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导数公式高等数学公式tgxsec2xctgxcsc2xarcsinx11x2secxsecxtgxcscxcscxctgxarccosx111x2axaxlnalogx1axlnaarctgx1x2arcctgx11x2基本积分表tgxdxlncosxCdx2cos2xsecxdxtgxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdxa2x21arctgaxCacscxctgxdxcscxCxxdx221lnxaCadxClnaxadx2a1lnxaaxshxdxchxCa2x2dxC2aaxxchxdxshxCdxa2x2arcsinCax2a2lnxx2a2CIn22sinnxdx00cosnxdxn1In2n2x2a2dxx2x2a2alnx22x2a2Cx22a22dxx2xx2a222alnx2a2x2a2Cxaxdx2axarcsinC2a三角函数的有理式积分sinx2u1u2, cosx1u21u2, utgx, dx22du1u2一些初等函数两个重要极限双曲正弦:shxeexlimsinx12x0x双曲余弦:chxeexlim11xe
2.
718281828459045...x2双曲正切:thxshxeexxchxexexarshxlnxarchxlnxx21)x21arthx1ln1x21x三角函数公式·诱导公式函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式·和差化积公式sinsincoscossinsinsin2sincos22coscoscossinsintgtgsinsin2cossintg221tgtgcoscos2coscosctgctgctg122ctgctgcoscos2sinsin22·倍角公式sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21sin33sin4sin3cos34cos33cosctg2tg22ctg2tg3tgtg3tg313tg21tg2·半角公式sin1cos cos1cos2tg221cos1cos1cossinsin1cos2 ctg221cos1cos1cossinsin1cos·正弦定理asinAbsinBcsinC2R·余弦定理c2a2b22abcosC·反三角函数性质arcsinxarccosx arctgxarcctgx22高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式uvnnk0knkknunvnun1vnn1un2vnn1nk1unkvkuvn2!k!中值定理与导数应用拉格朗日中值定理fbfafbaf柯西中值定理bfafFbFaF当Fxx时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率弧微分公式ds1y2dx其中ytg平均曲率K.:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量;s MM弧长sM点的曲率Klimdy.直线K0;s0sds1y23半径为a的圆K
1.a定积分的近似计算b矩形法fxab梯形法fxabanbany0y1yn1[1yyyy]20n1n1b抛物线法fxaba3n[y0yn2y2y4yn24y1y3yn1]定积分应用相关公式功WFs水压力FpA引力Fkm1m2k为引力系数r21b函数的平均值yfxdxbaa12均方根fbaatdt空间解析几何和向量代数空间2点的距离dM1M2x2x2yy2zz2向量在轴上的投影PrjuABABcos是AB与u轴的夹角Prjua1a2Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz是一个数量两向量之间的夹角cosaxbxaybyazbza2a2a2b2b2b2ijkxyzxyzcabaabxbyazcabsin.例线速度vwr.bzaxayaz向量的混合积[abc]abcbbcxcybabccos为锐角时,cz代表平行六面体的体积平面的方程
1、点法式Axx0Byy0Czz00,其中n{ABC}M0x0y0z
02、一般方程AxByCzD
03、截距世方程xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离dAx0By0Cz0DA2B2C2xx0mtxx0yy0zz0空间直线的方程mn二次曲面t其中s{mnp};参数方程yy0ntpzz0ptx
21、椭球面a2x2yz21b2c2y
22、抛物面2p2q
