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第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]考什么怎么考
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现1直接利用数量积进行平面向量的运算，如2012年北京T13，上海T12等．2利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题，如2012年新课标全国T13，江西T7等.3利用平面向量的数量积解决垂直问题．如2012年安徽T11等.[归纳·知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积或内积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝
0.2．向量数量积的运算律1a·b＝b·a2λa·b＝λa·b＝a·λb3a＋b·c＝a·c＋b·c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．1a·b＝a·c，则b＝c吗？2a·bc＝ab·c吗？提示1不一定，a＝0时不成立，另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确定；2a·bc＝ab·c不一定相等．a·bc是c方向上的向量，而ab·c是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤[自测·牛刀小试]1．教材习题改编已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为 A. B.πC.D.π解析选B 设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ＝5×4cosθ＝－10，即cosθ＝－.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.2．教材习题改编等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于 A．3B．－3C.D．－解析选D 由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a＝－.3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝ A.B.C.D.解析选B |a＋2b|＝＝＝＝.4．教材习题改编已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________.解析∵a＋kb⊥a－kb，∴a＋kb·a－kb＝0，即|a|2－k2|b|2＝
0.又∵|a|＝3，|b|＝4，∴k2＝，即k＝±.答案±5．若向量a＝11，b＝25，c＝3，x满足条件8a－b·c＝30，则x＝________.解析由题意可得8a－b＝63，又8a－b·c＝30，c＝3，x，则18＋3x＝30，解得x＝
4.答案4平面向量数量积的运算[例1] 12012·天津高考已知△ABC为等边三角形，AB＝
2.设点P，Q满足＝λ，＝1－λ，λ∈R，若·＝－，则λ＝ A. B.C.D.22012·上海高考在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为
2、
1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足eq\f||||＝eq\f||||，则·的取值范围是________．[自主解答] 1以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B20，C1，，由＝λ，得P2λ，0，由＝1－λ，得Q1－λ，1－λ，所以·＝－λ－1，1－λ·2λ－1，－＝－λ＋1·2λ－1－×1－λ＝－，解得λ＝.2建立平面直角坐标系，如图．则B20，C，D.令＝＝λ，则M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－λ＋12＋
6.∵0≤λ≤1，∴·∈
[25]．[答案] 1A 2
[25]———————————————————平面向量数量积的类型及求法1向量数量积有两种计算公式一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y
2.2求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用
①a＋b2＝a2＋2a·b＋b2；
②a＋b·a－b＝a2－b
2.
1.2012·江苏高考如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．解析以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B，0，E，1，D02，C，2．设Fx20≤x≤，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F12，·＝，1·1－，2＝.答案平面向量的夹角与模的问题[例2] 已知|a|＝4，|b|＝3，2a－3b·2a＋b＝
61.1求a与b的夹角θ；2求|a＋b|和|a－b|.[自主解答] 1∵2a－3b·2a＋b＝61，解得a·b＝－
6.∴cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝.2|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝
37.∴|a－b|＝.本例条件不变，若＝a，＝b，试求△ABC的面积．解∵与的夹角θ＝π，∴∠ABC＝π－π＝π.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝
3. ———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法1a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.2|a±b|＝＝.3若a＝x，y，则|a|＝.2．求向量夹角的方法1利用向量数量积的定义知，cosθ＝，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系．2利用坐标公式，若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则cosθ＝.3三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．1已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝20，α⊥α－2β，求|2α＋β|的值；2已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．解1∵β＝20，∴|β|＝2，又α⊥α－2β，∴α·α－2β＝α2－2α·β＝1－2α·β＝
0.∴α·β＝.∴2α＋β2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝
10.∴|2α＋β|＝.2由已知得a＋b＋c·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos120°＋3cos120°＝－，|a＋b＋c|＝＝＝＝.设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.平面向量的垂直问题[例3] 已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.1计算|a＋b|；2当k为何值时，a＋2b⊥ka－b．[自主解答] 1|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×8×＋64＝48，故|a＋b|＝
4.2若a＋2b⊥ka－b，则a＋2b·ka－b＝0，即ka2＋2k－1a·b－2b2＝16k－162k－1－2×64＝0，解得k＝－
