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高等数学基本公式、概念和方法一.函数1.函数定义域由以下几点确定(1)(2)(其中n为正整数)(3)(4)(5)函数代数和的定义域,取其定义域的交集.(6)对具有实际意义的函数,定义域由问题特点而定.2.判断函数的奇偶性,依据以下两点确定,否则函数为非奇非偶的.
(1)若是偶函数,若是奇函数.
(1)若的图象关于y轴对称,则函数是偶函数.如等若的图象关于坐标原点对称,则函数是奇函数.如3.将函数分解成几个简单函数的合成.由六类基本初等函数的形式,对要分解的函数,由外层到内层,分别设出关系.函数与常数的四则运算,不必另设一层关系.二.极限与连续1.主要概念和计算方法(1).(2).若(极限过程不限),则当时为无穷小量
(3).若,则函数在处是连续的即(1)函数值存在、(2)极限存在、(3)极限值和函数值相等若上述三条至少一条不满足,则是函数的间段点
(4).间断点的分类设是函数的间断点若左、右极限均存在,则称为第一类间断点若左、右极限至少有一个是无穷大,则称为第二类间断点
(5).重要公式条件(极限过程不限)结论《1》;《2》2.求极限的方法先判断极限类型(依据基本初等函数图象和函数值)
(1)定式直接得结论(即常数C、不存在无穷大、震荡、左极限不等于右极限)
(1)不定式(A)型消去零因子或用公式《1》(B)型约去因子,使之变成定式(C)型用公式《2》(D)型取简单的翻到分母上,转化成《A》或《B》(E)型通分或有理化,使之转化成其它类型注《A》和《B》型也可以用第四章中“罗必达”法则求但要满足条件三.导数
(一)基本概念1.导数值,也可以记作2.导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率k,其切线的方程是,法线方程3.函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系(见关系图)
(二).导数基本公式1.23456.78910.111213.
(三)微分法(设u和v都是x的函数)1.用定义求导数或导函数2.3.;4.5.设复合函数,则6.设由隐函数确定,则,也可以直接对方程求导数7.对于单项式可以用取对数法求导数对于幂指函数必须用取对数法求导数8.设参数方程,则9.微分10.反函数的导数附函数在一点处几个概念之间的关系图四.中值定理与导数应用1.拉格朗日中值定理条件函数在[ab]上连续,在(ab)内可导结论至少存在一点4.洛必塔法则适用于型极限,注意四种失效题型3.单调性若在(ab)内在(ab)内单调递增若在(ab)内在(ab)内单调递减a极值存在的必要条件若(为驻点)b极值存在的充分条件设函数在a点连续,则在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点c判断曲线凹凸的方法若在ab内0,则曲线在(ab)内上凹如等若在ab内0,则曲线在(ab)内下凹如等4.曲线拐点的求法设a为函数的连续点,若函数在a点处二阶导数变号,则曲线上的点(afa)为曲线的拐点5.求渐近线的方法若,则x=a为曲线的垂直渐近线若,则y=b为曲线的水平渐近线6.极值应用i.画图、设变量x,并将其余变量用x表示ii.建立函数关系,并写出定义域iii.求函数的一阶导数,找出驻点iv.说明驻点是最值点的理由,,并回答其它问题五.不定积分1.原函数在某区间内,若在任一点处均有,则称F(x)是的一个原函数1.若有原函数F(x),则F(x)+C表示全体原函数,且任意两个原函数仅相差一个常数1.若有原函数F(x),则的不定积分可表示为1.不定积分的几何意义表示在x点处切线斜率均为的一族曲线1.基本积分公式
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6.积分性质
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(4)7.计算方法
(1)直接积分法先对被积函数进行化简、变形,应用性质,再直接用公式
(2)第一换元法对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换设的导数连续,则
(1)第二换元法主要是消去被积函数中的等因子,见P286
(1)分部积分法,要用算式选u的顺序反、对、幂、
三、指、常
(1)简单的有理函数积分拆项法、大除法和待定系数法6.定积分1.定积分特点
(1)定积分是一个数,与积分变量无关
(2)被积函数连续是可积的充分条件
(3)被积函数有界是可积的必要条件1.定积分的几何意义
(1)设,则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形面积
(2)设,则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形的负面积
(3)若的符号不定,则表示面积的代数和由此得到对称区间上的奇函数积分为0,即,其中函数是奇函数2.主要性质
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(3)3.变上限定积分的求导法4.牛顿---莱布尼兹公式条件设在区间[ab]上连续,Fx是的一个原函数结论=F(b)--Fa
6.广义积分设在区间[a,上连续,曲ba,则在区间(,b)上类似定义7.几个结论设是偶函数设是奇函数8.求定积分的方法
(1)利用几何意义(画出对应的图形)
(2)直接用牛顿---莱布尼兹公式(结合性质和几个结论)
(3)先求对应的不定积分,在用牛顿---莱布尼兹公式(注意函数的连续性)
(4)用定积分的换元法和分部法(换元必须换限)9.定积分应用
(1)求平面图形的面积先画出这块面积,用阴影表示出用定积分表示面积,再求出其值
(2)求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积绕x轴v=绕y轴v=七.微分方程1.可分离变量2.一阶线性的附1几种等价写法1.常用公式1.对数有定义(函数值存在)有极限连续(极限值等于函数值)可导(可微)。