3、双曲面z(pq同号)x2y2z2单叶双曲面a2b2c2x2y2z2双叶双曲面a2b2c21(1马鞍面)多元函数微分法及应用全微分dzzdxzdy duudxudyudzxyxyz全微分的近似计算zdzfxxyxfyxyy多元复合函数的求导法zf[utvt]dzzuzv dtutvtzf[uxyvxy]z zuzvx当uuxy,vvxy时,uxvxduudxudy dvvdxvdy xyxy隐函数的求导公式隐函数Fxy0dyFxdyFx+Fxdy, dx, FydxxFyyFydx隐函数Fxyz0zFxzFy, xFz, yFzFFxyuv0FG隐函数方程组 JFvFuFvGxyuv0uvGGuvGuGvu1FGv1FG xJxvxJuxu1FGv1FG yJyvyJuy微分法在几何上的应用xt空间曲线yt在点Mxyz处的切线方程xx0yy0zz0zt000t0t0t0在点M处的法平面方程t0xx0t0yy0t0zz00若空间曲线方程为Fxyz0则切向量{FyFzFzFxFxFy}Gxyz0GyGzGzGxGxGy曲面Fxyz0上一点Mx0y0z0,则
1、过此点的法向量n{FxyzFxyzFxyz}
2、过此点的切平面方程Fxx0y0z0xx0Fyx0y0z0yy0Fzx0y0z0zz0
03、过此点的法线方程xx0yy0zz0方向导数与梯度Fxx0y0z0Fyx0y0z0Fzx0y0z0函数zfxy在一点pxy沿任一方向l的方向导数为ffcosfsin其中为x轴到方向l的转角lxy函数zfxy在一点pxy的梯度gradfxyfiffxy它与方向导数的关系是lgradfxye,其中ecosisinj,为l方向上的单位向量f是gradfxy在l上的投影l多元函数的极值及其求法设fxx0y0fyx0y00,令fxxx0y0A fxyx0y0B fyyx0y0CA0xy为极大值ACB20时,00A0x0y0为极小值则ACB20时, 无极值ACB20时 不确定重积分及其应用fxydxdyfrcosrsinrdrdDD22曲面zfxy的面积A1zzdxdyDxyMxxydMyxyd平面薄片的重心xxD yyDMxydD2MxydD2平面薄片的转动惯量对于x轴IxyDxyd 对于y轴IyxDxyd平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M00aa0的引力F{FxFyFz},其中Fxfxyxd, fxyyd3, Fzfaxyxd3Dx2y2a22柱面坐标和球面坐标Dx2y2a22Dx2y2a22xrcos柱面坐标yrsin fxyzdxdydzFrzrdrddzzz其中Frzfrcosrsinzxrsincos球面坐标yrsinsin, dvrdrsinddrr2sindrddzrcos2rfxyzdxdydzFrr2sindrddddFrr2sindr110001重心xxdv yydv zzdv, 其中Mxdv转动惯量Ixyz2dv, Iyxz2dv, Izxy2dv曲线积分第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设fxy在L上连续,L的参数方程为xt t则ytxtfxydsf[tt]2t2tdt 特殊情况Lyt第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)xt设L的参数方程为,则ytPxydxQxydy{P[tt]tQ[tt]t}dtL两类曲线积分之间的关系PdxQdyPcosQcosds,其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角QPQP格林公式dxdyPdxQdy格林公式dxdyPdxQdyDxyLQPDxyL当PyQx,即12时,得到D的面积AdxdyxdyydxxyD2L·平面上曲线积分与路径无关的条件
1、G是一个单连通区域;
2、Pxy,Qxy在G内具有一阶连续偏导数,且Q=P注意奇点,如00,应减去对此奇点的积分,注意方向相反!·二元函数的全微分求积xy在Q=P时,PdxQdy才是二元函数uxy的全微分,其中xuxyyxyPxydxQxydy,通常设x0y00x0y0曲面积分22对面积的曲面积分fxyzdsf[xyzxy]1zxxyzyxydxdyDxy对坐标的曲面积分PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy,其中RxyzdxdyR[xyzxy]dxdy,取曲面的上侧时取正号;DxyPxyzdydzP[xyzyz]dydz,取曲面的前侧时取正号;DyzQxyzdzdxQ[xyzxz]dzdx,取曲面的右侧时取正号Dzx两类曲面积分之间的关系PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosds高斯公式PQRxydvPdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosds高斯公式的物理意义——通量与散度散度divPQR即单位体积内所产生的流体质量,若div0则为消失...xyz通量AndsAndsPcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系RQPRQPyzdydzzxdzdxxydxdyPdxQdyRdz上式左端又可写成dydzxPdzdxyQdxdyzRcosxPcosyQcoszR空间曲线积分与路径无关的条件RQPR, QP, ijk旋度rotAxyzPQRyzzxxy向量场A沿有向闭曲线的环流量PdxQdyRdzAtds常数项级数等比数列1qq2qn11q1q等差数列123nn1n2调和级数1111是发散的23n级数审敛法