7.即k＝－7时，两向量垂直．———————————————————两向量垂直的判断方法及应用1若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；若非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝
0.2一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC中，已知＝23，＝1，k，求k的值．解1当A＝90°时，∵⊥，∴·＝
0.∴2×1＋3k＝0，解得k＝－.2当B＝90°时，∵⊥，又＝－＝1，k－23＝－1，k－3，∴·＝2×－1＋3×k－3＝0，解得k＝.3当C＝90°时，∵⊥，∴1×－1＋kk－3＝0，即k2－3k－1＝
0.∴k＝.综上可得k的值为－或或.平面向量数量积的应用[例4] 设向量a＝4cosα，sinα，b＝sinβ，4cosβ，c＝cosβ，－4sinβ．1若a与b－2c垂直，求tanα＋β的值；2求|b＋c|的最大值；3若tanαtanβ＝16，求证a∥b.[自主解答] 1由a与b－2c垂直，a·b－2c＝a·b－2a·c＝0，即4sinα＋β－8cosα＋β＝0，tanα＋β＝
2.2b＋c＝sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为
4.3由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC中，已知2·＝||·||＝3||2，求角A，B，C的大小．解设BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵由2·＝||·||得2bccosA＝bc，∴cosA＝，又∵A∈0，π，∴A＝.由||·||＝3||2得bc＝a2，由正弦定理得sinC·sinB＝sin2A＝，∴sinC·sin＝，即sinC·＝，∴2sinC·cosC＋2sin2C＝，∴sin2C－cos2C＝0，∴sin＝0，由A＝知0C，∴－2C－，从而2C－＝0或2C－＝π，即C＝或C＝.故A＝，B＝，C＝或A＝，B＝，C＝.3个防范——与向量夹角有关的易误点1若a·b0，则a与b的夹角为锐角或0°；2若a·b0，则a与b的夹角为钝角或180°；3在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别1在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为
0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论
①a＝0，b＝0；
②a＝0，b≠0；
③a≠0，b＝0；
④a≠0，b≠0，但a⊥b.2在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|，而|cosθ|≤
1.3实数运算满足消去律若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·ca≠0，则不一定得到b＝c.4实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即a·b·c不一定等于a·b·c，这是由于a·b·c表示一个与c共线的向量，而a·b·c表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] 2012·广东高考对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝ A. B.C．1D.[解析] a∘b＝＝cosθ＝cosθ，b∘a＝·cosθ，因为|a|0，|b|00cosθ，且a∘b、b∘a∈，所以cosθ＝，cosθ＝，其中m，n∈N*，两式相乘，得＝cos2θ，因为0cosθ，所以0cos2θ，得到0m·n2，故m＝n＝1，即a∘b＝.[答案] D1．本题具有以下创新点1本题属新定义问题，命题背景新颖；2考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点1读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝的意义．2理解a∘b与b∘a都在集合中的实际意义是cosθ与cosθ都能表示成n∈Z的形式．3善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0cos2θ，即0m·n2成立，从而求得结论．1．已知向量与关于x轴对称，j＝01，则满足不等式2＋j·≤0的点Zx，y的集合用阴影表示为 解析选C 依题意得，动点Z的坐标满足x2＋y2＋01·0，－2y＝x2＋y2－2y≤0，即x2＋y－12≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点01为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量，满足||＝||＝2，与的夹角为，又＝λ1＋λ20≤λ1≤11≤λ2≤2，则点P的集合所表示的图形的面积是 A．8 B．4 C．2 D．1解析选B 如图，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A20，B02，设Px，y，则由＝λ1＋λ2，得x，y＝λ120＋λ202＝2λ12λ2，即又因为所以所以点P的集合为{x，y|0≤x≤22≤y≤4}，它表示正方形区域如图中阴影部分所示，所以点P的集合所表示的图形的面积为2×2＝
4.
一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1．2012·重庆高考设x∈R，向量a＝x1，b＝1，－2，且a⊥b，则|a＋b|＝ A. B.C．2D．10解析选B 由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝3，－1，故|a＋b|＝＝.2．2012·湖北高考若向量a＝12，b＝1，－1，则2a＋b与a－b的夹角等于 A．－B.C.D.解析选C 2a＋b＝212＋1，－1＝33，a－b＝12－1，－1＝03．在平面直角坐标系中，根据图形得2a＋b与a－b的夹角为.3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝ A．2B.C．－D.解析选D 建系如图．设BxB0，D01，CxC，yC，＝xC－xB，yC，＝－xB1，∵＝，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝1－·xB，yC＝，＝1－xB，，＝01，·＝.4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的射影的数量是 A．－4B．4C．－2D．2解析选A 设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的射影的数量的乘积，而cosθ＝＝－，∴|a|cosθ＝6×＝－
4.5．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为 A．－4＋B．－3＋C．－4＋2D．－3＋2解析选D 设∠APB＝2θ，||＝x，则·＝||·||·cos2θ＝||2cos2θ＝||2－1·1－2sin2θ＝x2－1·＝x2－2－1＋≥－3＋2，当且仅当x2＝即x＝时取等号．6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数fx＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为 A.B.C.D.解析选C fx＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，即f′x＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a|2－4a·b＞0⇒cos〈a，b〉＜，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈.
