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高等数学教案§12微分方程第12章微分方程教学目的1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程4.会用降阶法解下列微分方程,和5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解
8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组9.会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题教学重点
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程,和
3、二阶常系数齐次线性微分方程;
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;教学难点
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程;
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理;
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
4、欧拉方程§121微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例1一曲线通过点12且在该曲线上任一点Mxy处的切线的斜率为2x求这曲线的方程解设所求曲线的方程为yyx根据导数的几何意义可知未知函数yyx应满足关系式称为微分方程1此外未知函数yyx还应满足下列条件x1时y2简记为y|x122把1式两端积分得称为微分方程的通解即yx2C3其中C是任意常数把条件“x1时y2”代入3式得212C由此定出C1把C1代入3式得所求曲线方程称为微分方程满足条件y|x12的解yx21例2列车在平直线路上以20m/s相当于72km/h的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数sst应满足关系式4此外未知函数sst还应满足下列条件t0时s0简记为s|t0=0s|t0=205把4式两端积分一次得6再积分一次得s02t2C1tC27这里C1C2都是任意常数把条件v|t020代入6得20C1把条件s|t00代入7得0C2把C1C2的值代入6及7式得v04t208s02t220t9在8式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间s再把t50代入9得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500m解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米s04并且s|t0=0s|t0=20把等式s04两端积分一次得s04tC1即v04tC1C1是任意常数再积分一次得s02t2C1tC2C1C2都C1是任意常数由v|t020得20C1于是v04t20由s|t00得0C2于是s02t220t令v0得t50s于是列车在制动阶段行驶的路程s025022050500m几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3yx2y4xy3x2y44y10y12y5ysin2xyn10一般n阶微分方程Fxyyyn0ynfxyyyn1微分方程的解满足微分方程的函数把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式叫做该微分方程的解确切地说设函数yx在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上F[xxxnx]0那么函数yx就叫做微分方程Fxyyyn0在区间I上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如xx0时yy0yy0一般写成特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yfxy满足初始条件的解的问题记为积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程的解解求所给函数的导数将及x的表达式代入所给方程得k2C1cosktC2sinktk2C1cosktC2sinkt0这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程因此所给函数是所给方程的解例4已知函数xC1cosktC2sinktk0是微分方程的通解求满足初始条件x|t0Ax|t00的特解解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得C1A再由条件x|t00及xtkC1sinktkC2coskt得C20把C
