高考数学二轮复习第4讲函数基本初等函数I的图象与性质

第4讲函数、基本初等函数I的图象与性质高考研究

一、【考纲要求】1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.

（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.

（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景.

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．

（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．

（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；

（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数　　

（1）了解幂函数的概念.

（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.7．导数及其应用　　

（1）了解导数概念的实际背景.

（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.　　

（3）根据导数的定义求函数c为常数的导数.

（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式C为常数；n∈N+；；;;a0且a≠1;;a0且a≠

1.常用的导数运算法则

（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

（7）会用导数解决某些实际问题..

（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.

（9）了解微积分基本定理的含义.【命题规律】　

二、【基础知识整合】1．函数的奇偶性

（1）定义一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数叫做偶函数；如果都有，那么函数叫做奇函数函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称.2图象特征函数是偶函数图像关于轴对称；函数是奇函数图像关于原点对称.

（3）奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在处有定义，有，即其图像过原点

（00）.，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的途径，切记！

2.函数的单调性判断方法

（1）定义法对于定义域内某一个区间D内任意的，且，若在D上单调递增；若在D上单调递减.

（2）导数法若函数在某个区间D可导，如果，那么函数在区间D内单调递增；如果，那么函数在区间D内单调递减.3图像法先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.

（4），若都是增函数，则在其公共定义域内是增函数；若都是减函数，则在其公共定义域内是减函数.，若是增函数，是减函数，则在其公共定义域内是增函数；若是减函数，是增函数，则在其公共定义域内是减函数.同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用.3．函数的图像（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像.的图像画法先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于轴翻折上去.的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.3熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象4．周期性

（1）定义对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.是偶函数，且图象关于对称，则，所以周期是

2.5．指数函数、对数函数、幂函数的性质幂函数图象永远过

（11），且当时，在时，单调递增；当时，在时，单调递减.６.函数与方程（１）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（２）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点，即存在，使得fc=0，这个c也就是方程fx=0的根

（5）函数的零点就是函数的图象与轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间.7．导数的几何意义

（1）函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，则

（2）函数在点处的切线方程为.3在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率.8．导数与单调性的关系

（1）若函数在某个区间D可导，在区间D内单调递增；在区间D内单调递减.4若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求解；另一种方法是转化为或恒成立.9．导数和函数极值、最值的关系

（1）求极值的步骤

①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；

②分析两侧导数的符号若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.

（2）对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件.

（3）设函数在上连续，在内可导，则在上必有最大值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值.

（4）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值大前提是要考虑函数的定义域.10．利用定积分求曲边梯形的面积

（1）由直线，，轴及一条曲线围成的曲边梯形的面积，若，则.

（2）推广由直线，，和（）围成的平面图形的面积为

三、【高频考点突破】考点1函数及其表示【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试江西卷理】函数QUOTE\*MERGEFORMATSKIPIF10的定义域为（）A.01B.[01C.01]D.

[01]【例3】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数，则满足的的取值范围是______．【规律方法】

1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式（组）即可.

2、对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.

3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.【举一反三】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】设满足，则=A．B．C．1D．考点2函数的图象【例1】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】已知函数（）的图象如下面左图所示，则函数的图象是（）【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数的图象大致为【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数fx的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则fx=（）A.B.C.D.【规律方法】

1.正确的作图必须做到

①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数及形如的函数图象；

②掌握图象变换的方法来简化作图过程.2．正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结合函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断.【举一反三】考点3函数的性质【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为______.【例3】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】函数的定义域为，对定义域中任意的，都有，且当时，，那么当时，的递增区间是（）A．B．C．D．【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数（载体），研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象（形）的作用，善于从形的角度研究函数的性质.【举一反三】【广东省佛山市一中2014届高三10月段考（理）】已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则方程的根的个数为_________.考点4指数函数、对数函数、幂函数【例1】【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数若，则实数x的取值范围是（）ABCD【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知映射，其中，，对应法则是，对于实数，在集合中不存在元素与之对应，则的取值范围是..【例3】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知函数，若存在实数、、、，满足，其中，则的取值范围是.【规律方法】

1.对数函数的定义域为，指数函数的值域.2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.

3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题.【举一反三】已知函数，则此函数的“和谐点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对考点5函数的零点【例1】【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】函数的零点所在的一个区间是（）A.B.C.D.【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（）A．9B．10C．11D．12【规律方法】

1、确定函数的零点所在的区间第一种方法是解方程的根；第二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和右侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.

2.确定零点的个数问题可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.

3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.【举一反三】【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围（）A．B.C.D.考点6函数模型及其应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园阴影部分则其边长x单位m的取值范围是（）A

[1520]B

[1225]C

[1030]D

[2030]【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.1要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；2要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为审题建模求解反馈，审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确建立相关的函数解析式（标明定义域），再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解决.【举一反三】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】（本小题满分13分）预计某地区明年从年初开始的前个月内，对某种商品的需求总量（万件）近似满足N*，且）考点7导数的运算及其意义【例1】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是A.B.C.6D.9【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数，若存在满足的实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【规律方法】

1.导数的几何意义是.

2.从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上.【举一反三】已知点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的取值范围是（）A.B.C.D.考点8导数的应用（单调性、极值、最值）【例1】【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】设函数的导函数为，对任意都有成立，则（　　）A．B.C.D.与的大小不确定【例2】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【规律方法】

1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式和定义域求交集得单调递增区间；解不等式和定义域求交集得单调递减区间.

2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.

3、求函数的极值，先求的根，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.

4、求函数的最值和求极值类似，先求的根，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】已知函数

（1）当时，求在上的最小值；

（2）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（3）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．考点9定积分的计算及应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位s，v的单位m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位m）是（）B．C．D．【规律方法】

1、求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.

2、定积分的应用主要有两个问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.【举一反三】【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】一物体在力单位的作用下沿与力相同的方向从处运动到单位处则力做的功为焦．三．错混辨析A.B.C.D.

2.概念不清致误【例2】已知在处有极值为10，则的值=__________.

3.导数和函数单调性不清致误【例3】已知区间是增函数，求实数a的取值范围.第9页共13页。