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10、函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则,我们知道数列可作为一类特殊的函数,故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似⑴、函数极限的运算规则 若已知x→x0或x→∞时,.则 推论 在求函数的极限时,利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限例题求解答例题求此题如果像上题那样求解,则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限,像这种情况怎么办呢?下面我们把它解出来解答注通过此例题我们可以发现当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了,应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形,然后运用规则求之函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前,我们先来学习一下左、右的概念我们先来看一个例子例符号函数为对于这个分段函数x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念定义如果x仅从左侧x<x0趋近x0时,函数与常量A无限接近,则称A为函数当时的左极限.记如果x仅从右侧x>x0趋近x0时,函数与常量A无限接近,则称A为函数当时的右极限.记注只有当x→x0时,函数的左、右极限存在且相等,方称在x→x0时有极限函数极限的存在准则 准则一对于点x0的某一邻域内的一切x,x0点本身可以除外或绝对值大于某一正数的一切x有≤≤,且,那末存在,且等于A注此准则也就是夹逼准则.准则二单调有界的函数必有极限.注有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限 一注其中e为无理数,它的值为e=
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718281828459045...二注在此我们对这两个重要极限不加以证明.注我们要牢记这两个重要极限,在今后的解题中会经常用到它们.例题求解答令,则x=-2t,因为x→∞,故t→∞,则注解此类型的题时,一定要注意代换后的变量的趋向情况,象x→∞时,若用t代换1/x,则t→
0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子已知函数,当x→0时,可知,我们把这种情况称为趋向无穷大为此我们可定义如下设有函数y=,在x=x0的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数N一个任意大的数,总可找到正数δ,当时,成立,则称函数当时为无穷大量记为(表示为无穷大量,实际它是没有极限的)同样我们可以给出当x→∞时,无限趋大的定义设有函数y=,当x充分大时有定义,对于任意给定的正数N一个任意大的数,总可以找到正数M,当时,成立,则称函数当x→∞时是无穷大量,记为无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量定义设有函数,对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正数δ或正数M,使得对于适合不等式或的一切x,所对应的函数值满足不等式,则称函数当或x→∞时为无穷小量.记作或注意无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,只有0可作为无穷小量的唯一常量无穷大量与无穷小量的区别是前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于
0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一如果函数在或x→∞时有极限A,则差是当或x→∞时的无穷小量,反之亦成立定理二无穷小量的有利运算定理a有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量;b有限个无穷小量的积仍是无穷小量;c常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道,两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢?好!接下来我们就来解决这个问题,这就是我们要学的两个无穷小量的比较定义设α,β都是时的无穷小量,且β在x0的去心领域内不为零,a如果,则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小;b如果,则称α和β是同阶无穷小;c如果,则称α和β是等价无穷小,记作α∽βα与β等价例因为,所以当x→0时,x与3x是同阶无穷小;因为,所以当x→0时,x2是3x的高阶无穷小;因为,所以当x→0时,sinx与x是等价无穷小等价无穷小的性质设,且存在,则.注这个性质表明求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题例题
1.求 解答当x→0时,sinax∽ax,tanbx∽bx,故例题