1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得xAcoskt§122可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得yx2C一般地方程yfx的通解为此处积分后不再加任意常数2求微分方程y2xy2的通解因为y是未知的所以积分无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为两边积分得或可以验证函数是原方程的通解一般地如果一阶微分方程yxy能写成gydyfxdx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程GyFxC由方程GyFxC所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式PxydxQxydy0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Qxy0时有若把y看作自变量、x看作未知函数则当Pxy0时有可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成gydyfxdx或写成yxy的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?1y2xy是y1dy2xdx23x25xy0是dy3x25xdx3x2y2dxxydy=0不是4y1xy2xy2是y1x1y25y10xy是10ydy10xdx6不是可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成gydyfxdx的形式第二步两端积分设积分后得GyFxC第三步求出由GyFxC所确定的隐函数yx或xyGyFxCyx或xy都是方程的通解其中GyFxC称为隐式通解例1求微分方程的通解解此方程为可分离变量方程分离变量后得两边积分得即ln|y|x2C1从而因为仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解解此方程为可分离变量方程分离变量后得两边积分得即ln|y|x2lnC从而例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量Mt随时间t变化的规律解铀的衰变速度就是Mt对时间t的导数由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程其中0是常数前的曲面号表示当t增加时M单调减少即由题意初始条件为M|t0M0将方程分离变量得两边积分得即lnMtlnC也即MCet由初始条件得M0Ce0C所以铀含量Mt随时间t变化的规律MM0et例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为vt降落伞所受外力为Fmgkvk为比例系数根据牛顿第二运动定律Fma得函数vt应满足的方程为初始条件为v|t00方程分离变量得两边积分得即将初始条件v|t00代入通解得于是降落伞下落速度与时间的函数关系为例4求微分方程的通解解方程可化为分离变量得两边积分得即于是原方程的通解为例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算其中062为流量系数S为孔口横截面面积g为重力加速度现在孔口横截面面积S1cm2故或另一方面设在微小时间间隔[ttdt]内水面高度由h降至hdhdh0则又可得到dVr2dh其中r是时刻t的水面半径右端置负号是由于dh0而dV0的缘故又因所以dV200hh2dh通过比较得到这就是未知函数hht应满足的微分方程此外开始时容器内的水是满的所以未知函数hht还应满足下列初始条件h|t0100将方程分离变量后得两端积分得即其中C是任意常数由初始条件得因此上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系§123齐次方程齐次方程如果一阶微分方程中的函数fxy可写成的函数即则称这方程为齐次方程下列方程哪些是齐次方程?1是齐次方程2不是齐次方程3x2y2dxxydy0是齐次方程42xy4dxxy1dy0不是齐次方程5是齐次方程齐次方程的解法在齐次方程中令即yux有分离变量得两端积分得求出积分后再用代替u便得所给齐次方程的通解例1解方程解原方程可写成因此原方程是齐次方程令则yux于是原方程变为即分离变量得两边积分得uln|u|Cln|x|或写成ln|xu|uC以代上式中的u便得所给方程的通解例2有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求这旋转曲面的方程解设此凹镜是由xOy面上曲线Lyyxy0绕x轴旋转而成光源在原点在L上任取一点Mxy作L的切线交x轴于A点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线由光学及几何原理可以证明OAOM因为而于是得微分方程整理得这是齐次方程问题归结为解齐次方程令即xyv得即分离变量得两边积分得以yvx代入上式得这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为这就是所求的旋转曲面方程例3设河边点O的正对岸为点A河宽OAh两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从点A游向点O设鸭子的游速为bba且鸭子游动方向始终朝着点O求鸭子游过的迹线的方程例3设一条河的两岸为平行直线水流速度为a有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O设鸭子的游速为bba且鸭子游动方向始终朝着点O已知OAh求鸭子游过的迹线的方程解取O为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点Pxy则鸭子运动速度故有另一方面因此即问题归结为解齐次方程令即xyu得分离变量得两边积分得将代入上式并整理得以x|yh0代入上式得故鸭子游过的轨迹方程为0yh将代入后的整理过程§
12.4线性微分方程
