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蚌埠启航个性化教育专业精品教育一线在职教师教学经验丰富超强的责任心函数的奇偶性与周期性
一、选择题1.设是定义在上的奇函数,当时,,则ww-w*k(A)B(C)1 (D)3解析.故选A.答案A.2.已知函数 fxx∈R为奇函数,f2=1,fx+2= fx+f2,则f3等于 A. B.1C.D.2解析令x=-1,f1=f-1+f2=-f1+1,f1=,f3=f1+f2=+1=.故选C.答案C3.若函数 fx是定义在R上的偶函数,在-∞,0]上是减函数,且f2=0,则使得 fx0的x的取值范围是 A.-∞,2B.-22C.-∞,-2∪2,+∞D.2,+∞解析由题意知f-2=f2=0,当x∈-20]时, fxf-2=0,由对称性知,x∈[02时, fx为增函数, fxf2=0,故x∈-22时, fx0,故选B.答案B4.2011年湖北高考理6已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且,ww-w*ks%5¥u若,则A.2B.C.D.解析由条件,,即,由此解得,,所以,,所以选B.答案B5.已知函数fx+1是偶函数,当x2x11时,[fx2-fx1]x2-x10恒成立,设a=f-,b=f2,c=f3,则a,b,c的大小关系为 A.bacB.cbaC.bcaD.abc解析∵fx+1是偶函数,∴f-x+1=fx+1,∴a=f-=f-+1=f+1=f.当x2x11时,∵[fx2-fx1]x2-x10,∴x2-x10时,fx2-fx10,∴ fx在1,+∞上是增函数,∴f3ff2,∴cab.即bac.答案A6.已知函数fxx∈R满足fx=-f-x,且当1x2时,恒有fx0,则f-
1.5一定不等于 A.-
1.5B.-2C.-1D.1解析∵fx=-f-x,且1x2时,fx0,∴f-
1.5=-f
1.
50.∴f-
1.5=1是不可能的,故选D.答案D
二、填空题7.2010年江苏高考设函数 fx=xex+ae-xx∈R是偶函数,则实数a的值为________.解析∵ fx是偶函数,∴f-1=f1,ww-w*ks%5¥u∴-+ae=e+,∴-1-ae2=e2+a,即1+a-e-=0,∴1+a=0,∴a=-
1.答案-18.已知函数fx+1为奇函数,函数fx-1为偶函数,且f0=2,则f4=________.解析fx-1=f-x-1,则f0=f-2=2,fx+1=-f-x+1,则f4=-f-2=-
2.答案-29.已知 fx是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数gx过点-11且gx=fx-1,则f2007+f2008=________.解析fx=f-x=g1-x=-gx-1=-fx-2=fx-4,∴f2007=f-1=g0=0,f2008=f0=g1=-1,∴f2007+f2008=-
1.答案-1
三、解答题10.设函数 fx=x2-2|x|-1-3≤x≤3,1证明 fx是偶函数;2画出这个函数的图象;3指出函数 fx的单调区间,并说明在各个单调区间上 fx是增函数还是减函数;4求函数的值域.解析1证明∵x∈[-33],∴ fx的定义域关于原点对称.f-x=-x2-2|-x|-1=x2-2|x|-1= fx,即f-x= fx,∴ fx是偶函数.2解当x≥0时, fx=x2-2x-1=x-12-2,当x0时, fx=x2+2x-1=x+12-2,即 fx=根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图.3解函数 fx的单调区间为[-3,-1,[-10,[01,
[13]. fx在区间[-3,-1和[01上为减函数,在[-10,
[13]上为增函数.4解当x≥0时,函数 fx=x-12-2的最小值为-2,最大值为f3=2;当x0时,函数 fx=x+12-2的最小值为-2,最大值为f-3=
2.故函数 fx的值域为[-22].11.已知函数 fx=2x+1定义在R上.ww-w*ks%5¥u1若 fx可以表示为一个偶函数gx与一个奇函数hx之和,设hx=t,pt=g2x+2mhx+m2-m-1m∈R,求出pt的解析式;2若pt≥m2-m-1对于x∈
[12]恒成立,求m的取值范围;3若方程ppt=0无实根,求m的取值范围.解1假设 fx=gx+hx
①,其中gx为偶函数,hx为奇函数,则有 f-x=g-x+h-x,即 f-x=gx-hx
②,由
①②解得gx=,hx=.∵ fx定义在R上,∴gx,hx都定义在R上.∵g-x==gx,h-x==-hx.∴gx是偶函数,hx是奇函数,∵ fx=2x+1,∴gx===2x+,hx===2x-.由2x-=t,则t∈R,平方得t2=2x-2=22x+-2,∴g2x=22x+=t2+2,∴pt=t2+2mt+m2-m+
1.2∵t=hx对于x∈
[12]单调递增,∴≤t≤,∴Pt=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[,]恒成立,∴m≥-对于t∈[,]恒成立,令φt=-,则φ′t=-1,∵t∈[,],∴φ′1=-10,故φt=-在t∈[,]上单调递减,∴φtmax=φ=-,∴m≥-为m的取值范围.3由1得PPt=[Pt]2+2mpt+m2-m+1,若ppt=0无实根,ww-w*ks%5¥u即[pt]2+2mpt+m2-m+1=0
①无实根,方程
①的判别式△=4m2-4m2-m+1=4m-1.1°当方程
①的判别式△0,即m1时,方程
①无实根.2°当方程
①的判别式△≥0,即m≥1时,方程
①有两个实根Pt=t2+2mt+m2-m+1=-m±,即t2+2mt+m2+1±=0
②,只要方程
②无实根,故其判别式△=4m2-4m2+1±0,即得-1-0
③,且-1+0
④,∵m≥1,
③恒成立,由
④解得m2,∴
③④同时成立得1≤m
2.综上,m的取值范围为m
2.12.已知函数 fx对任意x,y∈R,都有fx+y=fx+fy,且x0时,fx0,f1=-
2.1求证 fx是奇函数;2求 fx在[-33]上的最大值和最小值.解析1证明令x=y=0,知f0=0;再令y=-x,则f0=fx+f-x=0,所以 fx为奇函数.ww-w*ks%5¥u2任取x1x2,则x2-x10,所以fx2-x1=f[x2+-x1]=fx2+f-x1=fx2-fx10,所以 fx为减函数.而f3=f2+1=f2+f1=3f1=-6,f-3=-f3=
6.所以fxmax=f-3=6,fxmin=f3=-
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