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16.II.和、差、积、商的导数
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04.III复合函数的导数若,则或计算极限时常用的等价无穷小两个重要极限:若,则罗尔定理若在上连续,在内可导,且,则存在一,使拉格朗日中值定理若在上连续,在内可导,则存在一,使得柯西中值定理若、在上连续,在内可导,且则存在一,使得,则罗必达法则若
(1),
(2)及在(或)处存在,且,
(3)存在(或),则泰勒公式其中马克劳林公式其中
1.
2.
3.
4.
5.
6.驻点导数为零的点拐点,则称在上是凸的,,则称在上是凹的,若曲线在两旁改变凹凸性,则称为曲线的拐点凹凸性判断(充分条件)设存在,若时,则曲线是为凸的,若时,则曲线是为凹的设曲线方程,具有二阶导数,则函数在的曲率为(工程中,若时,)基本积分公式;*********基本积分方法1换元法
(1)设具有原函数,而可导,则有;
(2)设在区间上单调可导,且,又设具有原函数,则有2分布积分法
3.有理函数积分
①②
4.万能代换(三角函数的有理式的积分)设,则,,定积分中值定理定理如果函数在区间上连续,则积分上限的函数在上具有导数,并且它的导数是定积分换元公式,定积分的分步积分弧长计算公式
①;
②,;
③,向量代数定比分点公式数量积,向量积平面平面的一般方程(向量为平面法向量)平面点法式方程平面的截距式方程(为平面在三个坐标轴上的截距)两个平面的夹角两个平面方程为平面,平面,则两平面的夹角的余弦为两平面平行的条件两平面垂直的条件点到平面的距离平面,平面外一点,则点M到平面的距离空间直线两个平面的交线点向式方程直线上的一点,直线的一个向量,则直线方程为,参数方程为两直线的夹角,,则两直线的夹角余弦为两直线平行,两直线垂直,两直线共面(平行或相交)两直线,共面的条件直线与平面的夹角平面,直线
①若直线与平面相交,夹角;
②若直线与平面平行;
③若直线与平面垂直多元函数微积分
1.方向导数(为轴到方向的转角)
2.梯度
3.二元函数的极值,,令,,
①当时具有极值,且当时具有极大值,当具有极小值;
②当时没有极值;
③当时可能有极值,也可能没有极值,还需令作讨论
3.二重积分的计算
4.曲面的面积计算平面薄片的重心平面薄片的转动惯量
5.三重积分的计算曲线积分和曲面积分
1.对弧长的曲线积分
2.对坐标的曲线积分
3.对曲面的积分
4.对坐标的曲面积分无穷级数收敛级数的基本性质
1.如果级数收敛于和,则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛,且其和为
2.如果级数、分别收敛于和、,则级数也收敛,且其和为
3.在级数中去掉、加上或者改变有限项,不会改变级数的收敛性
4.如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号所成的级数仍收敛,且其和不变
5.(级数收敛的必要条件)如果级数收敛,则它的一般项趋于零,即常数项级数的审敛法定理
1.正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界定理2(比较审敛法).设和都是正项级数,且若级数收敛,则级数收敛;反之,若级数发散,则级数发散推论
1.设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数,使当时有成立,则级数收敛;如果级数发散,且当时有成立,则级数发散推论
2.设为正项级数,如果有,使,则级数收敛;如果,则级数发散定理3(比较审敛法的极限形式).设和都是正项级数,如果,则级数和级数同时收敛或同时发散定理4(比值审敛法,达朗贝尔(D’Alembert)判别法).若正项级数的后项于前项之比值的极限等于,则当时级数收敛;(或)时级数发散;时级数可能收敛也可能发散定理5(根值审敛法,柯西判别法).设为正项级数,如果它的一般项的次根的极限等于,则当时级数收敛;(或)时级数发散;时级数可能收敛也可能发散定理6(莱布尼茨定理).如果交错级数满足条件
(1),
(2),则级数收敛,且其和,其余项的绝对值定理
7.如果级数绝对收敛,则级数必定收敛幂级数定理1(阿贝尔(Abel)定理).如果级数当时收敛,则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛;反之,如果级数当时发散,则适合不等式的一切使这幂级数发散推论如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;当与时,幂级数可能收敛也可能发散定理
2.如果,其中、是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径性质
1.设幂级数的收敛半径,则其和函数在区间内连续如果幂级数在(或)也收敛,则和函数在(或)连续性质
2.设幂级数的收敛半径,则其和函数在区间内是可导的,且有逐项求导公式,其中,逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质
3.设幂级数的收敛半径,则其和函数在区间内是可积的,且有逐项积分公式其中,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径欧拉公式傅立叶级数函数展开成傅里叶级数(是周期为的周期函数)其中定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)设是周期为的周期函数,如果它满足
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数收敛,并且当是的连续点时,级数收敛于;当是的间断点时,级数收敛于定理.设是周期为的函数,在一个周期上可积,则
(1)当为奇函数时,它的傅里叶系数为
(2)当为偶函数时,它的傅里叶系数为周期为的周期函数的傅里叶级数定理设周期为的周期函数满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为其中系数为当为奇函数时,其中系数为当为偶函数时,其中系数为微分方程齐次方程PAGE-5-。