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高等数学公式高等数学公式导数公式基本积分表三角函数的有理式积分一些初等函数两个重要极限三角函数公式·诱导公式函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式·和差化积公式·倍角公式·半角公式·正弦定理·余弦定理·反三角函数性质高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系常数项级数级数审敛法绝对收敛与条件收敛幂级数函数展开成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法*式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1求极限【说明】表明无限接近,但,所以这一零因子可以约去【解】=42.分子分母同除求极限例2求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限可通过分子分母同除来求【解】【注】1一般分子分母同除的最高次方; 23.分子母有理化求极限例3求极限【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式【解】例4求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限是和,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现主要考第二个重要极限例5求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤先凑出1,再凑,最后凑指数部分【解】例61;2已知,求5.用等价无穷小量代换求极限【说明】1常见等价无穷小有当时;2等价无穷小量代换只能代换极限式中的因式;3此方法在各种求极限的方法中应作为首选例7求极限【解】.例8求极限【解】6.用罗必塔法则求极限例9求极限【说明】或型的极限可通过罗必塔法则来求【解】【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解例10设函数fx连续,且,求极限【解】由于于是====7.用对数恒等式求极限例11极限【解】==【注】对于型未定式的极限,也可用公式=因为例12求极限.【解1】原式【解2】原式8.利用Taylor公式求极限例13求极限.【解】;.例14求极限.【解】.9.数列极限转化成函数极限求解例15极限【说明】这是形式的的数列极限,由于数列极限不能使用罗必塔法则,若直接求有一定难度,若转化成函数极限,可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解【解】考虑辅助极限所以,10.n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法1用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;2利用两边夹法则求极限.例16极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算是把看成[01]定积分【解】原式=例17极限【说明】1该题遇上一题类似,但是不能凑成的形式,因而用两边夹法则求解;2两边夹法则需要放大不等式,常用的方法是都换成最大的或最小的【解】因为 又 所以 =112.单调有界数列的极限问题例18设数列满足(Ⅰ)证明存在,并求该极限;(Ⅱ)计算.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】(Ⅰ)因为,则.可推得 ,则数列有界.于是 ,(因当),则有,可见数列单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.设,在两边令,得 ,解得,即.(Ⅱ) 因 ,由(Ⅰ)知该极限为型,使用了罗必塔法则故 .求不定积分的方法及技巧小汇总~
1.利用基本公式(这就不多说了~)
2.第一类换元法(凑微分)设fμ具有原函数Fμ则其中可微用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪如例
1、例2例1【解】例2【解】
3.第二类换元法设是单调、可导的函数,并且具有原函数,则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式常见的变换形式需要熟记会用主要有以下几种
4.分部积分法.公式分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分具体选取时,通常基于以下两点考虑
(1)降低多项式部分的系数
(2)简化被积函数的类型举两个例子吧~!例3【解】观察被积函数,选取变换则例4【解】上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分在中,的选取有下面简单的规律将以上规律化成一个图就是但是,当时,是无法求解的对于
(3)情况,有两个通用公式(分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中,常可以看到分部积分)
5.几种特殊类型函数的积分
(1)有理函数的积分有理函数先化为多项式和真分式之和,再把分解为若干个部分分式之和(对各部分分式的处理可能会比较复杂出现时,记得用递推公式)例5【解】故不定积分求得
(2)三角函数有理式的积分万能公式的积分,但由于计算较烦,应尽量避免对于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成再用待定系数来做(注没举例题并不代表不重要~)
(3)简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式像一些简单的,应灵活运用如同时出现时,可令;同时出现时,可令;同时出现时,可令x=sint;同时出现时,可令x=cost等等(a^xarcsinx)(lnxPmxsinxνμ20/23。