2.求解答注注从这个例题中我们可以发现,作无穷小变换时,要代换式中的某一项,不能只代换某个因子函数的一重要性质——连续性在自然界中有许多现象,如气温的变化,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量设变量x从它的一个初值x1变到终值x2,终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量,记为△x即△x=x2-x1增量△x可正可负.我们再来看一个例子函数在点x0的邻域内有定义,当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时,函数y相应地从变到,其对应的增量为这个关系式的几何解释如下图现在我们可对连续性的概念这样描述如果当△x趋向于零时,函数y对应的增量△y也趋向于零,即,那末就称函数在点x0处连续函数连续性的定义设函数在点x0的某个邻域内有定义,如果有称函数在点x0处连续,且称x0为函数的的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念设函数在区间ab]内有定义,如果左极限存在且等于,即=,那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间[ab内有定义,如果右极限存在且等于,即=,那末我们就称函数在点a右连续.一个函数在开区间ab内每点连续则为在ab连续,若又在a点右连续,b点左连续,则在闭区间[a,b]连续,如果在整个定义域内连续,则称为连续函数注一个函数若在定义域内某一点左、右都连续,则称函数在此点连续,否则在此点不连续.注连续函数图形是一条连续而不间断的曲线通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了,同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢?接着我们就来学习这个问题函数的间断点http://www.aihuau.com/lzzgs/gs1/
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101.htm函数的间断点定义我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形a在x0无定义;b在x→x0时无极限;c在x→x0时有极限但不等于;下面我们通过例题来学习一下间断点的类型例1正切函数在处没有定义,所以点是函数的间断点,因,我们就称为函数的无穷间断点;例2函数在点x=0处没有定义;故当x→0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,我们就称点x=0叫做函数的振荡间断点; 例3函数当x→0时,左极限,右极限,从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在,但不相等,故函数在点x=0是不存在极限我们还可以发现在点x=0时,函数值产生跳跃现象,为此我们把这种间断点称为跳跃间断点;我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:间断点的分类我们通常把间断点分成两类如果x0是函数的间断点,且其左、右极限都存在,我们把x0称为函数的第一类间断点;不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.可去间断点若x0是函数的间断点,但极限存在,那末x0是函数的第一类间断点此时函数不连续原因是不存在或者是存在但≠我们令,则可使函数在点x0处连续,故这种间断点x0称为可去间断点连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则,可得出以下结论a有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数;b有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数;c两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数分母在该点不为零;反函数的连续性若函数在某区间上单调增或单调减且连续,那末它的反函数也在对应的区间上单调增单调减且连续例函数在闭区间上单调增且连续,故它的反函数在闭区间[-11]上也是单调增且连续的复合函数的连续性设函数当x→x0时的极限存在且等于a,即.而函数在点u=a连续,那末复合函数当x→x0时的极限也存在且等于.即例题求解答注函数可看作与复合而成,且函数在点u=e连续,因此可得出上述结论设函数在点x=x0连续,且,而函数在点u=u0连续,那末复合函数在点x=x0也是连续的初等函数的连续性通过前面我们所学的概念和性质,我们可得出以下结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的;一切初等函数在其定义域内也都是连续的.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续,右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质,下面我们来学习一下最大值最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在此不作证明 例函数y=sinx在闭区间[0,2π]上连续,则在点x=π/2处,它的函数值为1,且大于闭区间[0,2π]上其它各点出的函数值;则在点x=3π/2处,它的函数值为-1,且小于闭区间[0,2π]上其它各点出的函数值介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值即,μ在α、β之间,则在[a,b]间一定有一个ξ,使 推论 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值
