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2010年高考数学试题分类汇编——函数(2010上海文数)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分若实数、、满足,则称比接近.
(1)若比3接近0,求的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数、,证明比接近;
(3)已知函数的定义域.任取,等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).解析1x22;2对任意两个不相等的正数a、b,有,,因为,所以,即a2bab2比a3b3接近;3kZ,fx是偶函数,fx是周期函数,最小正周期T,函数fx的最小值为0,函数fx在区间单调递增,在区间单调递减,kZ.(2010湖南文数)21.(本小题满分13分)已知函数其中a0且a≠-
1.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)设函数(e是自然数的底数)是否存在a,使在[a-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由(2010浙江理数)22本题满分14分已知是给定的实常数,设函数,,是的一个极大值点.Ⅰ求的取值范围;Ⅱ设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列其中=依次成等差数列若存在,求所有的及相应的;若不存在,说明理由.解析本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识(Ⅰ)解f’x=exx-a令于是,假设
(1)当x1=a或x2=a时,则x=a不是fx的极值点,此时不合题意
(2)当x1a且x2a时,由于x=a是fx的极大值点,故x1ax
2.即即所以b<-a所以b的取值范围是(-∞,-a)此时或
(2)当时,则或于是此时综上所述,存在b满足题意,当b=-a-3时,时,时,(2010全国卷2理数)
(22)(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)证明当时,;(Ⅱ)设当时,,求a的取值范围.【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.(2010陕西文数)
21、本小题满分14分已知函数f(x)=,g(x)=alnx,aR
(1)若曲线y=fx与曲线y=gx相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(2)设函数hx=fx-gx当hx存在最小之时,求其最小值(a)的解析式;
(3)对
(2)中的(a),证明当a(0,+)时,(a)
1.解
(1)f’x=g’x=x0由已知得=alnx,=,解德a=x=e2两条曲线交点的坐标为(e2e)切线的斜率为k=f’e2=切线的方程为y-e=x-e
2.
(2)由条件知Ⅰ当a.0时,令hx=0解得x=所以当0x时hx0,hx在(0,)上递减;当x时,hx0,hx在(0,)上递增所以x是hx在(0,+∞)上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是hx的最小值点所以Φ (a)=h=2a-aln=2Ⅱ当a ≤ 0时,hx=1/2-2a/2x0hx在(0,+∞)递增,无最小值故hx的最小值Φ (a)的解析式为2a1-ln2aao
(3)由
(2)知Φ (a)=2a1-ln2a则Φ 1(a)=-2ln2a,令Φ 1(a)=0解得a=1/2当0a1/2时,Φ 1(a)0,所以Φ (a)在01/2上递增当a1/2时,Φ 1(a)0,所以Φ(a)在1/2+∞上递减所以Φ(a)在0+∞处取得极大值Φ(1/2)=1因为Φ(a)在0+∞上有且只有一个极致点,所以Φ(1/2)=1也是Φ(a)的最大值所当a属于0+∞时,总有Φ(a) ≤ 1(2010辽宁文数)
(21)(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)设,证明对任意,.解Ⅰfx的定义域为0+,.当a≥0时,>0,故fx在0+单调增加;当a≤-1时,<0故fx在0+单调减少;当-1<a<0时,令=0解得x=.当x∈0时>0;x∈,+时,<0故fx在
(0)单调增加,在(,+)单调减少.Ⅱ不妨假设x1≥x
2.由于a≤-2故fx在(0,+)单调减少.所以等价于≥4x1-4x2即fx2+4x2≥fx1+4x
1.令gx=fx+4x则+4=.于是≤=≤
0.从而gx在(0,+)单调减少,故gx1≤gx2,即 fx1+4x1≤fx2+4x2,故对任意x1x2∈0+,. (2010辽宁理数)
(21)(本小题满分12分)已知函数(I)讨论函数的单调性;(II)设.如果对任意,,求的取值范围解(Ⅰ)的定义域为(0,+∞)..当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;当-1<<0时,令=0,解得.则当时,>0;时,<
0.故在单调增加,在单调减少.(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而,等价于,
①令,则
①等价于在(0,+∞)单调减少,即.从而故a的取值范围为(-∞,-2].……12分(2010全国卷2文数)
(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-3ax+3x+1(Ⅰ)设a=2,求f(x)的单调期间;(Ⅱ)设f(x)在区间
(23)中至少有一个极值点,求a的取值范围【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识
