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第四节 函数的奇偶性与周期性时间45分钟 分值75分
一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分1.2013·北京卷下列函数中,既是偶函数又在区间0,+∞上单调递减的是 A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|解析 y=是奇函数,选项A错;y=e-x是指数函数,非奇非偶,选项B错;y=lg|x|是偶函数,但在0,+∞上单调递增,选项D错;只有选项C是偶函数且在0,+∞上单调递减.答案 C2.2013·湖南卷已知fx是奇函数,gx是偶函数,且f-1+g1=2,f1+g-1=4,则g1等于 A.4B.3C.2D.1解析 由已知可得,-f1+g1=2,f1+g1=4,两式相加解得,g1=3,故选B.答案 B3.已知fx在R上是奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈02时,fx=2x2,则f7等于 A.-2B.2C.-98D.98解析 ∵fx+4=fx,∴fx是周期为4的函数.∴f7=f2×4-1=f-1.又∵fx在R上是奇函数,∴f-x=-fx.∴f-1=-f1.而当x∈02时,fx=2x2,∴f1=2×12=
2.∴f7=f-1=-f1=-
2.故选A.答案 A4.2013·湖北卷x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数fx=x-[x]在R上为 A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数解析 当x∈[01时,画出函数图象图略,再左右扩展知fx为周期函数.故选D.答案 D5.若函数fx=为奇函数,则a= A.B.C.D.1解析 ∵fx=是奇函数,∴f-1=-f1.∴=-.∴a+1=31-a,解得a=.答案 A6.设fx是奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f-3=0,则x·fx0的解集是 A.{x|-3x0,或x3}B.{x|x-3,或0x3}C.{x|x-3,或x3}D.{x|-3x0,或0x3}解析 由x·fx0,得或而f-3=0,f3=0,即或所以x·fx0的解集是{x|-3x0,或0x3}.答案 D
二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分7.2014·东城区期末若函数fx为奇函数,且当x≥0时,fx=x2+x,则f-2的值为________.解析 f-2=-f2=-4+2=-
6.答案 -68.设函数fx=xex+ae-xx∈R是偶函数,则实数a的值为________.解析 因为fx是偶函数,所以恒有f-x=fx,即-xe-x+aex=xex+ae-x,化简得xe-x+exa+1=
0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-
1.答案 -19.2013·安徽卷定义在R上的函数fx满足fx+1=2fx.若当0≤x≤1时,fx=x1-x,则当-1≤x≤0时,fx=________.解析 当-1≤x≤0时,有0≤x+1≤1,所以f1+x=1+x[1-1+x]=-x1+x,又fx+1=2fx,所以fx=f1+x=-.答案 -
三、解答题本大题共3小题,每小题10分,共30分10.已知函数fx=x2+x≠0.1判断fx的奇偶性,并说明理由;2若f1=2,试判断fx在[2,+∞上的单调性.解 1当a=0时,fx=x2,f-x=fx,函数是偶函数.当a≠0时,fx=x2+x≠0,取x=±1,得f-1+f1=2≠0;f-1-f1=-2a≠0,∴f-1≠-f1,f-1≠f1.∴函数fx既不是奇函数也不是偶函数.2若f1=2,即1+a=2,解得a=1,这时fx=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞,且x1x2,则fx1-fx2=-=x1+x2x1-x2+=x1-x
2.由于x1≥2,x2≥2,且x1x2,∴x1-x20,x1+x2,所以fx1fx2.故fx在[2,+∞上是单调递增函数.11.2014·曲阜师大附中质检定义域为[-11]的奇函数fx满足fx=fx-2,且当x∈01时,fx=2x+.1求fx在[-11]上的解析式;2求函数fx的值域.解 1当x=0时,f0=-f0,故f0=
0.当x∈-10时,-x∈01,fx=-f-x=--2x+=2x-.若x=-1时,f-1=-f1.又f1=f1-2=f-1,故f1=-f1,得f1=0,从而f-1=-f1=
0.综上,fx=2∵x∈01时,fx=2x+,∴f′x=2+>0,故fx在01上单调递增.∴fx∈03.∵fx是定义域为[-11]上的奇函数,且f0=f1=f-1=0,∴当x∈[-11]时,fx∈-33.∴fx的值域为-33.12.函数fx的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值;2判断fx的奇偶性并证明你的结论;3如果f4=1,fx-12,且fx在0,+∞上是增函数,求x的取值范围.解 1∵对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2,∴令x1=x2=1,得f1=2f1,∴f1=
0.2令x1=x2=-1,有f1=f-1+f-1,∴f-1=f1=
0.令x1=-1,x2=x有f-x=f-1+fx,∴f-x=fx,∴fx为偶函数.3依题设有f4×4=f4+f4=2,由2知,fx是偶函数,∴fx-12⇔f|x-1|f16.又fx在0,+∞上是增函数.∴0|x-1|16,解之得-15x17且x≠
1.∴x的取值范围是{x|-15x17且x≠1}.PAGE。