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张晓光第9页2011-1-22008年高考数学试题分类汇编函数与导数1.选择题
1.(全国一1)函数的定义域为(C)A.B.C.D.
2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是(A)
3.(全国一6)若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则(B)A.B.C.D.
4.(全国一7)设曲线在点处的切线与直线垂直,则(D)A.2B.C.D.
5.(全国一9)设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为(D)A.B.C.D.
6.(全国二3http://www.mathschina.com)函数的图像关于(C)A.轴对称B.直线对称C.坐标原点对称D.直线对称
8.(全国二4)若,则(C)A.B.C.D.
9.(北京卷2)若,,,则(A)A.B.C.D.
10.(北京卷3)“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的(B)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
11.(四川卷10)设,其中,则是偶函数的充要条件是D(A) (B) (C) (D)
12.(四川卷11)设定义在上的函数满足,若,则C(A) (B) (C) (D)
13.(天津卷3)函数()的反函数是A(A)() (B)()(C)() (D)()
14.(天津卷10)设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为B(A)(B) (C)(D)
15.(安徽卷7)是方程至少有一个负数根的(B)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数的图象与的图象关于直线对称而函数的图象与的图象关于轴对称,若,则的值是(B)A.B.C.D.
17.(安徽卷11)若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有(D)A.B.C.D.
18.(山东卷3)函数y=lncosx-<x<的图象是A
19.(山东卷4)设函数fx=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a的值为AA3B2C1D-
120.(江西卷3)若函数的值域是,则函数的值域是BA.B.C.D.
21.(江西卷6)函数在区间内的图象是D
22.(江西卷12)已知函数,,若对于任一实数,与至少有一个为正数,则实数的取值范围是BA.B.C.D.
23.(湖北卷4)函数的定义域为DA.B.C. D.
24.(湖北卷7)若上是减函数,则的取值范围是CA.B.C.D.
25.(湖北卷13)已知函数其中为常数,则方程的解集为.
26.(湖南卷10)设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]=2[]=1)对于给定的nN*定义x则当x时,函数的值域是DA.B.C.D.
27.(陕西卷7http://www.mathschina.com)已知函数,是的反函数,若(),则的值为(A)A.B.1C.4D.
1028.(陕西卷11http://www.mathschina.com)定义在上的函数满足(),,则等于(C)A.2B.3C.6D.
929.(重庆卷4已知函数y=的最大值为M最小值为m则的值为CABCD
30.(重庆卷6若定义在R上的函数fx满足对任意x1x2R有fx1+x2=fx1+fx2+1则下列说法一定正确的是CAfx为奇函数(B)fx为偶函数Cfx+1为奇函数(D)fx+1为偶函数
31.(福建卷4函数fx=x3+sinx+1xR若fa=2则f-a的值为BA.3B.0C.-1D.-
232.(福建卷12已知函数y=fxy=gx的导函数的图象如下图,那么y=fxy=gx的图象可能是D
33.(广东卷7)设,若函数,有大于零的极值点,则(B)A.B.C.D.
34.(辽宁卷6)设P为曲线C上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为(A)A.B.C.D.
35.(辽宁卷12)设是连续的偶函数,且当x0时是单调函数,则满足的所有x之和为(C)A.B.C.D.2.填空题
1.(上海卷4)若函数fx的反函数为f-1x=x2(x>0),则f4=
22.(上海卷8)设函数fx是定义在R上的奇函数,若当x∈0+∞时,fx=lgx,则满足fx>0的x的取值范围是-10∪1+∞
3.(上海卷11)方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xkk≤4所对应的点xi(i=12…k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是-∞-6∪6+∞;
4.(全国二14)设曲线在点处的切线与直线垂直,则.
25.(北京卷12)如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则2;-2.(用数字作答)
6.(北京卷13)已知函数,对于上的任意,有如下条件
①;
②;
③.其中能使恒成立的条件序号是
②.
7.(北京卷14)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下第棵树种植在点处,其中,,当时,表示非负实数的整数部分,例如,.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为;第2008棵树种植点的坐标应为.
8.(安徽卷13)函数的定义域为.
