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安徽大学本科毕业论文（设计、创作）题目 变量代换在积分计算中的应用 学生姓名 陈雷学号A00814148院（系）数学科学学院专业数学与应用数学入学时间 2008 年 9 月导师姓名 施敏加职称/学位 博士 导师所在单位 安徽大学数学科学学院 完成时间 2012年 5月变量代换在积分计算中的应用摘要积分运算是高等数学中重要的内容，而变量代换在积分计算中应用非常的广泛对于不定积分，变量代换的应用可以化简一些常规解法无法解决的复杂积分对于多重积分、曲线积分、曲面积分，一定程度上可以说，解决这些积分计算问题的关键就是找到合适的变换，化简积分区域和积分函数对于一些复杂的积分只要选取适当的变量代换，问题将迎刃而解；同时，对于同一个问题，采取不同的变量代换，解题的简便程度也将大不相同关键词变量代换；积分计算；不定积分；多重积分；曲线积分；曲面积分VariablesubstitutionusedinintegralcalculationAbstractIntegralcalculationisaveryimportantpartinHighterMathematicsVariablesubstitutioniswidelyusedinintegralcalculation.ForIndefiniteintegraltheapplicationofvariablesubstitutioncansimplifysomecomplexintergralwhichcan’tbesolvedwiththeconventionalsolutian.FormultipleintegralscurveintegralandsurfaceintegralstoacertainextentthekeytosolvethisproblemsistofindtheappropriatevariablesubstitutionwhichcansimplifytheintegralregionandtheIntegralfunction.SomecomplexintegralwillbeeasysolvedwithsuitablemethodofVariablesubstitution.AndAddressedoneproblemofintegralcalculationwithdifferentVariablesubstitutionswillgetdifferentsimplelevels.Keywords:integralcalculation;indefiniteintegral；integralcalculation；multipleintegrals；curveintegral；surfaceintegrals目录TOC\o1-3\h\z\u第一章绪论
11.1变量代换应用简介
11.2本文的主要内容及组织结构1第二章变量代换在不定积分、定积分、反常积分计算中的应用
22.1先讨论变量代换在不定积分计算中的应用
22.
1.1不定积分变量代换简介
22.
1.2常见的计算不定积分的变量代换
32.2变量代换在定积分、反常积分计算中的应用8第三章变量代换在二重积分计算中的应用
93.1二重积分的变量代换原则
93.2二重积分的一般变量代换
93.3二重积分的极坐标变换
123.
3.1二重积分的极坐标变换简介
123.
3.2二重积分的极坐标变换举例13第四章变量代换在n重积分计算中的应用
174.1n重积分变量代换简介
174.2n重积分的特殊变量代换
174.
2.1三重积分的柱面坐标变换与球面坐标变换
174.
2.2n重积分的球面坐标变换
204.3n重积分的一般变量代换21第五章变量代换在曲线、曲面积分计算中的应用
235.1变量代换在第一类曲线积分中的应用
235.
1.1第一类曲线积分简介
235.
1.2第一类曲线积分的计算公式
235.
1.3变量代换技巧在第一类曲线积分中的应用
235.
1.4举例分析
235.2变量代换在第一类曲面积分中的应用
245.
2.1第一类曲面积分简介
245.
2.2第一类曲面积分的计算公式
245.
2.3变量代换技巧在第一类曲面积分中的应用
255.
2.4举例分析
255.3变量代换在第二类曲线积分中的应用
265.
3.1第二类曲线积分简介
265.
3.2第二类曲线积分计算公式
265.
3.3变量代换技巧在第二类曲线积分中的应用
275.4变量代换在第二类曲面积分中的应用
275.
4.
1.第二类曲面积分简介
275.