二、导数与微分导数的概念在学习到数的概念之前,我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题例设一质点沿x轴运动时,其位置x是时间t的函数,,求质点在t0的瞬时速度?我们知道时间从t0有增量△t时,质点的位置有增量,这就是质点在时间段△t的位移因此,在此段时间内质点的平均速度为.若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度,若质点是非匀速直线运动,则这还不是质点在t0时的瞬时速度我们认为当时间段△t无限地接近于0时,此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度,即质点在t0时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义,如下导数的定义设函数在点x0的某一邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量△xx+△x也在该邻域内时,相应地函数有增量,若△y与△x之比当△x→0时极限存在,则称这个极限值为在x0处的导数记为还可记为,函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导,否则不可导若函数在区间ab内每一点都可导,就称函数在区间ab内可导这时函数对于区间ab内的每一个确定的x值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,我们就称这个函数为原来函数的导函数 注导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念,导数是差商的极限,因此我们可以给出左、右导数的概念若极限存在,我们就称它为函数在x=x0处的左导数若极限存在,我们就称它为函数在x=x0处的右导数注函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则函数的和差求导法则 法则两个可导函数的和差的导数等于这两个函数的导数的和差.用公式可写为其中u、v为可导函数例题已知,求解答例题已知,求解答函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时,常数因子可以提到求导记号外面去用公式可写成例题已知,求解答函数的积的求导法则法则两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子,加上第一个因子乘第二个因子的导数用公式可写成例题已知,求解答注若是三个函数相乘,则先把其中的两个看成一项函数的商的求导法则法则两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积,在除以分母导数的平方用公式可写成例题已知,求解答复合函数的求导法则在学习此法则之前我们先来看一个例子!例题求=解答由于,故 这个解答正确吗这个解答是错误的,正确的解答应该如下我们发生错误的原因是是对自变量x求导,而不是对2x求导下面我们给出复合函数的求导法则复合函数的求导规则规则两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数用公式表示为,其中u为中间变量例题已知,求解答设则可分解为因此注在以后解题中,我们可以中间步骤省去例题已知,求 解答反函数求导法则根据反函数的定义,函数为单调连续函数,则它的反函数它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则,如下我们以定理的形式给出定理若是单调连续的,且,则它的反函数在点x可导,且有注通过此定理我们可以发现反函数的导数等于原函数导数的倒数注这里的反函数是以y为自变量的,我们没有对它作记号变换即是对y求导,是对x求导例题求的导数.解答此函数的反函数为,故则例题求的导数.解答此函数的反函数为,故则高阶导数我们知道,在物理学上变速直线运动的速度vt是位置函数st对时间t的导数,即,而加速度a又是速度v对时间t的变化率,即速度v对时间t的导数,或这种导数的导数叫做s对t的二阶导数下面我们给出它的数学定义定义函数的导数仍然是x的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数,记作或,即或.相应地,把的导数叫做函数的一阶导数.类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数,叫做四阶导数,…,一般地n-1阶导数的导数叫做n阶导数.分别记作,,…,或,,…,二阶及二阶以上的导数统称高阶导数由此可见,求高阶导数就是多次接连地求导,所以,在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法例题已知,求 解答因为=a,故=0例题求对数函数的n阶导数解答,,,,一般地,可得隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数,可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示,像y=sinx,y=1+3x等,这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.一般地,如果方程Fxy=0中,令x在某一区间内任取一值时,相应地总有满足此方程的y值存在,则我们就说方程Fxy=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式,叫做隐函数的显化注有些隐函数并不是很容易化为显函数的,那么在求其导数时该如何呢?下面让我们来解决这个问题!隐函数的求导若已知Fxy=0,求时,一般按下列步骤进行求解a若方程Fxy=0,能化为的形式,则用前面我们所学的方法进行求导;b若方程Fxy=0,不能化为的形式,则是方程两边对x进行求导,并把y看成x的函数,用复合函数求导法则进行例题已知,求解答此方程不易显化,故运用隐函数求导法.两边对x进行求导,,,故= 注我们对隐函数两边对x进行求导时,一定要把变量y看成x的函数,然后对其利用复合函数求导法则进行求导例题求隐函数,在x=0处的导数解答两边对x求导,故,当x=0时,y=
0.故有些函数在求导数时,若对其直接求导有时很不方便,像对某些幂函数进行求导时,有没有一种比较直观的方法呢?下面我们再来学习一种求导的方法对数求导法http://www.aihuau.com/lzzgs/gs2/