9.(江苏卷8)直线是曲线的一条切线,则实数b=.ln2-1.
10.(江苏卷14)对于总有≥0成立,则=.
411.(湖南卷13)设函数存在反函数且函数的图象过点12则函数的图象一定过点.-
1212.(湖南卷14)已知函数
(1)若a>0则的定义域是;2若在区间上是减函数,则实数a的取值范围是.
13.(重庆卷13已知a0,则.
314.(浙江卷15)已知t为常数,函数在区间[0,3]上的最大值为2,则t=___
115.(辽宁卷13)函数的反函数是__________.3.解答题
1.(全国一19).(本小题满分12分)(注意在试题卷上作答无效)已知函数,.(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.解
(1)求导当时,,,在上递增当,求得两根为即在递增,递减,递增
(2),且解得
2.(全国二22).(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.解(Ⅰ).2分当()时,,即;当()时,,即.因此在每一个区间()是增函数,在每一个区间()是减函数.6分(Ⅱ)令,则.故当时,.又,所以当时,,即.9分当时,令,则.故当时,.因此在上单调增加.故当时,,即.于是,当时,.当时,有.因此,的取值范围是.12分
3.(北京卷18).(本小题共13分)已知函数,求导函数,并确定的单调区间.解.令,得.当,即时,的变化情况如下表0当,即时,的变化情况如下表0所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.
4.(四川卷22).(本小题满分14分)已知是函数的一个极值点(Ⅰ)求;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围【解】(Ⅰ)因为所以因此(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,当时,所以的单调增区间是的单调减区间是(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,所以的极大值为,极小值为因此所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当因此,的取值范围为
5.(天津卷21)(本小题满分14分)已知函数(),其中.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围;(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)解.当时,.令,解得,,.当变化时,,的变化情况如下表02-0+0-0+↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在,内是增函数,在,内是减函数.(Ⅱ)解,显然不是方程的根.为使仅在处有极值,必须成立,即有.解些不等式,得.这时,是唯一极值.因此满足条件的的取值范围是.(Ⅲ)解由条件,可知,从而恒成立.当时,;当时,.因此函数在上的最大值是与两者中的较大者.为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,在上恒成立.所以,因此满足条件的的取值范围是.
6.(安徽卷20).(本小题满分12分)设函数(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)已知对任意成立,求实数的取值范围解1若则列表如下+0--单调增极大值单调减单调减2在两边取对数得由于所以1由1的结果可知当时为使1式对所有成立当且仅当即
7.(山东卷21)(本小题满分12分)已知函数其中n∈N*a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数fx的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明对任意的正整数n当x≥2时,有fx≤x-
1.(Ⅰ)解由已知得函数fx的定义域为{x|x>1},当n=2时,所以
(1)当a>0时,由fx=0得>1,<1,此时f′(x)=.当x∈(1,x1)时,f′(x)<0fx单调递减;当x∈(x1+∞)时,f′(x)>0fx单调递增.
(2)当a≤0时,f′(x)<0恒成立,所以fx无极值.综上所述,n=2时,当a>0时,fx在处取得极小值,极小值为当a≤0时,fx无极值.(Ⅱ)证法一因为a=1所以当n为偶数时,令则g′(x)=1+>0(x≥2).所以当x∈[2+∞]时,gx单调递增,又g2=0因此≥g2=0恒成立,所以fx≤x-1成立.当n为奇数时,要证≤x-1由于<0,所以只需证lnx-1≤x-1令hx=x-1-lnx-1则h′(x)=1-≥0(x≥2)所以当x∈[2,+∞]时,单调递增,又h2=1>0,所以当x≥2时,恒有hx>0即ln(x-1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立.证法二当a=1时,当x≤2,时,对任意的正整数n,恒有≤1,故只需证明1+lnx-1≤x-
1.令则当x≥2时,≥0,故hx在上单调递增,因此 当x≥2时,hx≥h2=0,即1+lnx-1≤x-1成立.故 当x≥2时,有≤x-
1.即f(x)≤x-
1.