4.2变量代换技巧在第二类曲面积分中的应用27第六章结束语29参考文献30致谢31第一章绪论
1.1变量代换应用简介变量代换在积分的计算中有很重要的作用，尤其在计算多重积分、曲线积分、曲面积分中应用最广泛一定程度上可以说，解决这些问题的关键就是找到合适的变换，化简积分区域和积分函数
1.2本文的主要内容及组织结构本文在查阅一些国内较具代表性的相关重要文献的基础上，简要的说明变换方法的种类，重点关注了具体实例的解决，并对变量代换的好处作以说明，以说明变量代换在积分计算中应用的研究的意义，促进变量代换的应用本文的主要内容分为以下四章第二章主要介绍变量代换在不定积分、定积分、反常积分计算中的应用，总结一定的变量代换种类第三章介绍变量代换在二重积分计算中的应用，主要是实例分析第四章介绍变量代换在n重积分计算中的应用，主要是实例分析第五章介绍变量代换在曲线、曲面积分计算中的应用，主要是实例分析第二章变量代换在不定积分、定积分、反常积分计算中的应用
2.1先讨论变量代换在不定积分计算中的应用
2.
1.1不定积分变量代换简介计算不定积分的方法有以下几种:
1.公式法（即通过查基本积分表再加上线性运算求不定积分）;
2.第一类换元法（凑微分法）;
3.第二类换元法（真换元法）;
4.分部积分法.其中，第
一、二类换元法用到变量代换技巧，具体理论基础如下
2.
1.
1.1第一类换元法（凑微分法）在不定积分中，若可以通过等价变形化成，而的原函数是容易求出的具体步骤即注括号里的设变换过程可以省略
2.
1.
1.2第二类换元法（真换元法）若不定积分不能直接求出，但能找到一个适当的变量代换（要求的反函数存在），将原式化为而的原函数是容易求出的具体步骤即.注此时的设变换过程是不可省略的综上所述，第一类换元法在计算过程中可以省去设变换过程，而第二类换元法必须设出变换，故又称真换元法故这里主要讨论第二类换元法的变量代换技巧
2.
1.2常见的计算不定积分的变量代换
1、一次代换;
2、一次根式;
3、二次根式（三角代换）;
4、凑微分法中的三角代换;
5、倒代换;
6、特殊代换;
7、指数代换.下面各自举例说明
1、一次代换所谓一次代换就是指令则.若出现在分母、根式、高次幂之中时用上述代换可使积分简化例1求积分解令，则有例2求积分解令即，则有
2、一次根式代换这里的一次根式指根号下为x的一次因式的形式，即此时令，则若被积函数中同时出现、，（p、q为自然数），可令，其中n为pq的最小公倍数例1求积分.解令即，则有.例2求积分.解令即则有.例3求积分.解令，则于是再将代入之可得结果
3、二次根式三角代换这里的二次根式是指根号下的函数是二次的，设被积函数中含有1若含，可设;2若含，可设;3若含，可设.例求不定积分.解令，则.
4、凑微分法中的三角代换三角代换可分为两类:一般三角代换和特殊三角代换一般三角代换包括:正切化正弦化余弦化万能代换即用此时，从而，但此种方法较复杂，不常用以上几种三角代换，我们很熟悉下面有几种特殊的三角代换设被积函数为形式
（1）若满足条件，则令例1计算不定积分.解这里，故可令则，2若满足条件，则令.例2计算.解∵，故令.∴3若满足条件，则令.例3求.解∵，故令.∴
5.倒代换设分别是被积函数中分子、分母关于的最高次幂，当时，用倒代法可望成功例1求不定积分.解令，则，则有例2求不定积分.解令，则，则有
6、特殊代换特殊代换代换适用时，可大大简化积分具体适用于下列情况
（1）若，此时可设；
（2）若，此时可设.例求.解:令，则有.