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71.htm对数求导法对数求导的法则根据隐函数求导的方法,对某一函数先取函数的自然对数,然后在求导注此方法特别适用于幂函数的求导问题例题已知x>0,求此题若对其直接求导比较麻烦,我们可以先对其两边取自然对数,然后再把它看成隐函数进行求导,就比较简便些如下解答先两边取对数,把其看成隐函数,再两边求导因为,所以例题已知,求此题可用复合函数求导法则进行求导,但是比较麻烦,下面我们利用对数求导法进行求导解答先两边取对数再两边求导因为,所以函数的微分学习函数的微分之前,我们先来分析一个具体问题一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由x0变到了x0+△x,则此薄片的面积改变了多少?解答设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x的函数薄片受温度变化的影响面积的改变量,可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时,函数A相应的增量△A,即从上式我们可以看出,△A分成两部分,第一部分是△x的线性函数,即下图中红色部分;第二部分即图中的黑色部分,当△x→0时,它是△x的高阶无穷小,表示为由此我们可以发现,如果边长变化的很小时,面积的改变量可以近似的用地一部分来代替下面我们给出微分的数学定义函数微分的定义设函数在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,若函数的增量可表示为,其中A是不依赖于△x的常数,是△x的高阶无穷小,则称函数在点x0可微的叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即=通过上面的学习我们知道微分是自变量改变量△x的线性函数,dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy称作△y的线性主部于是我们又得出当△x→0时,△y≈dy.导数的记号为,现在我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值把△x看成dx即:定义自变量的增量等于自变量的微分,还可表示为由此我们得出若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立微分形式不变性 什么是微分形式不边形呢? 设,则复合函数的微分为 , 由于,故我们可以把复合函数的微分写成 由此可见,不论u是自变量还是中间变量,的微分dy总可以用与du的乘积来表示, 我们把这一性质称为微分形式不变性 例题已知,求dy 解答把2x+1看成中间变量u,根据微分形式不变性,则 通过上面的学习,我们知道微分与导数有着不可分割的联系,前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数 的运算法则,那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢? 下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则http://www.aihuau.com/lzzgs/gs2/
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81.htm基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 基本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为,于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式,下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下部分公式导数公式微分公式微分运算法则 由函数和、差、积、商的求导法则,可推出相应的微分法则.为了便于理解,下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性,在此不再详述 例题设,求对x3的导数 解答根据微分形式的不变性 微分的应用 微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量,有时比较困难,但计算微分则比较简单,为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量,这就是微分在近似计算中的应用. 例题求的近似值 解答我们发现用计算的方法特别麻烦,为此把转化为求微分的问题 故其近似值为
1.025精确值为
1.024695
三、导数的应用微分学中值定理 在给出微分学中值定理的数学定义之前,我们先从几何的角度看一个问题,如下 设有连续函数,a与b是它定义区间内的两点a<b,假定此函数在ab处处可导,也就是在ab内的函数图形上处处都由切线,那末我们从图形上容易直到, 差商就是割线AB的斜率,若我们把割线AB作平行于自身的移动,那么至少有一次机会达到离割线最远的一点Px=c处成为曲线的切线,而曲线的斜率为,由于切线与割线是平行的,因此 成立 注这个结果就称为微分学中值定理,也称为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间[ab]上连续,在开区间ab内可导,那末在ab内至少有一点c,使 成立 这个定理的特殊情形,即的情形,称为罗尔定理描述如下 若在闭区间[ab]上连续,在开区间ab内可导,且,那末在ab内至少有一点c,使成立 注这个定理是罗尔在17世纪初,在微积分发明之前以几何的形式提出来的 注在此我们对这两个定理不加以证明,若有什么疑问,请参考相关书籍 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理 如果函数,在闭区间[a,b]上连续,在开区间a,b内可导,且≠0,那末在a,b内至少有一点c,使成立 例题证明方程在0与1之间至少有一个实根 证明不难发现方程左端是函数的导数 函数在[0,1]上连续,在01内可导,且,由罗尔定理 可知,在0与1之间至少有一点c,使,即 也就是方程在0与1之间至少有一个实根未定式问题 问题什么样的式子称作未定式呢? 