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第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]考什么怎么考
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查,主要以选择题、填空题的形式出现1直接利用数量积进行平面向量的运算,如2012年北京T13,上海T12等.2利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题,如2012年新课标全国T13,江西T7等.3利用平面向量的数量积解决垂直问题.如2012年安徽T11等.[归纳·知识整合]1.平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积或内积,记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ,规定0·a=
0.2.向量数量积的运算律1a·b=b·a2λa·b=λa·b=a·λb3a+b·c=a·c+b·c[探究] 根据数量积的运算律,判断下列结论是否成立.1a·b=a·c,则b=c吗?2a·bc=ab·c吗?提示1不一定,a=0时不成立,另外a≠0时,a·b=a·c.由数量积概念可知b与c不能确定;2a·bc=ab·c不一定相等.a·bc是c方向上的向量,而ab·c是a方向上的向量,当a与c不共线时它们必不相等.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=x1,y1,b=x2,y2结论几何表示坐标表示模|a|=|a|=夹角cosθ=cosθ=a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤[自测·牛刀小试]1.教材习题改编已知|a|=5,|b|=4,a·b=-10,则a与b的夹角为 A. B.πC.D.π解析选B 设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=5×4cosθ=-10,即cosθ=-.又∵θ∈[0,π],∴θ=π.2.教材习题改编等边三角形ABC的边长为1,=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a等于 A.3B.-3C.D.-解析选D 由题意知|a|=|b|=|c|=1,且a与b的夹角为120°,b与c的夹角为120°,c与a的夹角也为120°.故a·b+b·c+c·a=-.3.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|= A.B.C.D.解析选B |a+2b|====.4.教材习题改编已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若向量a+kb与a-kb垂直,则k=________.解析∵a+kb⊥a-kb,∴a+kb·a-kb=0,即|a|2-k2|b|2=
0.又∵|a|=3,|b|=4,∴k2=,即k=±.答案±5.若向量a=11,b=25,c=3,x满足条件8a-b·c=30,则x=________.解析由题意可得8a-b=63,又8a-b·c=30,c=3,x,则18+3x=30,解得x=
4.答案4平面向量数量积的运算[例1] 12012·天津高考已知△ABC为等边三角形,AB=
2.设点P,Q满足=λ,=1-λ,λ∈R,若·=-,则λ= A. B.C.D.22012·上海高考在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为
2、
1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足eq\f||||=eq\f||||,则·的取值范围是________.[自主解答] 1以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B20,C1,,由=λ,得P2λ,0,由=1-λ,得Q1-λ,1-λ,所以·=-λ-1,1-λ·2λ-1,-=-λ+1·2λ-1-×1-λ=-,解得λ=.2建立平面直角坐标系,如图.则B20,C,D.令==λ,则M,N.∴·=·+λ=-λ2-2λ+5=-λ+12+
6.∵0≤λ≤1,∴·∈
[25].[答案] 1A 2
[25]———————————————————平面向量数量积的类型及求法1向量数量积有两种计算公式一是夹角公式a·b=|a||b|cosθ;二是坐标公式a·b=x1x2+y1y
2.2求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.注意以下两个重要结论的应用
①a+b2=a2+2a·b+b2;
②a+b·a-b=a2-b
2.