一、线性方程线性方程方程叫做一阶线性微分方程如果Qx0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程下列方程各是什么类型方程?1是齐次线性方程23x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程3yycosxesinx是非齐次线性方程4不是线性方程5或不是线性方程齐次线性方程的解法齐次线性方程是变量可分离方程分离变量后得两边积分得或这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数)例1求方程的通解解这是齐次线性方程分离变量得两边积分得ln|y|ln|x2|lnC方程的通解为yCx2非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数ux把设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得化简得于是非齐次线性方程的通解为或非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例2求方程的通解解这是一个非齐次线性方程先求对应的齐次线性方程的通解分离变量得两边积分得lny2lnx1lnC齐次线性方程的通解为yCx12用常数变易法把C换成u即令yux12代入所给非齐次线性方程得两边积分得再把上式代入yux12中即得所求方程的通解为解这里因为所以通解为例3有一个电路如图所示其中电源电动势为EEmsintEm、都是常数电阻R和电感L都是常量求电流it解由电学知道当电流变化时L上有感应电动势由回路电压定律得出即把EEmsint代入上式得初始条件为i|t00方程为非齐次线性方程其中由通解公式得其中C为任意常数将初始条件i|t00代入通解得因此所求函数it为
二、伯努利方程伯努利方程方程n01叫做伯努利方程下列方程是什么类型方程?1是伯努利方程2是伯努利方程3是伯努利方程4是线性方程不是伯努利方程伯努利方程的解法以yn除方程的两边得令zy1n得线性方程例4求方程的通解解以y2除方程的两端得即令zy1则上述方程成为这是一个线性方程它的通解为以y1代z得所求方程的通解为经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程例5解方程解若把所给方程变形为即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程令xyu则原方程化为即分离变量得两端积分得uln|u1|xln|C|以uxy代入上式得yln|xy1|ln|C|或xCeyy1§125全微分方程全微分方程一个一阶微分方程写成PxydxQxydy0形式后如果它的左端恰好是某一个函数uuxy的全微分duxyPxydxQxydy那么方程PxydxQxydy0就叫做全微分方程这里而方程可写为duxy0全微分方程的判定若Pxy、Qxy在单连通域G内具有一阶连续偏导数且则方程PxydxQxydy0是全微分方程全微分方程的通解若方程PxydxQxydy0是全微分方程且duxyPxydxQxydy则uxyC即是方程PxydxQxydy0的通解例1求解5x43xy2y3dx3x2y3xy2y2dy0解这里所以这是全微分方程取x0y000有于是方程的通解为积分因子若方程PxydxQxydy0不是全微分方程但存在一函数xyxy0使方程xyPxydxxyQxydy0是全微分方程则函数xy叫做方程PxydxQxydy0的积分因子例2通过观察求方程的积分因子并求其通解:1ydxxdy021xyydx1xyxdy0解1方程ydxxdy0不是全微分方程因为所以是方程ydxxdy0的积分因子于是是全微分方程所给方程的通解为2方程1xyydx1xyxdy0不是全微分方程将方程的各项重新合并得ydxxdyxyydxxdy0再把它改写成这时容易看出为积分因子乘以该积分因子后方程就变为积分得通解即我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程yPxyQx可以验证是一阶线性方程yPxyQx的一个积分因子在一阶线性方程的两边乘以得即亦即两边积分便得通解或例3用积分因子求的通解解方程的积分因子为方程两边乘以得即于是因此原方程的通解为§126可降阶的高阶微分方程
一、ynfx型的微分方程解法积分n次例1求微分方程ye2xcosx的通解解对所给方程接连积分三次得这就是所给方程的通解或这就是所给方程的通解例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动设力F仅是时间t的函数FFt在开始时刻t0时F0F0随着时间t的增大此力F均匀地减小直到tT时FT0如果开始时质点位于原点且初速度为零求这质点的运动规律解设xxt表示在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为由题设力Ft随t增大而均匀地减小且t0时F0F0所以FtF0kt又当tT时FT0从而于是质点运动的微分方程又写为其初始条件为把微分方程两边积分得再积分一次得由初始条件x|t00得C1C20于是所求质点的运动规律为0tT解设xxt表示在时刻t时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为mxFt由题设Ft是线性函数且过点0F0和T0故即于是质点运动的微分方程又写为其初始条件为x|t00x|t00把微分方程两边积分得再积分一次得由初始条件x|t00x|t00得C1C20于是所求质点的运动规律为0tT
二、yfxy型的微分方程解法设yp则方程化为pfxp设pfxp的通解为pxC1则原方程的通解为例3求微分方程1x2y2xy满足初始条件y|x01y|x03的特解解所给方程是yfxy型的设yp代入方程并分离变量后有两边积分得ln|p|ln1x2C即pyC11x2C1eC由条件y|x03得C13所以y31x2两边再积分得yx33xC2又由条件y|x01得C21于是所求的特解为yx33x1例4设有一均匀、柔软的绳索两端固定绳索仅受重力的作用而下垂试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线