答案对于函数来说,当x→a或x→∞时,函数都趋于零或无穷大 则极限可能存在,也可能不存在,我们就把式子称为未定式分别记为型 我们容易知道,对于未定式的极限求法,是不能应用商的极限等于极限的商这个法则来求解的,那么我们该如何求这类问题的极限呢? 下面我们来学习罗彼塔LHospital法则,它就是这个问题的答案 注它是根据柯西中值定理推出来的罗彼塔LHospital法则 当x→a或x→∞时,函数都趋于零或无穷大,在点a的某个去心邻域内或当│x│>N时,与都存在,≠0,且存在 则= 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法,就是所谓的罗彼塔LHospital法则 注它是以前求极限的法则的补充,以前利用法则不好求的极限,可利用此法则求解 例题求 解答容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的,因为它是未定式中的型求解问题,因此我们就可以利用上面所学的法则了 例题求 解答此题为未定式中的型求解问题,利用罗彼塔法则来求解 另外,若遇到、、、、等型,通常是转化为型后,在利用法则求解 例题求 解答此题利用以前所学的法则是不好求解的,它为型,故可先将其转化为型后在求解, 注罗彼塔法则只是说明对未定式来说,当存在,则存在且二者的极限相同;而并不是不存在时,也不存在,此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列函数单调性的判定法 函数的单调性也就是函数的增减性,怎样才能判断函数的增减性呢? 我们知道若函数在某区间上单调增或减,则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正或负也就是函数的导数在此区间上均取正值或负值.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.判定方法 设函数在[ab]上连续,在ab内可导. a如果在ab内>0,那末函数在[ab]上单调增加; b如果在ab内<0,那末函数在[ab]上单调减少. 例题确定函数的增减区间. 解答容易确定此函数的定义域为-∞+∞ 其导数为,因此可以判出 当x>0时,>0,故它的单调增区间为0+∞; 当x<0时,<0,故它的单调减区间为-∞0;注此判定方法若反过来讲,则是不正确的函数的极值及其求法 在学习函数的极值之前,我们先来看一例子 设有函数,容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点,又可知在点x=1左侧附近,函数值是单调增加的,在点x=1右侧附近,函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域对于这个邻域内任何点xx=1除外,<均成立,点x=2也有类似的情况在此不多说为什么这些点有这些性质呢? 事实上,这就是我们将要学习的内容——函数的极值,函数极值的定义 设函数在区间ab内有定义,x0是ab内一点. 若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点xx0点除外,<均成立, 则说是函数的一个极大值; 若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点xx0点除外,>均成立, 则说是函数的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点 我们知道了函数极值的定义了,怎样求函数的极值呢? 学习这个问题之前,我们再来学习一个概念——驻点 凡是使的x点,称为函数的驻点 判断极值点存在的方法有两种如下方法一 设函数在x0点的邻域可导,且. 情况一若当x取x0左侧邻近值时,>0,当x取x0右侧邻近值时,<0, 则函数在x0点取极大值 情况一若当x取x0左侧邻近值时,<0,当x取x0右侧邻近值时,>0, 则函数在x0点取极小值 注此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况 用方法一求极值的一般步骤是 a求; b求的全部的解——驻点; c判断在驻点两侧的变化规律,即可判断出函数的极值 例题求极值点 解答先求导数 再求出驻点当时,x=-
2、
1、-4/5 判定函数的极值,如下图所示 方法二 设函数在x0点具有二阶导数,且时. 则a当<0,函数在x0点取极大值; b当>0,函数在x0点取极小值; c当=0,其情形不一定,可由方法一来判定. 例题我们仍以例1为例,以比较这两种方法的区别 解答上面我们已求出了此函数的驻点,下面我们再来求它的二阶导数 ,故此时的情形不确定,我们可由方法一来判定; <0,故此点为极大值点; >0,故此点为极小值点函数的最大值、最小值及其应用 在工农业生产、工程技术及科学实验中,常会遇到这样一类问题在一定条件下,怎样使产品最多、用料最省、成本最低等 这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题 怎样求函数的最大值、最小值呢?前面我们已经知道了,函数的极值是局部的要求在[ab]上的最大值、最小值时,可求出开区间ab内全部的极值点,加上端点的值,从中取得最大值、最小值即为所求 例题求函数,在区间[-3,3/2]的最大值、最小值 解答在此区间处处可导, 先来求函数的极值,故x=±1, 再来比较端点与极值点的函数值,取出最大值与最小值即为所求 因为,,, 故函数的最大值为,函数的最小值为 例题圆柱形罐头,高度H与半径R应怎样配,使同样容积下材料最省? 解答由题意可知为一常数, 面积 故在V不变的条件下,改变R使S取最小值 故时,用料最省曲线的凹向与拐点 通过前面的学习,我们知道由一阶导数的正负,可以判定出函数的单调区间与极值,但是还不能进一步研究曲线的性态,为此我们还要了解曲线的凹性定义 对区间I的曲线作切线,如果曲线弧在所有切线的下面,则称曲线在区间I下凹,如果曲线在切线的上面,称曲线在区间I上凹曲线凹向的判定定理 定理一设函数在区间ab上可导,它对应曲线是向上凹或向下凹的充分必要条件是 导数在区间ab上是单调增或单调减 定理二设函数在区间ab上可导,并且具有一阶导数和二阶导数;那末 若在ab内,>0,则在[ab]对应的曲线是下凹的; 若在ab内,<0,则在[ab]对应的曲线是上凹的; 例题判断函数的凹向 解答我们根据定理二来判定 因为,所以在函数的定义域0+∞内,<0, 故函数所对应的曲线时下凹的拐点的定义 连续函数上,上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点拐定的判定方法 如果在区间ab内具有二阶导数,我们可按下列步骤来判定的拐点 1求; 2令=0,解出此方程在区间ab内实根; 3对于2中解出的每一个实根x0,检查在x0左、右两侧邻近的符号,若符号相反,则此点是拐点,若相同,则不是拐点 例题求曲线的拐点 解答由, 令=0,得x=0,2/3 判断在0,2/3左、右两侧邻近的符号,可知此两点皆是曲线的拐点