1.2012·江苏高考如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.解析以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,则B,0,E,1,D02,C,2.设Fx20≤x≤,由·=⇒x=⇒x=1,所以F12,·=,1·1-,2=.答案平面向量的夹角与模的问题[例2] 已知|a|=4,|b|=3,2a-3b·2a+b=
61.1求a与b的夹角θ;2求|a+b|和|a-b|.[自主解答] 1∵2a-3b·2a+b=61,解得a·b=-
6.∴cosθ===-,又0≤θ≤π,∴θ=.2|a+b|2=a2+2a·b+b2=13,∴|a+b|=.|a-b|2=a2-2a·b+b2=
37.∴|a-b|=.本例条件不变,若=a,=b,试求△ABC的面积.解∵与的夹角θ=π,∴∠ABC=π-π=π.又||=|a|=4,||=|b|=3,∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=
3. ———————————————————1.利用数量积求解长度问题的处理方法1a2=a·a=|a|2或|a|=.2|a±b|==.3若a=x,y,则|a|=.2.求向量夹角的方法1利用向量数量积的定义知,cosθ=,其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°,求解时应求出三个量a·b,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系.2利用坐标公式,若a=x1,y1,b=x2,y2,则cosθ=.3三角函数法,可以把这两个向量的夹角放在三角形中;利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解.2.1已知平面向量α,β,|α|=1,β=20,α⊥α-2β,求|2α+β|的值;2已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c与向量a的夹角.解1∵β=20,∴|β|=2,又α⊥α-2β,∴α·α-2β=α2-2α·β=1-2α·β=
0.∴α·β=.∴2α+β2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=
10.∴|2α+β|=.2由已知得a+b+c·a=a2+a·b+a·c=1+2cos120°+3cos120°=-,|a+b+c|====.设向量a+b+c与向量a的夹角为θ,则cosθ===-,即θ=150°,故向量a+b+c与向量a的夹角为150°.平面向量的垂直问题[例3] 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.1计算|a+b|;2当k为何值时,a+2b⊥ka-b.[自主解答] 1|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=16+2×4×8×+64=48,故|a+b|=
4.2若a+2b⊥ka-b,则a+2b·ka-b=0,即ka2+2k-1a·b-2b2=16k-162k-1-2×64=0,解得k=-
7.即k=-7时,两向量垂直.———————————————————两向量垂直的判断方法及应用1若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;若非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=
0.2一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.3.在直角三角形ABC中,已知=23,=1,k,求k的值.解1当A=90°时,∵⊥,∴·=
0.∴2×1+3k=0,解得k=-.2当B=90°时,∵⊥,又=-=1,k-23=-1,k-3,∴·=2×-1+3×k-3=0,解得k=.3当C=90°时,∵⊥,∴1×-1+kk-3=0,即k2-3k-1=
0.∴k=.综上可得k的值为-或或.平面向量数量积的应用[例4] 设向量a=4cosα,sinα,b=sinβ,4cosβ,c=cosβ,-4sinβ.1若a与b-2c垂直,求tanα+β的值;2求|b+c|的最大值;3若tanαtanβ=16,求证a∥b.[自主解答] 1由a与b-2c垂直,a·b-2c=a·b-2a·c=0,即4sinα+β-8cosα+β=0,tanα+β=
2.2b+c=sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β=17-30sinβcosβ=17-15sin2β,最大值为32,所以|b+c|的最大值为
4.3由tanαtanβ=16得sinαsinβ=16cosαcosβ,即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,所以a∥b.———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.2给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.4.在△ABC中,已知2·=||·||=3||2,求角A,B,C的大小.解设BC=a,AC=b,AB=c,∵由2·=||·||得2bccosA=bc,∴cosA=,又∵A∈0,π,∴A=.由||·||=3||2得bc=a2,由正弦定理得sinC·sinB=sin2A=,∴sinC·sin=,即sinC·=,∴2sinC·cosC+2sin2C=,∴sin2C-cos2C=0,∴sin=0,由A=知0C,∴-2C-,从而2C-=0或2C-=π,即C=或C=.故A=,B=,C=或A=,B=,C=.3个防范——与向量夹角有关的易误点1若a·b0,则a与b的夹角为锐角或0°;2若a·b0,则a与b的夹角为钝角或180°;3在求△ABC的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如等边△ABC中,与的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别1在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为