1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)1时,级数收敛设limnu,则1时,级数发散n
2、比值审敛法1时,不确定1时,级数收敛设limUn1,则1时,级数发散nUn
3、定义法1时,不确定snu1u2un;limnsn存在,则收敛;否则发散交错级数u1u2u3u4或u1u2u3un0的审敛法——莱布尼兹定理如果交错级数满足unun1,那么级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值rnun1limu0n绝对收敛与条件收敛1u1u2un,其中un为任意实数;2u1u2u3un如果2收敛,则1肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果2发散,而1收敛,则称1为条件收敛级数n调和级数1发散,而1收敛;nn 级数1收敛;n21p1时发散 p级数np 1时收敛幂级数x1时,收敛于1xx2x3xn x1时,发散11x对于级数3a0a1x a2x2axn,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,则必存在R,使xR时收敛xR时发散,其中R称为收敛半径xR时不定求收敛半径的方法设limnan1a,其中an,an1是3的系数,则0时,R10时,Rn时,R0函数展开成幂级数fxfnx函数展开成泰勒级数fxfx0n1xx00xx2!020xxn!0n余项Rfxxn1fx可以展开成泰勒级数的充要条件是limR0nn1!0f0fn0nnx00时即为麦克劳林公式fxf0f0xx22!xnn!一些函数展开成幂级数1xm1mxmm1x2mm1mn1xn 1x1sinxxxx2!1n1x2n1n! x3!5!欧拉公式2n1!eixcosxcosxisinx 或eixeix2三角级数ixsinxeix2ftA0Ann1sinntna02n1ancosnxbnsinnx其中,a0aA0,anAnsinn,bnAncosn,tx正交性1sinxcosxsin2xcos2xsinnxcosnx任意两个不同项的乘积在[]上的积分=0傅立叶级数fx0acosnxbnsinnx,周期22n11an其中fxcosnxdx n0121bnfxsinnxdx n12311122111122(相加) 3582346221122421622411222113242(相减)12正弦级数an0,bnfxsinnxdx n123 fxbnsinnx是奇函数0余弦级数b0,a2fxcosnxdx n012 fxa0acosnx是偶函数nnn0周期为2l的周期函数的傅立叶级数fxa02ancosnxlbnsinnxl,周期2ln11lnxanlfxcosldx n012其中bl1fxsinnxdx n123nl微分方程的相关概念一阶微分方程yfxy 或 PxydxQxydy0可分离变量的微分方程一阶微分方程可以化为gydyfxdx的形式,解法gydyfxdx 得GyFxC称为隐式通解齐次方程一阶微分方程可以写成dyfxyxy,即写成y的函数,解法dx设uy,则dyuxdu,uduu,dxxdu分离变量,积分后将y代替u,xdxdxdxxuux即得齐次方程通解一阶线性微分方程1dyPxyQx、一阶线性微分方程dx当Qx0时为齐次方程,yCePxdxPxdxPxdx当Qx0时,为非齐次方程,yQxe2dyPxyQxyn,n01dxCe、贝努力方程dx全微分方程如果PxydxQxydy0中左端是某函数的全微分方程,即duxyPxydxQxydy0,其中uxuxyC应该是该全微分方程的通解二阶微分方程PxyuyQxyd2ydx2PxdydxQxyfx,fx0时为齐次fx0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法*ypyqy0,其中pq为常数;求解步骤
1、写出特征方程r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是*式中yyy的系数;
2、求出式的两个根r1r
23、根据r1r2的不同情况,按下表写出*式的通解r1,r2的形式*式的通解两个不相等实根p24q0ycer1xcer2x12两个相等实根p24q0yccxer1x12一对共轭复根p24q0r1i,r2ip4qp2,22yexccosxcsinx12二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyfx,pq为常数xfxefxexPmx型,为常数;[PlxcosxPnxsinx]型axxxCuvb121z12xyxy2 22uTx000y000z000jF3yMMM222znnnpn35ean2222lll,。