四、不定积分不定积分的概念 原函数的概念 已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有 dFx=fxdx, 则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数 例sinx是cosx的原函数 关于原函数的问题 函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢?这个问题我们以后来解决若其存在原函数,那末原函数一共有多少个呢? 我们可以明显的看出来若函数Fx为函数fx的原函数, 即Fx=fx, 则函数族Fx+CC为任一个常数)中的任一个函数一定是fx的原函数, 故若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.不定积分的概念 函数fx的全体原函数叫做函数fx的不定积分, 记作 由上面的定义我们可以知道如果函数Fx为函数fx的一个原函数,那末fx的不定积分就是函数族 Fx+C. 即:=Fx+C 例题求. 解答由于,故=不定积分的性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和; 即
2、求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即求不定积分的方法 换元法 换元法
(一)设fu具有原函数Fu,u=gx可导,那末F[gx]是f[gx]gx的原函数. 即有换元公式: 例题求 解答这个积分在基本积分表中是查不到的,故我们要利用换元法 设u=2x,那末cos2x=cosu,du=2dx,因此 换元法
(二)设x=gt是单调的,可导的函数,并且gt≠0,又设f[gt]gt具有原函数φt, 则φ[gx]是fx的原函数.其中gx是x=gt的反函数) 即有换元公式: 例题求 解答这个积分的困难在于有根式,但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint-π/2tπ/2,那末,dx=acostdt于是有 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的,我们应根据具体实例来选择所用的方法,求不定积分不象求导那样有规则可依,因此要想熟练的求出某函数的不定积分,只有作大量的练习分部积分法 这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的 设函数u=ux及v=vx具有连续导数.我们知道,两个函数乘积的求导公式为 uv=uv+uv,移项,得 uv=uv-uv,对其两边求不定积分得 , 这就是分部积分公式 例题求 解答这个积分用换元法不易得出结果,我们来利用分部积分法 设u=x,dv=cosxdx,那末du=dx,v=sinx,代入分部积分公式得 关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时,应恰当的选取u和dv,否则就会南辕北辙选取u和dv一般要考虑两点 1v要容易求得; 2容易积出几种特殊类型函数的积分举例 有理函数的积分举例 有理函数是指两个多项式的商所表示的函数,当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式, 反之为真分式 在求有理函数的不定积分时,若有理函数为假分式应先利用多项式的除法,把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式,然后再求之 例题求 解答 关于有理函数积分的问题 有理函数积分的具体方法请大家参照有关书籍,请谅三角函数的有理式的积分举例 三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 例题求 解答 关于三角函数的有理式的积分的问题 任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出,故变量代换u=tanx/2对三角函数的有理式的积分应用,在此我 们不再举例简单无理函数的积分举例 例题求 解答设,于是x=u2+1,dx=2udu,从而所求积分为
五、定积分及其应用定积分的概念 我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积 设曲边梯形是有连续曲线y=fx、x轴与直线x=a、x=b所围成如下图所示 现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法,但是此图形有一边是一条曲线,该如何求呢? 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高fx在区间[ab]上变动,而且它的高是连续变化的,因此在很小的一段区间的变化很小,近似于不变,并且当区间的长度无限缩小时,高的变化也无限减小因此,如果把区间[ab]分成许多小区间,在每个小区间上,用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高,我们再根据矩形的面积公式,即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值,从而求出整个曲边梯形的近似值 显然把区间[ab]分的越细,所求出的面积值越接近于精确值为此我们产生了定积分的概念定积分的概念 设函数fx在[ab]上有界,在[ab]中任意插入若干个分点 a=x0x