0.而在向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0成立.实际上由a·b=0可推出以下四种结论
①a=0,b=0;
②a=0,b≠0;
③a≠0,b=0;
④a≠0,b≠0,但a⊥b.2在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|,但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a∥b时等号成立.这是因为|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|,而|cosθ|≤
1.3实数运算满足消去律若bc=ca,c≠0,则有b=a.在向量数量积的运算中,若a·b=a·ca≠0,则不一定得到b=c.4实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满足乘法结合律,即a·b·c不一定等于a·b·c,这是由于a·b·c表示一个与c共线的向量,而a·b·c表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1.平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容,且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题,且常考常新.2.此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质.[典例] 2012·广东高考对任意两个非零的平面向量α和β,定义α∘β=.若两个非零的平面向量a,b满足a与b的夹角θ∈,且a∘b和b∘a都在集合中,则a∘b= A. B.C.1D.[解析] a∘b==cosθ=cosθ,b∘a=·cosθ,因为|a|0,|b|00cosθ,且a∘b、b∘a∈,所以cosθ=,cosθ=,其中m,n∈N*,两式相乘,得=cos2θ,因为0cosθ,所以0cos2θ,得到0m·n2,故m=n=1,即a∘b=.[答案] D1.本题具有以下创新点1本题属新定义问题,命题背景新颖;2考查知识新颖,本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起,较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力.2.解决本题的关键有以下几点1读懂、读透题目中所给的新定义α∘β=的意义.2理解a∘b与b∘a都在集合中的实际意义是cosθ与cosθ都能表示成n∈Z的形式.3善于转化,通过两式相乘,将问题转化为0cos2θ,即0m·n2成立,从而求得结论.1.已知向量与关于x轴对称,j=01,则满足不等式2+j·≤0的点Zx,y的集合用阴影表示为 解析选C 依题意得,动点Z的坐标满足x2+y2+01·0,-2y=x2+y2-2y≤0,即x2+y-12≤1,易知该不等式表示的平面区域是以点01为圆心,1为半径的圆及其内部.2.已知平面内的向量,满足||=||=2,与的夹角为,又=λ1+λ20≤λ1≤11≤λ2≤2,则点P的集合所表示的图形的面积是 A.8 B.4 C.2 D.1解析选B 如图,以O为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A20,B02,设Px,y,则由=λ1+λ2,得x,y=λ120+λ202=2λ12λ2,即又因为所以所以点P的集合为{x,y|0≤x≤22≤y≤4},它表示正方形区域如图中阴影部分所示,所以点P的集合所表示的图形的面积为2×2=
4.
一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分1.2012·重庆高考设x∈R,向量a=x1,b=1,-2,且a⊥b,则|a+b|= A. B.C.2D.10解析选B 由a⊥b,可得a·b=0,即x-2=0,得x=2,所以a+b=3,-1,故|a+b|==.2.2012·湖北高考若向量a=12,b=1,-1,则2a+b与a-b的夹角等于 A.-B.C.D.解析选C 2a+b=212+1,-1=33,a-b=12-1,-1=03.在平面直角坐标系中,根据图形得2a+b与a-b的夹角为.3.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·= A.2B.C.-D.解析选D 建系如图.设BxB0,D01,CxC,yC,=xC-xB,yC,=-xB1,∵=,∴xC-xB=-xB⇒xC=1-·xB,yC=,=1-xB,,=01,·=.4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的射影的数量是 A.-4B.4C.-2D.2解析选A 设a与b的夹角为θ,∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的射影的数量的乘积,而cosθ==-,∴|a|cosθ=6×=-
4.5.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么·的最小值为 A.-4+B.-3+C.-4+2D.-3+2解析选D 设∠APB=2θ,||=x,则·=||·||·cos2θ=||2cos2θ=||2-1·1-2sin2θ=x2-1·=x2-2-1+≥-3+2,当且仅当x2=即x=时取等号.6.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数fx=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为 A.B.C.D.解析选C fx=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,即f′x=x2+|a|x+a·b=0有两个不同的实数解,故Δ=|a|2-4a·b>0⇒cos〈a,b〉<,又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉∈.