三、yfyy型的微分方程解法设yp有原方程化为设方程的通解为ypyC1则原方程的通解为例5求微分yyy20的通解解设yp则代入方程得在y
0、p0时约去p并分离变量得两边积分得ln|p|ln|y|lnc即pCy或yCyCc再分离变量并两边积分便得原方程的通解为ln|y|Cxlnc1或yC1eCxC1c1例5求微分yyy20的通解解设yp则原方程化为当y
0、p0时有于是即yC1y0从而原方程的通解为例6一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力)§127高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例例1设有一个弹簧上端固定下端挂一个质量为m的物体取x轴铅直向下并取物体的平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度v00后物体在平衡位置附近作上下振动在振动过程中物体的位置x是t的函数xxt设弹簧的弹性系数为c则恢复力fcx又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比比例系数为则由牛顿第二定律得移项并记则上式化为这就是在有阻尼的情况下物体自由振动的微分方程如果振动物体还受到铅直扰力FHsinpt的作用则有其中这就是强迫振动的微分方程例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路其中R、L、及C为常数电源电动势是时间t的函数EEmsint这里Em及也是常数设电路中的电流为it电容器极板上的电量为qt两极板间的电压为uc自感电动势为EL由电学知道根据回路电压定律得即或写成其中这就是串联电路的振荡方程如果电容器经充电后撤去外电源E0则上述成为二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为yPxyQxyfx若方程右端fx0时方程称为齐次的否则称为非齐次的
二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程yPxyQxy0即定理1如果函数y1x与y2x是方程yPxyQxy0的两个解那么yC1y1xC2y2x也是方程的解其中C
1、C2是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理证明[C1y1C2y2]C1y1C2y2[C1y1C2y2]C1y1C2y2因为y1与y2是方程yPxyQxy0所以有y1Pxy1Qxy10及y2Pxy2Qxy20从而[C1y1C2y2]Px[C1y1C2y2]Qx[C1y1C2y2]C1[y1Pxy1Qxy1]C2[y2Pxy2Qxy2]000这就证明了yC1y1xC2y2x也是方程yPxyQxy0的解函数的线性相关与线性无关设y1xy2xynx为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的常数k1k2kn使得当xI时有恒等式k1y1xk2y2xknynx0成立那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数它们线性相关与否只要看它们的比是否为常数如果比为常数那么它们就线性相关否则就线性无关例如1cos2xsin2x在整个数轴上是线性相关的函数1xx2在任何区间ab内是线性无关的定理2如果如果函数y1x与y2x是方程yPxyQxy0的两个线性无关的解那么yC1y1xC2y2xC
1、C2是任意常数是方程的通解例3验证y1cosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解并写出其通解解因为y1y1cosxcosx0y2y2sinxsinx0所以y1cosx与y2sinx都是方程的解因为对于任意两个常数k
1、k2要使k1cosxk2sinx0只有k1k20所以cosx与sinx在内是线性无关的因此y1cosx与y2sinx是方程yy0的线性无关解方程的通解为yC1cosxC2sinx例4验证y1x与y2ex是方程x1yxyy0的线性无关解并写出其通解解因为x1y1xy1y10xx0x1y2xy2y2x1exxexex0所以y1x与y2ex都是方程的解因为比值ex/x不恒为常数所以y1x与y2ex在内是线性无关的因此y1x与y2ex是方程x1yxyy0的线性无关解方程的通解为yC1xC2ex推论如果y1xy2xynx是方程yna1xyn1an1xyanxy0的n个线性无关的解那么此方程的通解为yC1y1xC2y2xCnynx其中C1C2Cn为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程yPxyQxy0叫做与非齐次方程yPxyQxyfx对应的齐次方程定理3设y*x是二阶非齐次线性方程yPxyQxyfx的一个特解Yx是对应的齐次方程的通解那么yYxy*x是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示[Yxy*x]Px[Yxy*x]Qx[Yxy*x][YPxYQxY][y*Pxy*Qxy*]0fxfx例如YC1cosxC2sinx是齐次方程yy0的通解y*x22是yyx2 的一个特解因此yC1cosxC2sinxx22是方程yyx2的通解定理4设非齐次线性微分方程yPxyQxyfx的右端fx几个函数之和如yPxyQxyf1xf2x而y1*x与y2*x分别是方程yPxyQxyf1x与yPxyQxyf2x的特解那么y1*xy2*x就是原方程的特解证明提示[y1y2*]Px[y1*y2*]Qx[y1*y2*][y1*Pxy1*Qxy1*][y2*Pxy2*Qxy2*]f1xf2x§129二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果y