(1)求出函数的导数,由导数大于0,可求得增区间,由导数小于0,可求得减区间
(2)求出函数的导数,在(2,3)内有极值,即为在(2,3)内有一个零点,即可根据,即可求出a的取值范围(2010江西理数)
19.(本小题满分12分)设函数
(1)当a=1时,求的单调区间
(2)若在上的最大值为,求a的值【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识解对函数求导得,定义域为(0,2)
(1)单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成当a=1时,令当为增区间;当为减函数
(2)区间上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定待定量a的值当有最大值,则必不为减函数,且0,为单调递增区间最大值在右端点取到(2010安徽文数)
20.(本小题满分12分)设函数,,求函数的单调区间与极值【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】
(1)对函数求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于0得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值.【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为0得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点.(2010重庆文数)19本小题满分12分Ⅰ小问5分,Ⅱ小问7分.已知函数其中常数ab∈R是奇函数.Ⅰ求的表达式;Ⅱ讨论的单调性,并求在区间
[12]上的最大值和最小值.(2010浙江文数)
(21)(本题满分15分)已知函数(a-b)b(I)当a=1,b=2时,求曲线在点(2,)处的切线方程(II)设是的两个极值点,是的一个零点,且,证明存在实数,使得按某种顺序排列后的等差数列,并求(2010重庆理数)
(18)(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分)已知函数其中实数(I)若a=-2,求曲线在点处的切线方程;(II)若在x=1处取得极值,试讨论的单调性(2010山东文数)
(21)(本小题满分12分)已知函数(I)当时,求曲线在点处的切线方程;(II)当时,讨论的单调性.(2010北京文数)
(20)(本小题共13分)已知集合对于,,定义A与B的差为A与B之间的距离为(Ⅰ)当n=5时,设,求,;(Ⅱ)证明,且;Ⅲ证明三个数中至少有一个是偶数(Ⅰ)解=
(10101)=3Ⅱ证明设因为,所以从而由题意知当时,当时,所以Ⅲ证明设记由(Ⅱ)可知所以中1的个数为k中1的个数为设是使成立的的个数则由此可知,三个数不可能都是奇数即三个数中至少有一个是偶数(2010北京理数)18本小题共13分已知函数=In1+-+≥0Ⅰ当=2时,求曲线=在点1,1处的切线方程;Ⅱ求的单调区间解(I)当时,,由于,,所以曲线在点处的切线方程为即(II),.当时,.所以,在区间上,;在区间上,.故得单调递增区间是,单调递减区间是.当时,由,得,所以,在区间和上,;在区间上,故得单调递增区间是和,单调递减区间是.当时,故得单调递增区间是.当时,,得,.所以没在区间和上,;在区间上,故得单调递增区间是和,单调递减区间是(2010四川理数)
(22)(本小题满分14分)设(且),gx是fx的反函数.(Ⅰ)设关于的方程求在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围;(Ⅱ)当a=e(e为自然对数的底数)时,证明;(Ⅲ)当0<a≤时,试比较与4的大小,并说明理由.本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考察化归、分类整合等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力.解1由题意,得ax=>0故gx=,x∈-∞-1∪1+∞由得t=x-127-x,x∈
[26]则t=-3x2+18x-15=-3x-1x-5列表如下x2255566t+0-t5↗极大值32↘25所以t最小值=5,t最大值=32所以t的取值范围为
[532]……………………………………………………5分2=ln=-ln令uz=-lnz2-=-2lnz+z-,z>0则uz=-=1-2≥0所以uz在0+∞上是增函数又因为>1>0,所以u>u1=0即ln>0即………………………………………………………………9分3设a=,则p≥1,1<f1=≤3当n=1时,|f1-1|=≤2<4当n≥2时设k≥2k∈N*时,则fk==1+所以1<fk≤1+从而n-1<≤n-1+=n+1-<n+1所以n<<f1+n+1≤n+4综上所述,总有|-n|<4(2010天津文数)
(20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=,其中a
0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间上,f(x)0恒成立,求a的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.(Ⅰ)解当a=1时,f(x)=,f
(2)=3;f’x=f’2=
6.所以曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-
9.(Ⅱ)解f’x=.令f’x=0,解得x=0或x=.以下分两种情况讨论
(1)若,当x变化时,f’x,f(x)的变化情况如下表X0f’x+0-fx极大值当等价于解不等式组得-5a
5.因此.