1...xn-1xn=b 把区间[ab]分成n个小区间 [x0,x1],...[xn-1xn] 在每个小区间[xi-1xi]上任取一点ξixi-1≤ξi≤xi作函数值fξi与小区间长度的乘积fξi△xi, 并作出和, 如果不论对[ab]怎样分法,也不论在小区间上的点ξi怎样取法,只要当区间的长度趋于零时,和S总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数fx在区间[ab]上的定积分, 记作 即关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了,那么函数fx满足什么条件时才可积? 定理
(1)设fx在区间[ab]上连续,则fx在区间[ab]上可积
(2)设fx在区间[ab]上有界,且只有有限个间断点,则fx在区间[ab]上可积定积分的性质 性质1函数的和差得定积分等于它们的定积分的和差). 即 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即 性质3如果在区间[ab]上,fx≤gx,则≤ (ab 性质4设M及m分别是函数fx在区间[ab]上的最大值及最小值,则mb-a≤≤Mb-a 性质5如果fx在区间[ab]上连续,则在积分区间[ab]上至少存在一点ξ,使下式成立 =fξb-a 注此性质就是定积分中值定理微积分积分公式 积分上限的函数及其导数 设函数fx在区间[ab]上连续,并且设x为[ab]上的一点.现在我们来考察fx在部分区间[ax]上的定积分我们知道fx在[ax]上仍旧连续,因此此定积分存在 如果上限x在区间[ab]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[ab]上定义了一个函数,记作φx: 注意为了明确起见,我们改换了积分变量(定积分与积分变量的记法无关) 定理1如果函数fx在区间[ab]上连续,则积分上限的函数在[ab]上具有导数, 并且它的导数是 (a≤x≤b 2如果函数fx在区间[ab]上连续,则函数就是fx在[ab]上的一个原函数 注意定理
(2)即肯定了连续函数的原函数是存在的,又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系牛顿--莱布尼兹公式 定理3如果函数Fx是连续函数fx在区间[ab]上的一个原函数,则 注意此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式,它进一步揭示了定积分与原函数不定积分)之间的联系 它表明一个连续函数在区间[ab]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[ab]上的增量因此它就 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法 例题求 解答我们由牛顿-莱布尼兹公式得 注意通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式定积分的换元法与分部积分法 定积分的换元法 我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量,在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数因此,在一定条件下,可以用换元法来计算定积分 定理设函数fx在区间[ab]上连续;函数gt在区间[mn]上是单值的且有连续导数;当t在区间[mn]上变化时,x=gt的值在[ab]上变化,且gm=agn=b;则有定积分的换元公式: 例题:计算 解答:设x=asint则dx=acostdt且当x=0时,t=0;当x=a时,t=π/
2.于是 注意在使用定积分的换元法时,当积分变量变换时,积分的上下限也要作相应的变换定积分的分部积分法 计算不定积分有分部积分法,相应地,计算定积分也有分部积分法 设ux、vx在区间[ab]上具有连续导数ux、vx,则有uv=uv+uv分别求此等式两端在[ab]上的定积分,并移向得 上式即为定积分的分部积分公式 例题计算 解答设,且当x=0时,t=0;当x=1时,t=
1.由前面的换元公式得 再用分部积分公式计算上式的右端的积分设u=tdv=etdt则du=dtv=et.于是 故广义积分 在一些实际问题中,我们常遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分,它们已不属于前面我们所学习的定积分了为此我们对定积分加以推广,也就是———广义积分一积分区间为无穷区间的广义积分 设函数fx在区间[a+∞上连续,取ba.如果极限 存在, 则此极限叫做函数fx在无穷区间[a+∞)上的广义积分, 记作, 即=. 此时也就是说广义积分收敛如果上述即先不存在,则说广义积分发散,此时虽然用同样的记号,但它已不表示数值了 类似地,设函数fx在区间-∞,b]上连续,取ab.如果极限 存在, 则此极限叫做函数fx在无穷区间-∞,b]上的广义积分, 记作, 即=. 此时也就是说广义积分收敛如果上述极限不存在,就说广义积分发散 如果广义积分和都收敛,则称上述两广义积分之和为函数fx在无穷区间-∞+∞上的广义积分, 记作, 即= 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分 例题计算广义积分 解答二积分区间有无穷间断点的广义积分 设函数fx在ab]上连续,而.取ε0,如果极限 存在,则极限叫做函数fx在ab]上的广义积分, 仍然记作. 即=, 这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在,就说广义积分发散 类似地,设fx在[ab上连续,而.取ε0,如果极限 存在, 则定义=; 否则就说广义积分发散 又,设fx在[ab]上除点cacb外连续,而.如果两个广义积分和都收敛, 则定义=+. 否则就说广义积分发散 例题计算广义积分a0 解答因为,所以x=a为被积函数的无穷间断点,于是我们有上面所学得公式可得 PAGE1。