1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程ypyqy0得r2prqerx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r
1、r2可用公式求出特征方程的根与通解的关系1特征方程有两个不相等的实根r
1、r2时函数、是方程的两个线性无关的解这是因为函数、是方程的解又不是常数因此方程的通解为2特征方程有两个相等的实根r1r2时函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为是方程的解又所以也是方程的解且不是常数因此方程的通解为3特征方程有一对共轭复根r12i时函数yeix、yeix是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y1eix和y2eix都是方程的解而由欧拉公式得y1eixexcosxisinxy2eixexcosxisinxy1y22excosxy1y22iexsinx故excosx、y2exsinx也是方程解可以验证y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解因此方程的通解为yexC1cosxC2sinx求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程r2prq0第二步求出特征方程的两个根r
1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为r22r30即r1r30其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为yC1exC2e3x例2求方程y2yy0满足初始条件y|x
04、y|x02的特解解所给方程的特征方程为r22r10即r120其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为yC1C2xex将条件y|x04代入通解得C14从而y4C2xex将上式对x求导得yC24C2xex再把条件y|x02代入上式得C22于是所求特解为x42xex例3求微分方程y2y5y0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根因此所求通解为yexC1cos2xC2sin2xn阶常系数齐次线性微分方程方程ynp1yn1p2yn2pn1ypny0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2pn1pn都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式LD=Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpny0或LDy0注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyyn分析令yerx则LDyLDerxrnp1rn1p2rn2pn1rpnerxLrerx因此如果r是多项式Lr的根则yerx是微分方程LDy0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程Lrrnp1rn1p2rn2pn1rpn0称为微分方程LDy0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Cerx一对单复根r12i对应于两项exC1cosxC2sinxk重实根r对应于k项erxC1C2xCkxk1一对k重复根r12i对应于2k项ex[C1C2xCkxk1cosxD1D2xDkxk1sinx]例4求方程y42y5y0的通解解这里的特征方程为r42r35r20即r2r22r50它的根是r1r20和r3412i因此所给微分方程的通解为yC1C2xexC3cos2xC4sin2x例5求方程y44y0的通解其中0解这里的特征方程为r440它的根为因此所给微分方程的通解为§1210二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程方程ypyqyfx称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yYx与非齐次方程本身的一个特解yy*x之和yYxy*x当fx为两种特殊形式时方程的特解的求法
一、fxPmxex型当fxPmxex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为y*Qxex将其代入方程得等式Qx2pQx2pqQxPmx1如果不是特征方程r2prq0的根则2pq0要使上式成立Qx应设为m次多项式Qmxb0xmb1xm1bm1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解y*Qmxex2如果是特征方程r2prq0的单根则2pq0但2p0要使等式Qx2pQx2pqQxPmx成立Qx应设为m1次多项式QxxQmxQmxb0xmb1xm1bm1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解y*xQmxex3如果是特征方程r2prq0的二重根则2pq02p0要使等式Qx2pQx2pqQxPmx成立Qx应设为m2次多项式Qxx2QmxQmxb0xmb1xm1bm1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解y*x2Qmxex综上所述我们有如下结论如果fxPmxex则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyfx有形如y*xkQmxex的特解其中Qmx是与Pmx同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为