7、指数代换指数代换的宗旨是把积分中的幂函数换成另一未知数t，从而原积分中的未知数便可以指数的形式表示，达到解题目的如下若即则；若即则.例1求不定积分.解令即则，有例2求不定积分.解令则，有综上所述，对于不定积分的求解应该具体问题具体分析，针对其不同的特征，选择合适的解决方法，从而达到快速简化计算的目的
2.2变量代换在定积分、反常积分计算中的应用值得注意的是，以上各种变量代换的方法是针对不定积分讨论的对定积分、反常积分上述方法仍然适用只是定积分的换元比不定积分多了一道换积分限的手续即作代换时必须将旧变量的变化范围换成新变量的变化范围且上下限互相对应需要说明一点的是函数必须在开区间上连续否则将出现错误第三章变量代换在二重积分计算中的应用
3.1二重积分的变量代换原则二重积分依赖于被积函数和积分区域可将其转化为两个累次积分进行直接计算有时被积函数比较复杂其原函数不易求出或者积分区域复杂描述区域的边界方程复杂不便确定累次积分的上、下限导致二重积分不好积、甚至积不出.变量代换是计算定积分非常有效的方法恰当选择变量代换对计算二重积分也有帮助二重积分变量代换的原则是:简化被积函数或简化积分区域.如果选取一种变换能同时简化被积函数和积分区域二重积分的计算往往会变得简单、容易;若变换不能兼顾简化两者而直接计算又比较困难或麻烦简化其一的变换也值得一试有时也比较有效.在二重积分的变量代换中除了常用的极坐标这一特殊变量代换外有时还需要作其它的变量代换这虽然有很大的随意性但选取变换的标准首先应考虑使积分区域化简从而使积分限容易安排同时被积函数也易于求累次积分.定理
3.1二重积分变量代换公式为设在平面的有界闭区域刀上连续且1连续可微函数把D双方单值地变换到区域；2雅可比行列式在上成立，则
3.2二重积分的一般变量代换此类变量代换最为广泛，无系统理论方法可循，设变换有很大随意性，仁者见仁；经过大量做题，可形成经验方法；无论如何，一般的变量代换方法设变换的原则是简化积分区域和被积函数；两者不能兼顾，以简化积分区域为主下面列举几例，仅为一般变量代换的冰山一角例1求，其中D是由坐标轴及抛物线所围成的区域解法一在直角坐标系中计算，区域D如右图则有，则.解法二令则此变换将变成，将变成.于是变成三角形区域，如图则.解法三令则在此变换下，抛物线变成，变成，变成D化作四分之一圆域，如图，则有.解法四令，则有于是D变成区域，如图则.由此可看到在二重积分的变量代换中变换的选择应该着重考虑到被积函数、积分区域的化简例2求下列图形的面积1所围的区域；2由抛物线直线所围的区域；3曲线所围图形在x0y0的部分解
（1）做变量代换，取则取于面所求面积区域记为，记，那么.方法点评抽象括号中的表达式，即把看成进而自然想到可变换，从而使积分区域简化为圆2由已知，做变量代换，取，则变换后变量u，v的取值范围为且记则.方法点评先在平面上做出曲线所围的区域，观察可在四条曲线方程中找出不变的式子和，且，由此可设，则原区域变换成矩形区域，计算化简3取变换将其代入曲线方程中有，于是所求第一象限内面积为方法点评左式中括号外为4次方，故应先化简左式而不是用广义极坐标变换化简右式，这样会使左式更加复杂
3.3二重积分的极坐标变换（常用）
3.
3.1二重积分的极坐标变换简介极坐标变换包括狭义与广义极坐标变换
3.
3.
1.1狭义极坐标变换其中.狭义极坐标变换适合积分区域或被积函数或曲线方程中含有的形式
3.
3.
1.2广义极坐标变换.广义极坐标变换适合积分区域或被积函数或曲线方程中含有的形式
3.