(2)若a2,则.当x变化时,f’xf(x)的变化情况如下表X0f’x+0-0+fx极大值极小值当时,f(x)0等价于即解不等式组得或.因此2a
5.综合
(1)和
(2),可知a的取值范围为0a
5.(2010天津理数)
(21)(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,(Ⅲ)如果,且,证明【解析】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力,满分14分(Ⅰ)解f’令f’x=0解得x=1当x变化时,f’x,fx的变化情况如下表X1f’x+0-fx极大值所以fx在内是增函数,在内是减函数函数fx在x=1处取得极大值f1且f1=(Ⅱ)证明由题意可知gx=f2-x得gx=2-x令Fx=fx-gx即于是当x1时,2x-20从而’x0从而函数F(x)在[1+∞是增函数又F1=FxF1=0即fxgx.Ⅲ证明
(1)若
(2)若根据
(1)
(2)得由(Ⅱ)可知,则=,所以从而.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数fx在区间(-∞,1)内事增函数,所以即
2.(2010福建文数)22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=的图像在点P(0f0)处的切线方程为y=3x-2Ⅰ求实数ab的值;Ⅱ设g(x)=fx+是[]上的增函数(i)求实数m的最大值;ii当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=gx围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由(2010福建文数)21.本小题满分12分某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过小时与轮船相遇Ⅰ若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?Ⅱ为保证小艇在30分钟内含30分钟能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;Ⅲ是否存在,使得小艇以海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定的取值范围;若不存在,请说明理由(2010全国卷1理数)20本小题满分12分已知函数.(Ⅰ)若,求的取值范围;(Ⅱ)证明.(2010四川文数)
(22)(本小题满分14分)设(且),gx是fx的反函数.(Ⅰ)求;(Ⅱ)当时,恒有成立,求t的取值范围;(Ⅲ)当0<a≤时,试比较f1+f2+…+fn与的大小,并说明理由.(2010湖北文数)
21.(本小题满分14分)设函数,其中a>0,曲线在点P(0,)处的切线方程为y=1(Ⅰ)确定b、c的值(Ⅱ)设曲线在点()及()处的切线都过点
(02)证明当时,(Ⅲ)若过点
(02)可作曲线的三条不同切线,求a的取值范围(2010湖北文数)
19.(本小题满分12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位m2),其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同事也拆除面积为b(单位m2)的旧住房(Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式(Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取
1.15=
1.6)(2010山东理数)22本小题满分14分已知函数.Ⅰ当时,讨论的单调性;(Ⅱ)设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.(Ⅱ)当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,有,又已知存在,使,所以,,即存在,使,即,即,所以,解得,即实数取值范围是【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力
(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;
(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间
[12]上的最大值,然后解不等式求参数(2010湖南理数)
20.(本小题满分13分)已知函数对任意的,恒有(Ⅰ)证明当时,;(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式恒成立,求M的最小值解析(2010湖北理数)17.(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位万元)与隔热层厚度x(单位cm)满足关系C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(Ⅰ)求k的值及fx的表达式(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用fx达到最小,并求最小值(2010福建理数)20.(本小题满分14分)(Ⅰ)已知函数,(i)求函数的单调区间;(ii)证明若对于任意非零实数,曲线C与其在点处的切线交于另一点,曲线C与其在点处的切线交于另一点,线段(Ⅱ)对于一般的三次函数(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想【解析】(Ⅰ)(i)由得=,当和时,;当时,,因此,的单调递增区间为和,单调递减区间为(2010湖北理数)(2010安徽理数)
17、(本小题满分12分)设为实数,函数Ⅰ求的单调区间与极值;Ⅱ求证当且时,(2010江苏卷)
20、(本小题满分16分)设是定义在区间上的函数,其导函数为如果存在实数和函数,其中对任意的都有0,使得,则称函数具有性质1设函数,其中为实数i求证函数具有性质;ii求函数的单调区间2已知函数具有性质给定设为实数,,,且,若||||,求的取值范围[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力满分16分
(1)i∵时,恒成立,∴函数具有性质;ii(方法一)设,与的符号相同当时,,,故此时在区间上递增;当时,对于,有,所以此时在区间上递增;当时,图像开口向上,对称轴,而,对于,总有,,故此时在区间上递增;(方法二)当时,对于,所以,故此时在区间上递增;当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为,而当时,,,故此时在区间上递减;同理得在区间上递增综上所述,当时,在区间上递增;当时,在上递减;在上递增2(方法一)由题意,得又对任意的都有0,所以对任意的都有,在上递增又当时,,且,综合以上讨论,得所求的取值范围是(0,1)(方法二)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立所以,当时,,从而在区间上单调递增
①当时,有,,得,同理可得,所以由的单调性知、,从而有||||,符合题设
②当时,,,于是由及的单调性知,所以||≥||,与题设不符
③当时,同理可得,进而得||≥||,与题设不符因此综合
①、
②、
③得所求的的取值范围是(0,1)第1页共37页。