起点的坐标为定积分的下限,终点的坐标为定积分的上限(不论大小)若曲线方程的方程为,,被积函数PxyQxy在光滑有向曲线上的连续当参数单调地由变到时点从曲线的起点沿曲线运动到终点则即注意不一定小于§3格林公式及其应用
一、格林公式设闭区域由分段光滑的曲线围成函数PxyQxy在上具有一阶连续偏导数则有其中是的取正向的边界曲线曲线的正向规定如下当观察者沿曲线的这个方向行走时区域总在他的左边应注意的问题定理要求函数、具有一阶连续偏导数,曲线是区域的取正向的边界曲线,如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立要求:会用格林公式计算对坐标的曲线积分.
二、掌握平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的概念:设是一个开区域函数、在区域内具有一阶连续偏导数如果对于内任意指定的两个点、以及G内从点到点的任意两条曲线、,恒有则称曲线积分在内与路径无关否则称该积分与路径有关曲线积分在内与路径无关相当于沿内任意闭曲线的曲线积分曲线积分路径无关
三、二元函数的全微分求积求函数的公式注上述积分与积分路径无关§4对面积的曲面积分
一、了解对面积的曲面积分的概念与性质
1.定义
2.性质1设为常数则2若曲面则3(为曲面的面积)
二、掌握对面积的曲面积分的计算基本思想:化为二重积分来计算例如,若曲面的方程为在坐标面上的投影区域为,则§5对坐标的曲面积分
一、了解对坐标的曲面积分的概念与性质
1.有向曲面本节我们遇到的曲面都是有向曲面例如由方程表示的曲面分为上侧与下侧;由方程表示的曲面分为左侧与右侧;由方程表示的曲面分为前侧与后侧;闭曲面有内侧与外侧之分
2.定义此极限称为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分其中函数叫做被积函数叫做积分曲面此极限称为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分此极限称为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分的简记形式
3.性质1若曲面则2设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则
二、对坐标的曲面积分的计算法基本思想:化为二重积分来计算如果积分曲面由方程表示在坐标面上的投影区域为则有其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”如果积分曲面由方程表示在坐标面上的投影区域为则有其中当取前侧时积分前取“”当取后侧时积分前取“”如果积分曲面由方程表示,在坐标面上的投影区域为则有其中当取右侧时积分前取“”当取左侧时积分前取“”
三、掌握高斯公式会用高斯公式计算对坐标的曲面积分高斯公式其中函数、、在上具有一阶连续偏导数为空间闭区域的整个边界曲面的外侧PAGE6。