3.2二重积分的极坐标变换举例方法介绍二重积分的计算一般有以下3种题型
1.直接计算型；例如计算，其中
2.求若干个曲面所围城的立体的体积；例如:求抛物面和锥面所围成立体的体积
3.求曲线所围成图形的面积；例如求曲线所围图形的面积下分别举例说明各题型极坐标变换特点
1.直接计算型题型特点此种题型二重积分的积分区域与被积函数直接给出变换技巧尽量同时简化积分区域与被积函数；无法同时简化，以简化积分区域为主例1计算，其中解引入极坐标变换那么对应于区域，因此方法点评此题积分区域与被积函数的方程中都含有项，可利用极坐标变换同时简化例2计算，其中D是由圆所围成的区域;解引入极坐标变换那么对应于区域，因此方法点评此题积分区域中含有项，而被积函数的方程中都含有项，若采用广义极坐标变换简化被积函数，则积分区域会很复杂，此时的二重积分无法转化成累次积分从而解出答案故应首先考虑利用极坐标变换简化积分区域
2.求若干个曲面所围城的立体的体积题型特点此种题型二重积分的积分区域与被积函数都没有直接给出，应通过画图写出投影方程与被积函数变换技巧与题型1相同，尽量同时简化积分区域与被积函数；无法同时简化以简化积分区域为主例求抛物面和锥面所围成立体的体积（如图所示）解易求得两曲线的交线在平面的投影方程为设，于是利用极坐标变换得到所求立体体积为
3.求曲线所围成图形的面积题型特点此种题型二重积分的积分区域为曲线所围图形面积，被积函数为变换技巧只需简化积分区域即化简曲线方程例求曲线所围图形的面积（如图所示）解由此曲线的方程可以看出，该曲线在第
一、第三象限上，且关于原点对称因此只需计算该曲线在第一象限的面积，再乘以2就是整个图形的面积设该图形在第一象限的部分为D引入广义极坐标变换，该变换的Jacobi行列式为，在平面上这条曲线方程为，且D所对应的区域为，因此所求面积为.第四章变量代换在n重积分计算中的应用
4.1n重积分变量代换简介N重积分变量代换设U为上的开集，映射将U一一对应地映射到上，因此它有逆变换进一步假设都具有连续偏导数，而且这个映射的Jcobi行列式不等于零设为U中具有分片光滑边界的有界闭区域，则与二维情形类似的有结论定理
4.1映射T和区域如上假设如果是上的连续函数，那么变量代换公式成立，其中.
4.2n重积分的特殊变量代换
4.
2.1三重积分的柱面坐标变换与球面坐标变换三维空间中有两种非常重要的变换，一种是柱面坐标变换，一种是球面坐标变换
（1）柱面坐标变换它将映射为整个空间，变换的Jcobi行列式为.
（2）球面坐标变换它将映射为整个空间，变换的Jacobi行列式为.
（3）广义球面坐标变换它将映射为整个空间，变换的Jacobi行列式为.方法介绍和二重积分计算题型相似，三重积分的计算一般有以下3种题型
1.直接计算型；例如计算，其中为抛物面与平面z=h所围的闭区域
2.求若干个曲面所围成的立体的体积或某一空间立体的体积；例如:求椭球体的体积或例如求曲面所围立体的体积
3.求某一物体的质量；例如设某一物体在空间的表示为由曲面与平面z=5所围成的一立体其密度为，求此物体的质量下分别举例说明各题型极坐标变换特点
1.直接计算型题型特点此种题型三重积分的积分区域与被积函数直接给出变换技巧尽量同时简化积分区域与被积函数；无法同时简化，以简化积分区域为主例1计算，其中为抛物面与平面z=h所围的闭区域如图所示解引入柱面坐标变换在此变换下对应于空间的区域，因此例2计算，其中为锥面与球面所围成的区域（如图所示）解引入球面坐标变换，在此变换下对应于区域因此
2.求若干个曲面所围成的立体的体积或某一空间立体的体积；题型特点此种题型三重积分的被积函数恒为1变换技巧只需简化积分区域例1求椭球体的体积（如图所示）解引入广义球面坐标变换在此变换下对应于区域.此变换的Jacobi行列式为因此椭球的体积为.
3.求某一物体的质量；题型特点此种题型三重积分的被积函数直接给出，积分区域由物体的表面在空间的曲面表示给出，画出曲面可确定积分区域变换技巧尽量同时简化积分区域与被积函数；无法同时简化，以简化积分区域为主例设某一物体在空间的表示为由曲面与平面z=5所围成的一立体其密度为，求此物体的质量解设曲面与平面z=5所围成的一立体为，则取柱面坐标变换，则.
4.
2.2n重积分的球面坐标变换事实上，在上都可以引入球面坐标变换其中显然易计算此变换的Jacobi行列式为.例从略
4.3n重积分的一般变量代换和二重积分的一般变量代换类似，此类变量代换最为广泛，无系统理论方法可循，设变换有很大随意性，仁者见仁；经过大量做题，可形成经验方法；无论如何，一般的变量代换方法设变换的原则是简化积分区域和被积函数；两者不能兼顾，以简化积分区域为主下面列举几例，仅为一般变量代换的冰山一角例1计算，其中闭区域解取变换，那么对应于区域则例2计算曲面所围空间区域的体积与三张平面x=0y=0z=0所围的在第一卦限的立体解由已知条件看，取变换且，故则.第五章变量代换在曲线、曲面积分计算中的应用
5.1变量代换在第一类曲线积分中的应用
5.
