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河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·严禁转载考点05函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【高考再现】热点一函数的单调性
1.（2012年高考（天津文））下列函数中既是偶函数又在区间内是增函数的为（ ）A．B．C．D．
2.（2012年高考（陕西文））下列函数中既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.
3.（2012年高考（安徽文））若函数的单调递增区间是则【方法总结】
1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法1可以结合定义基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断求解．2可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.
2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．1利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．2定义法先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．3图象法如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．4导数法利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
3.函数单调性的应用fx在定义域上或某一单调区间上具有单调性，则fx1fx2fx1－fx20，若函数是增函数，则fx1fx2x1x2，函数不等式或方程的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式或方程求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．热点二函数的奇偶性
4.（2012年高考（广东文））函数下列函数为偶函数的是（ ）A．B．C．D．
5.（2012年高考（重庆文））函数为偶函数则实数________【答案】4【解析】本题考查函数奇偶性的应用若已知一个函数为偶函数则应有其定义域关于原点对称且对定义域内的一切都有成立.由函数为偶函数得即.
6.（2012年高考（上海文））已知是奇函数.若且.则_______.
7.（2012年高考（课标文））设函数的最大值为最小值为则____【答案】2【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想是难题.设为奇函数，由奇函数图像的对称性知【方法总结】热点三函数的周期性
8.（2012年高考（浙江文））设函数是定义在R上的周期为2的偶函数当x∈
[01]时则=_______.【答案】【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性..
9.（2012年高考（江苏））设是定义在上且周期为2的函数在区间上其中.若则的值为____.【方法总结】求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asinωx＋φ，用公式T＝计算．递推法若fx＋a＝－fx，则fx＋2a＝f[x＋a＋a]＝－fx＋a＝fx，所以周期T＝2a.换元法若fx＋a＝fx－a，令x－a＝t，x＝t＋a，则ft＝ft＋2a，所以周期T＝2a.热点四函数性质的综合应用
10.（2012年高考（重庆理））已知是定义在R上的偶函数且以2为周期则“为
[01]上的增函数”是“为
[34]上的减函数”的（ ）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件
11.（2012年高考（山东理））定义在上的函数满足.当时当时.则A．335B．338C．1678D．2012【方法总结】在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助.
（1）一般的解题步骤利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；
（2）画函数草图的步骤由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象.【考点剖析】二．命题方向
1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．
2.函数的奇偶性是高考考查的热点．
3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．
3.题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题.三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法1定义法；2图象法；3性质法．三条结论1若对于R上的任意的x都有f2a－x＝fx或f－x＝f2a＋x，则y＝fx的图象关于直线x＝a对称．2若对于R上的任意x都有f2a－x＝fx，且f2b－x＝fx其中a＜b，则y＝fx是以2b－a为周期的周期函数．3若fx＋a＝－fx或fx＋a＝或fx＋a＝－，那么函数fx是周期函数，其中一个周期为T＝2a；3若fx＋a＝fx＋ba≠b，那么函数fx是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.【基础练习】1．（课本习题改编）下列函数中，在区间01上是增函数的是 A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋4【答案】A【解析】y＝3－x在R上递减，y＝在0，＋∞上递减，y＝－x2＋4在0，＋∞上递减．
2.（经典习题）函数fx＝ln4＋3x－x2的单调递减区间是 A.B.C.D.
3.（课本习题改编）若函数fx＝为奇函数，则a＝ A.B.C.D．1【答案】A【解析】∵fx＝是奇函数，利用赋值法，∴f－1＝－f1．∴＝－，∴a＋1＝31－a，解得a＝.
4.（经典习题）设函数fx和gx分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ．A．fx＋|gx|是偶函数B．fx－|gx|是奇函数C．|fx|＋gx是偶函数D．|fx|－gx是奇函数【答案】A【解析】由题意知fx与|gx|均为偶函数，A项偶＋偶＝偶；B项偶－偶＝偶，B错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.
5.设fx是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间－21]上的图象，则f2011＋f2012＝ A．3B．26．（经典习题）已知fx在R上是奇函数，且满足fx＋4＝fx，当x∈02时，fx＝2x2，则f7等于________．【答案】－2【解析】由fx＋4＝fx，得f7＝f3＝f－1，又fx为奇函数，∴f－1＝－f1，f1＝2×12＝
2.∴f7＝－
2.【名校模拟】一．基础扎实
1.北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文给定函数
①；
②；
③；
④，其中奇函数是（）（A）
①②（B）
③④（C）
①③（D）
②④【答案】C【解析】利用函数图象关于原点对称可知
①③图像满足条件.
2.2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理已知.，若，则f-a的值为A.-3B.-2C.-1D.