8.(江苏卷17).某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点AB及CD的中点P处,已知AB=20kmCB=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且AB与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AOBOOP,设排污管道的总长为km.(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式
①设∠BAO=rad,将表示成的函数关系式;
②设OPkm,将表示成x的函数关系式.(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.【解析】本小题主要考查函数最值的应用.(Ⅰ)
①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=rad,则故,又OP=10-10ta,所以,所求函数关系式为
②若OP=km,则OQ=10-,所以OA=OB=所求函数关系式为(Ⅱ)选择函数模型
①,令0得sin,因为,所以=,当时,,是的减函数;当时,,是的增函数,所以当=时,这时点P位于线段AB的中垂线上,且距离AB边km处
9.(江苏卷20)若,,为常数,且(Ⅰ)求对所有实数成立的充要条件(用表示);(Ⅱ)设为两实数,且若求证在区间上的单调增区间的长度和为(闭区间的长度定义为).【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用.(Ⅰ)恒成立(*)因为所以,故只需(*)恒成立综上所述,对所有实数成立的充要条件是(Ⅱ)1°如果,则的图象关于直线对称.因为,所以区间关于直线对称.因为减区间为,增区间为,所以单调增区间的长度和为2°如果.
(1)当时.,当,因为,所以,故=当,因为,所以故=因为,所以,所以即当时,令,则,所以,当时,,所以=时,,所以=在区间上的单调增区间的长度和=
(2)当时.,当,因为,所以,故=当,因为,所以故=因为,所以,所以当时,令,则,所以,当时,,所以=时,,所以=在区间上的单调增区间的长度和=综上得在区间上的单调增区间的长度和为
10.(江西卷22).(本小题满分14分)已知函数,..当时,求的单调区间;.对任意正数,证明.解、当时,,求得,于是当时,;而当时,.即在中单调递增,而在中单调递减.
(2).对任意给定的,,由,若令,则…
①,而…
②
(一)、先证;因为,,,又由,得.所以.
(二)、再证;由
①、
②式中关于的对称性,不妨设.则(ⅰ)、当,则,所以,因为,,此时.(ⅱ)、当…
③,由
①得,,因为所以…
④同理得…
⑤,于是…
⑥今证明…
⑦因为,只要证,即,也即,据
③,此为显然.因此
⑦得证.故由
⑥得.综上所述,对任何正数,皆有.
11.(湖北卷20).本小题满分12分水库的蓄水量随时间而变化,现用表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位亿立方米)关于的近似函数关系式为(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份()同一年内哪几个月份是枯水期?(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取计算).解水库的蓄水量随时间而变化,现用表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位亿立方米)关于的近似函数关系式为(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份()同一年内哪几个月份是枯水期?(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取计算).
12.(湖南卷21)(本小题满分13分)已知函数fx=ln21+x-.I求函数的单调区间;(Ⅱ)若不等式对任意的都成立(其中e是自然对数的底数).求的最大值.解:(Ⅰ)函数的定义域是,设则令则当时,在(-1,0)上为增函数,当x>0时,在上为减函数.所以hx在x=0处取得极大值,而h0=0所以,函数gx在上为减函数.于是当时,当x>0时,所以,当时,在(-1,0)上为增函数.当x>0时,在上为减函数.故函数的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为.(Ⅱ)不等式等价于不等式由知,设则由(Ⅰ)知,即所以于是Gx在上为减函数.故函数G(x)在上的最小值为所以a的最大值为
13.(陕西卷21http://www.mathschina.com).(本小题满分12分)已知函数(且,)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是.(Ⅰ)求函数的另一个极值点;(Ⅱ)求函数的极大值和极小值,并求时的取值范围.解(Ⅰ),由题意知,即得,(*),.由得,由韦达定理知另一个极值点为(或).(Ⅱ)由(*)式得,即.当时,;当时,.(i)当时,在和内是减函数,在内是增函数.,,由及,解得.(ii)当时,在和内是增函数,在内是减函数.,恒成立.综上可知,所求的取值范围为.
