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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第25讲平面向量的概念及运算一.课标要求
(1)平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示;
(2)向量的线性运算
①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;
②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义;
③了解向量的线性运算性质及其几何意义
(3)平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义;
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件二.命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容,与平面向量的数量积比较出题量较小以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等此类题难度不大,分值5~9分预测2013年高考
(1)题型可能为1道选择题或1道填空题;
(2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题三.要点精讲1.向量的概念
①向量既有大小又有方向的量向量一般用……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如几何表示法,;坐标表示法向量的大小即向量的模(长度),记作||即向量的大小,记作||向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小
②零向量长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行零向量=||=0由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件(注意与0的区别)
③单位向量模为1个单位长度的向量,向量为单位向量||=1
④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作∥由于向量可以进行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的
⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为大小相等,方向相同2.向量的运算
(1)向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,则+==规定
(1);
(2)向量加法满足交换律与结合律;向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
(2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加,但这时必须“首尾相连”
(2)向量的减法
①相反向量与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量记作零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有(i)=;ii+=+=;iii若、是互为相反向量,则==+=
②向量减法向量加上的相反向量叫做与的差,记作求两个向量差的运算,叫做向量的减法
③作图法可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)
(3)实数与向量的积
①实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下(Ⅰ);(Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律3.两个向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=4.平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5.平面向量的坐标表示
(1)平面向量的坐标表示在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对xy是一一对应的,因此把xy叫做向量的坐标,记作=xy,其中x叫作在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标规定
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系
(2)平面向量的坐标运算
①若,则;
②若,则;
③若=xy,则=xy;
④若,则四.典例解析题型1平面向量的概念例1.
(1)给出下列命题
①若||=||,则=;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若=,=,则=;
④=的充要条件是||=||且//;
⑤若//,//,则//;其中正确的序号是
(2)设为单位向量,
(1)若为平面内的某个向量,则=||·;2若与a0平行,则=||·;
(3)若与平行且||=1,则=上述命题中,假命题个数是()A.0B.1C.2D.3解析
(1)
①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;
②正确;∵,∴且,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则,且,因此,
③正确;∵=,∴,的长度相等且方向相同;又=,∴,的长度相等且方向相同,∴,的长度相等且方向相同,故=
④不正确;当//且方向相反时,即使||=||,也不能得到=,故||=||且//不是=的充要条件,而是必要不充分条件;
⑤不正确;考虑=这种特殊情况;综上所述,正确命题的序号是
②③点评本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多,因而容易遗忘为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想
(2)向量是既有大小又有方向的量,与||模相同,但方向不一定相同,故
(1)是假命题;若与平行,则与方向有两种情况一是同向二是反向,反向时=-||,故
(2)、
(3)也是假命题综上所述,答案选D点评向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念题型2平面向量的运算法则例2.
(1)如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,若=,=,试用,将向量,,,表示出来
(2)(06上海理,13)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()A.=B.+=C.-=D.+=
(3)(06广东,4)如图1所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量()A.B.C.D.
(1)解析根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量,来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可因为六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心O及顶点A,B,C四点构成平行四边形ABCO,所以,=+,==+,由于A,B,O,F四点也构成平行四边形ABOF,所以=+=+=++=2+,同样在平行四边形BCDO中,===++=+2,==-点评其实在以A,B,C,D,E,F及O七点中,任两点为起点和终点,均可用,表示,且可用规定其中任两个向量为,,另外任取两点为起点和终点,也可用,表示
(2)C.
(3),故选A例3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简
①,
②,
③解析
①原式=;
②原式=;
③原式=例4.设为未知向量,、为已知向量,解方程25+34+3=0解析原方程可化为23+5++43=0,∴=+点评平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向量的性质题型3平面向量的坐标及运算例5.已知中,A2-1,B32,C-31BC边上的高为AD,求解析设Dxy,则∵得所以例6.已知点试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标解析设,则因为是与的交点,所以在直线上,也在直线上即得,由点得,得方程组,解之得故直线与的交点的坐标为题型4平面向量的性质例7.平面内给定三个向量,回答下列问题
(1)求满足的实数mn;
(2)若,求实数k;
(3)若满足,且,求解析
(1)由题意得,所以,得
(2),;
(3)由题意得,得或例8.已知
(1)求;
(2)当为何实数时,与平行,平行时它们是同向还是反向?解析
(1)因为所以则
(2),因为与平行,所以即得此时,,则,即此时向量与方向相反点评上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法题型5共线向量定理及平面向量基本定理例9.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解法一设,则由得,于是,先消去,由得再消去得,所以选取D解法二由平面向量共线定理,当,时,A、B、C共线因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得即选D点评熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合例10.
(1)已知︱︱=1,︱︱==0点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+nm、n∈R,则等于()A.B.3C.D.
(2)如图OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(xy)可以是()A. B.C.D.解析
(1)B;
(2)C题型6平面向量综合问题例11.已知向量与的对应关系用表示
(1)证明对于任意向量及常数m,n恒有成立;
(2)设,求向量及的坐标;
(3)求使,(p,q为常数)的向量的坐标解析
(1)设,则,故,∴
(2)由已知得=(1,1),=(0,-1)
(3)设=(x,y),则,∴y=p,x=2p-q,即=(2P-q,p)例12.求证起点相同的三个非零向量,,3-2的终点在同一条直线上证明设起点为O,=,=,=3-2,则=2-,=-,,∵共线且有公共点A,因此,A,B,C三点共线,即向量,,3-2的终点在同一直线上.点评
(1)利用向量平行证明三点共线,需分两步完成
①证明向量平行;
②说明两个向量有公共点;⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成
①证明向量平行;
②说明两向量无公共点五.思维总结数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似,虽然只是个别小题,但它对学习具有指导意义,教学中重视教材的使用应有不可估量的作用因此,学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体,形成知识体系学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
(1)向量的加法与减法是互逆运算;
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件;
(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况;
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系;图MOBAPAGE1。