03.2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试三）理已知函数.，则该函数是A偶函数，且单调递增（B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增（D奇函数，且单调递减【答案】C【解析】注意到当时，，；当时，，；.因此，对任意，均有，即函数是奇函数.当时，函数是增函数，因此是增函数，选C.4．2012洛阳示范高中联考高三理下列函数中，在内有零点且单调递增的是A．B．C．D．
5.浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若、，定义，例如=-5-4-3-2-1=-120则函数的奇偶性为 A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数
6..江西省2012届十所重点中学第二次联考文已知是偶函数，且其定义域为，则（ ）A． B．C．D． 【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以；又为偶函数，所以，得，所以，选A.
67.海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理函数在区间是增函数，则的递增区间是（）A．B．C．D．8．海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）
①y=f|x|;
②y=f-x;
③y=x·fx;
④y=fx+x.A.
①③B.
②③C.
①④D.
②④9．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A．B．C．D．答案D解析由，所以函数为偶函数；又，当时，，所以函数为减函数，故选D10．2012黄冈市模拟及答题适应性试理已知函数则该函数是A偶函数，且单调递增B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减
11.东城区普通高中示范校高三综合练习二（文）已知函数是偶函数，则的图象与轴交点纵坐标的最小值为.【答案】【解析】根据函数是偶函数可得，函数的图象与轴交点的纵坐标为由，得，解得12．海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理已知是上的增函数，那么的取值范围是
13.海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理已知函数，判断它的奇偶性【解析】本试题主要考查了函数的奇偶性的判定【答案】fx的定义域为Rf0=0设x0则-x0又因为当x0时fx=-xx+1故f-x=-x-x+1=xx-1=fx设x0则-x0又因为当x0时fx=-xx-1故f-x=-x-x-1=-xx+1=fx综上得，对任意xR有f-x=fx故fx为偶函数14．海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理设函数是定义在上的减函数，并且满足，，
（1）求的值，
（2）如果，求x的取值范围（12分）二．能力拔高15．湖北省八校2012届高三第一次联考理定义在R上的函数满足对于任意的且当，设M、N分别为在[-2012，2012]的最大值与最小值，则M+N的值为（）A．4022B．4024C．2011D．2012因此，则函数的最大值为，最小值为，所以，故选A
16.江西省2012届十所重点中学第二次联考文设函数，若时，＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（-∞，0）C．（-∞，0） D．（-∞，1）
17.2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理数对任意R都有，的图象关于点对称，且，则A．0B．－4C．－8D．－
1618.湖北文科数学冲刺试卷
（二）答案B解析由题意得，设，则，又函数为奇数，所以，即，利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数，所以函数，故答案选B．
19.中原六校联谊2012年高三第一次联考理已知是周期为的函数，当x∈（）时，设则A．cbaB．bcaC．acbD．cab
20.山西省2012年高考考前适应性训练理已知的单调减区间为（）A．B．C．D．
21.长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）已知定义在R上的函数是增函数，且为奇函数，若实数st满足不等式，则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是A.B.C.
[410]D.
[416]【答案】B【解析】本题考查函数的性质、简单的线性规划问题，考查数形结合的思想由所给函数性质有，于是，再结合，由线性规划方法，可求得，选B
22.海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理定义在R上的奇函数，满足且在区间
[02]上是增函数则.A.B.C.D.
23.浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）
24.海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理已知是定义在R上的函数，，
（1）函数是不是周期函数，若是，求出周期
（2）判断的奇偶性【解析】本试题主要考查了函数的周期性以及函数的奇偶性的运用【答案】因为函数函数满足所以周期为4
（2），令u=2-x则x=2-u故fu=-f4-u即以-x代x，得到f-x=-fx+4结合
（1）知，所以函数f（x）是奇函数三．提升自我
25.浙江省2012届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理定义在（—1，1）上的函数fx满足；当时，有；若，，R＝f0．则P，Q，R的大小关系为A．B．C．D．不能确定
26.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考理）偶函数fx满足fx-1=fx+1，且在x∈[0，1]时fx=x，则关于x的方程fx=，在x∈[0，4]上解的个数是A.1B.2C.3D.4【原创预测】1．已知函数是上的偶函数，则实数_____；不等式的解集为_____．
2.定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数.现有如下函数
①②③④则存在承托函数的的序号为.（填入满足题意的所有序号）【答案】
②④【解析】对于
①，结合函数的图象分析可知，不存在函数使得对一切实数都成立，不存在承托函数；
3.已知函数（m为常数，对任意的恒成立.有下列说法
①m=3；
②若b为常数的图象关于直线x=1对称，则b=1;
③已知定义在R上的函数Fx对任意x均有成立，且当时，；又函数c为常数），若存在使得成立，则c的取值范围是一1，
13.其中说法正确的个数是A3个（B2个（C1个（DO个第25页共25页。
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