14.(重庆卷20)(本小题满分13分.(Ⅰ)小问5分.(Ⅱ)小问8分.) 设函数曲线y=fx通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴.(Ⅰ)用a分别表示b和c;(Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数gx=-fxe-x的单调区间.解Ⅰ因为又因为曲线通过点(0,2a+3)故又曲线在(-1,f-1)处的切线垂直于y轴,故即-2a+b=0因此b=2a.Ⅱ由Ⅰ得故当时,取得最小值-.此时有从而所以令,解得当当当由此可见,函数的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞);单调递增区间为(-2,2).
15.(福建卷19)(本小题满分12分) 已知函数. (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=
3.若点n∈N*在函数y=f′x的图象上,求证点(nSn)也在y=f′x的图象上; (Ⅱ)求函数fx在区间(a-1a)内的极值.本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.Ⅰ证明因为所以′x=x2+2x由点在函数y=f′x的图象上又所以所以又因为′n=n2+2n所以故点也在函数y=f′x的图象上.Ⅱ解:由得.当x变化时﹑的变化情况如下表:x-∞-2-2-2000+∞f′x+0-0+fx↗极大值↘极小值↗注意到从而
①当此时无极小值;
②当的极小值为此时无极大值;
③当既无极大值又无极小值.
16.(福建卷22)(本小题满分14分) 已知函数fx=ln1+x-x1 (Ⅰ)求fx的单调区间; (Ⅱ)记fx在区间(n∈N*)上的最小值为bx令an=ln1+n-bx.(Ⅲ)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;(Ⅳ)求证本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分析问题和解决问题的能力,满分14分.解法一(I)因为fx=ln1+x-x,所以函数定义域为(-1+)且f〃x=-1=.由f〃x0得-1x0,fx的单调递增区间为(-1,0);由f〃x0得x0,fx的单调递增区间为(0,+).II因为fx在[0n]上是减函数,所以bn=fn=ln1+n-n则an=ln1+n-bn=ln1+n-ln1+n+n=n.i又lim因此c1,即实数c的取值范围是(-,1).(II)由(i)知因为[]2=所以<nN*则<N*)解法二(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)因为fx在上是减函数,所以 则(i)因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立. 则对n∈N*恒成立. 设n∈N*,则c<gn对n∈N*恒成立. 考虑 因为=0, 所以内是减函数;则当n∈N*时,gn随n的增大而减小,又因为=
1.所以对一切因此c≤1即实数c的取值范围是-∞,1].ⅱ由ⅰ知下面用数学归纳法证明不等式
①当n=1时,左边=,右边=,左边右边.不等式成立.
②假设当n=k时不等式成立.即当n=k+1时,=即n=k+1时,不等式成立综合
①、
②得,不等式成立.所以即.
17.(广东卷19).(本小题满分14分)设,函数,,,试讨论函数的单调性.【解析】对于,当时,函数在上是增函数;当时,函数在上是减函数,在上是增函数;对于,当时,函数在上是减函数;当时,函数在上是减函数,在上是增函数
18.(浙江卷21)(本题15分)已知是实数,函数(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)设为在区间上的最小值(i)写出的表达式;(ii)求的取值范围,使得本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识,同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.满分15分.(Ⅰ)解函数的定义域为,().若,则,有单调递增区间.若,令,得,当时,,当时,.有单调递减区间,单调递增区间.(Ⅱ)解(i)若,在上单调递增,所以.若,在上单调递减,在上单调递增,所以.若,在上单调递减,所以.综上所述,(ii)令.若,无解.若,解得.若,解得.故的取值范围为.
19.(辽宁卷22).(本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)求fx的单调区间和极值;(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式的解集为(0,+)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分14分.解(Ⅰ).2分故当时,,时,.所以在单调递增,在单调递减.4分由此知在的极大值为,没有极小值.6分(Ⅱ)(ⅰ)当时,由于,故关于的不等式的解集为.10分(ⅱ)当时,由知,其中为正整数,且有.12分又时,.且.取整数满足,,且,则,即当时,关于的不等式的解集不是.综合(ⅰ)(ⅱ)知,存在,使得关于的不等式的解集为,且的取值范围为.14分43216543O1xyACB2D.C.B.OtsOtsOtsA.OtsPAGE。