二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分7.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.解析∵a+b与ka-b垂直,∴a+b·ka-b=0,化简得k-1a·b+1=0,根据a、b向量不共线,且均为单位向量得a·b+1≠0,得k-1=0,即k=
1.答案18.2012·北京高考已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.解析法一以,为基向量,设=λ0≤λ≤1,则=-=λ-,=-,所以·=λ-·-=-λ·+2=-λ×0+1=
1.又=,所以·=λ-·=λ2-·=λ×1-0=λ≤1,即·的最大值为
1.法二建立如图所示的平面直角坐标系,令E点坐标为t00≤t≤1可得·=t-1·0-1=1·=t-1·10=t≤1故·=1,·的最大值为
1.答案1 19.2012·湖南高考如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则·=________.解析设AC与BD的交点为O,则·=·2=22+2·=2×32+0=
18.答案18
三、解答题本大题共3小题,每小题12分,共36分10.已知a=12,b=11,且a与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.解∵a与a+λb均为非零向量,且夹角为锐角,∴a·a+λb0,即12·1+λ,2+λ
0.∴1+λ+22+λ
0.∴λ-.当a与a+λb共线时,存在实数m,使a+λb=ma,即1+λ,2+λ=m12,∴解得λ=
0.即当λ=0时,a与a+λb共线,综上可知,λ-且λ≠
0.11.已知△ABC为锐角三角形,向量m=3cos2A,sinA,n=1,-sinA,且m⊥n.1求A的大小;2当=pm,=qnp0,q0,且满足p+q=6时,求△ABC面积的最大值.解1∵m⊥n,∴3cos2A-sin2A=
0.∴3cos2A-1+cos2A=0,∴cos2A=.又∵△ABC为锐角三角形,∴cosA=,∴A=.2由1可得m=,n=.∴||=p,||=q.∴S△ABC=||·||·sinA=pq.又∵p+q=6,且p0,q0,∴·≤,∴·≤
3.∴p·q≤
9.∴△ABC面积的最大值为×9=.12.已知向量a=12,b=cosα,sinα.设m=a+tbt为实数.1若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;2若a⊥b,问是否存在实数t,使得向量a-b和向量m的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.解1因为α=,所以b=,a·b=,则|m|====,所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.2存在满足题意的实数t,由条件得cos=,又因为|a-b|==,|a+tb|==,a-b·a+tb=5-t,则有=,且t5,整理得t2+5t-5=0,所以存在t=满足条件.1.下列判断
①若a2+b2=0,则a=b=0;
②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;
③a,b共线⇔a·b=|a||b|;
④|a||b|a·b;
⑤a·a·a=|a|3;
⑥a2+b2≥2a·b;
⑦非零向量a,b满足a·b0,则a与b的夹角为锐角;
⑧若a,b的夹角为θ,则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的射影的数量.其中正确的是________.解析由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,则a=b=0,故
①正确;若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,
②正确;a,b共线⇔a·b=±|a||b|,所以
③错;对于
④,应有|a||b|≥a·b,所以
④错;对于
⑤,应该是a·a·a=|a|2a,所以
⑤错;a2+b2≥2|a||b|≥2a·b,故
⑥正确;当a与b的夹角为0°时,也有a·b0,因此
⑦错;|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的射影的数量,可取全体实数,而非射影长,故
⑧错.综上可知
①②⑥正确.答案
①②⑥2.平面上有四个互异点A、B、C、D,已知+-2·-=0,则△ABC的形状是 A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.无法确定解析选B 由+-2·-=0,得[-+-]·-=0,所以+·-=
0.所以||2-||2=0,故||=||,故△ABC是等腰三角形.3.已知A,B,C的坐标分别为A30,B03,Ccosα,sinα,α∈.1若||=||,求角α的值;2若·=-1,求的值.解1∵=cosα-3,sinα,=cosα,sinα-3,∴2=cosα-32+sin2α=10-6cosα,2=cos2α+sinα-32=10-6sinα.由||=||,可得2=2,即10-6cosα=10-6sinα,得sinα=cosα.又∵α∈,∴α=.2由·=-1,得cosα-3cosα+sinαsinα-3=-1,∴sinα+cosα=.
①又==2sinαcosα,由
①式两边分别平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-.∴=-.4.已知平面上一定点C20和直线l x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f12·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1-\f12=
0.1求动点P的轨迹方程;2若EF为圆N x2+y-12=1的任一条直径,求·的最值.解1设Px,y,则Q8,y.由eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f12·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1-\f12=0,得||2-||2=0,即x-22+y2-x-82=0,化简得+=
1.所以点P在椭圆上,其方程为+=
1.2·的最大值为19;·的最小值为12-
4.PAGE18。