二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析∵a＋b与ka－b垂直，∴a＋b·ka－b＝0，化简得k－1a·b＋1＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝
1.答案18．2012·北京高考已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．解析法一以，为基向量，设＝λ0≤λ≤1，则＝－＝λ－，＝－，所以·＝λ－·－＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝
1.又＝，所以·＝λ－·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为
1.法二建立如图所示的平面直角坐标系，令E点坐标为t00≤t≤1可得·＝t－1·0－1＝1·＝t－1·10＝t≤1故·＝1，·的最大值为
1.答案1 19．2012·湖南高考如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.解析设AC与BD的交点为O，则·＝·2＝22＋2·＝2×32＋0＝
18.答案18
三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10．已知a＝12，b＝11，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·a＋λb0，即12·1＋λ，2＋λ
0.∴1＋λ＋22＋λ
0.∴λ－.当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即1＋λ，2＋λ＝m12，∴解得λ＝
0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，综上可知，λ－且λ≠
0.11．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝3cos2A，sinA，n＝1，－sinA，且m⊥n.1求A的大小；2当＝pm，＝qnp0，q0，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．解1∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝
0.∴3cos2A－1＋cos2A＝0，∴cos2A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，∴A＝.2由1可得m＝，n＝.∴||＝p，||＝q.∴S△ABC＝||·||·sinA＝pq.又∵p＋q＝6，且p0，q0，∴·≤，∴·≤
3.∴p·q≤
9.∴△ABC面积的最大值为×9＝.12．已知向量a＝12，b＝cosα，sinα．设m＝a＋tbt为实数．1若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；2若a⊥b，问是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．解1因为α＝，所以b＝，a·b＝，则|m|＝＝＝＝，所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.2存在满足题意的实数t，由条件得cos＝，又因为|a－b|＝＝，|a＋tb|＝＝，a－b·a＋tb＝5－t，则有＝，且t5，整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝满足条件．1．下列判断
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；
②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；
③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；
④|a||b|a·b；
⑤a·a·a＝|a|3；
⑥a2＋b2≥2a·b；
⑦非零向量a，b满足a·b0，则a与b的夹角为锐角；
⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的射影的数量．其中正确的是________．解析由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故
①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，
②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以
③错；对于
④，应有|a||b|≥a·b，所以
④错；对于
⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以
⑤错；a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故
⑥正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b0，因此
⑦错；|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故
⑧错．综上可知
①②⑥正确．答案
①②⑥2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知＋－2·－＝0，则△ABC的形状是 A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定解析选B 由＋－2·－＝0，得[－＋－]·－＝0，所以＋·－＝
0.所以||2－||2＝0，故||＝||，故△ABC是等腰三角形．3．已知A，B，C的坐标分别为A30，B03，Ccosα，sinα，α∈.1若||＝||，求角α的值；2若·＝－1，求的值．解1∵＝cosα－3，sinα，＝cosα，sinα－3，∴2＝cosα－32＋sin2α＝10－6cosα，2＝cos2α＋sinα－32＝10－6sinα.由||＝||，可得2＝2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又∵α∈，∴α＝.2由·＝－1，得cosα－3cosα＋sinαsinα－3＝－1，∴sinα＋cosα＝.
①又＝＝2sinαcosα，由
①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－.∴＝－.4．已知平面上一定点C20和直线l x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1＋\f12·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f12＝
0.1求动点P的轨迹方程；2若EF为圆N x2＋y－12＝1的任一条直径，求·的最值．解1设Px，y，则Q8，y．由eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1＋\f12·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f12＝0，得||2－||2＝0，即x－22＋y2－x－82＝0，化简得＋＝
1.所以点P在椭圆上，其方程为＋＝
1.2·的最大值为19；·的最小值为12－
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