0、1或2例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数fx是Pmxex型其中Pmx3x10与所给方程对应的齐次方程为y2y3y0它的特征方程为r22r30由于这里0不是特征方程的根所以应设特解为y*b0xb1把它代入所给方程得3b0x2b03b13x1比较两端x同次幂的系数得3b032b03b11由此求得b01于是求得所给方程的一个特解为例2求微分方程y5y6yxe2x的通解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且fx是Pmxex型其中Pmxx2与所给方程对应的齐次方程为y5y6y0它的特征方程为r25r60特征方程有两个实根r12r23于是所给方程对应的齐次方程的通解为YC1e2xC2e3x由于2是特征方程的单根所以应设方程的特解为y*xb0xb1e2x把它代入所给方程得2b0x2b0b1x比较两端x同次幂的系数得2b012b0b10由此求得b11于是求得所给方程的一个特解为从而所给方程的通解为提示y*xb0xb1e2xb0x2b1xe2x[b0x2b1xe2x][2b0xb1b0x2b1x2]e2x[b0x2b1xe2x][2b022b0xb12b0x2b1x22]e2xy*5y*6y*[b0x2b1xe2x]5[b0x2b1xe2x]6[b0x2b1xe2x][2b022b0xb12b0x2b1x22]e2x5[2b0xb1b0x2b1x2]e2x6b0x2b1xe2x[2b042b0xb152b0xb1]e2x[2b0x2b0b1]e2x方程ypyqyex[PlxcosxPnxsinx]的特解形式应用欧拉公式可得ex[PlxcosxPnxsinx]其中而mmax{ln}设方程ypyqyPxeix的特解为y1*xkQmxeix则必是方程的特解其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1于是方程ypyqyex[PlxcosxPnxsinx]的特解为xkex[R1mxcosxR2mxsinx]综上所述我们有如下结论如果fxex[PlxcosxPnxsinx]则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyfx的特解可设为y*xkex[R1mxcosxR2mxsinx]其中R1mx、R2mx是m次多项式mmax{ln}而k按i或i不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1例3求微分方程yyxcos2x的一个特解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且fx属于ex[PlxcosxPnxsinx]型其中02PlxxPnx0)与所给方程对应的齐次方程为yy0它的特征方程为r210由于这里i2i不是特征方程的根所以应设特解为y*axbcos2xcxdsin2x把它代入所给方程得3ax3b4ccos2x3cx3d4asin2xxcos2x比较两端同类项的系数得b0c0于是求得一个特解为提示y*axbcos2xcxdsin2xy*acos2x2axbsin2xcsin2x2cxdcos2x2cxa2dcos2x2ax2bcsin2xy*2ccos2x22cxa2dsin2x2asin2x22ax2bccos2x4ax4b4ccos2x4cx4a4dsin2xy*y*3ax3b4ccos2x3cx4a3dsin2x由得b0c0§1212微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时我们就要寻求其它解法常用的有幂级数解法和数值解法本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法求一阶微分方程满足初始条件的特解其中函数fxy是xx
0、yy0的多项式fxya00a10xx0a01yy0aimxx0lyy0m这时我们可以设所求特解可展开为xx0的幂级数yy0a1xx0a2xx02anxx0n其中a1a2an是待定的系数把所设特解代入微分方程中便得一恒等式比较这恒等式两端xx0的同次幂的系数就可定出常数a1a2从而得到所求的特解例1求方程满足y|x00的特解解这时x00y00故设ya1xa2x2a3x3a4x4把y及y的幂级数展开式代入原方程得a12a2x3a3x24a4x35a5x4xa1xa2x2a3x3a4x42xa12x22a1a2x3a222a1a3x4由此比较恒等式两端x的同次幂的系数得a10a30a40于是所求解的幂级数展开式的开始几项为定理如果方程yPxyQxy0中的系数Px与Qx可在RxR内展开为x的幂级数那么在RxR内此方程必有形如的解例2求微分方程yxy0的满足初始条件y|x00y|x01的特解解这里Px0Qxx在整个数轴上满足定理的条件因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数ya0a1xa2x2a3x3a4x4由条件y|x00得a00由ya12a2x3a3x24a4x3及y|x01得a11于是yxa2x2a3x3a4x4y12a2x3a3x24a4x3y2a2x32a3x43a4x2把y及y代入方程yxy0得2a232a3x43a4x2nn1anxn2xxa2x2a3x3a4x4anxn0即2a232a3x43a41x254a5a2x365a6a3x4[n2n1an2an1]xn0于是有一般地n34由递推公式可得一般地m12所求的特解为第40页共42页。