1.1第一类曲线积分简介第一类曲线积分形式为即其中称为被积函数，L称为积分路径在平面情形下，函数在情面曲线L上的第一类曲线积分记为
5.
1.2第一类曲线积分的计算设L方程为，其中具有连续导数，且不同时为零（即L为光滑曲线），那么L是可求长的，且曲线的弧长为定理
3.1设L为光滑曲线，函数在L上连续则在L上的第一类曲线积分存在，且.
5.
1.3变量代换技巧在第一类曲线积分中的应用由2中第一类曲线积分的计算原理可知变量代换技巧在第一类曲线积分中的应用主要在于在于
1.首先最主要的也是最重要的是写出积分路径L曲线方程的参数方程形式；
2.尽量同时不复杂化被积函数；这需要具体曲线具体分析，另外一些特殊曲线的参数方程形式有表可查或题目直接给出例如星型线、双纽线、螺旋线等等
5.
1.4举例分析例1计算第一类曲线积分，其中L为单位圆；解单位圆L的参数方程为，则例2计算第一类曲线积分，其中L为星型线.解星型线L的参数方程为，且则有，例3计算第一类曲线积分，其中L为一段螺旋线.解由L为一段螺旋线，可得，则.
5.2变量代换在第一类曲面积分中的应用
5.
2.1第一类曲面积分简介第一类曲面积分形式为即其中称为被积函数，称为积分曲面
5.
2.2第一类曲面积分的计算设的方程为，这里D为uv平面上具有分段光滑边界的区域那么如果在上连续，则它在上的第一类曲面积分存在，且成立以下计算公式.特别地，当方程为时，成立.
5.
5.
2.3变量代换技巧在第一类曲面积分中的应用由2中第一类曲线积分的计算原理可知变量代换技巧在第一类曲面积分中的应用主要在于在于
1.首先最主要的也是最重要的是写出积分曲面曲线方程的参数方程形式；
2.尽量同时不复杂化被积函数；这需要具体曲面具体分析，常用的是前面介绍过的柱面坐标变换与球面坐标变换及其广义形式
5.
2.4举例分析例1算，其中为椭球面解椭球面的参数方程为其中经计算得到所以而这时被积函数化为.由被积函数与积分曲面的对称性，它在第一挂限的积分后再乘以8即为所求所以.
5.3变量代换在第二类曲线积分中的应用
5.
3.
1.第二类曲线积分简介定义设L为一条定向的可求长的连续曲线，起点为A终点为B在L上每一点取单位切向量，是它与L的定向相一致设，是定义在L上的向量值函数，则称为在L上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在的话）在曲线L上的点处取一个L的弧长微元ds，作向量，其中为曲线L在点处于L同向的单位切向量大么在x轴上的投影是，因此可记为dx，即同理记于是，第二类曲线积分又可表示为特别地，如果L为xy平面上的定向光滑曲线段，第二类曲线积分就简化为.
5.
3.2第二类曲线积分计算设光滑曲线L的方程为，这里表示参数t从a变化到b，这就确定了L的方向则L是可求长的，且曲线的弧长的微分注意到是曲线的切向量，因此它的单位切向量为.若向量值函数在L上连续，那么第二类曲面积分计算公式为.
5.
3.3变量代换技巧在第二类曲线积分中的应用由第二类曲线积分计算公式可知，第二类曲线积分计算最终还是转换成第一类曲线积分的计算，则变量代换技巧在第二类曲线积分中的应用完全相同于变量代换技巧在第一类曲线积分中的应用，在此就不在鏖述了
5.4变量代换在第二类曲面积分中的应用
5.
4.
1.第二类曲面积分简介定义设为定向的光滑曲面，曲面上的每一点指定了单位法向量如果是定义在上的向量值函数，称为在上的第二类曲面积分（如果右面的第一类曲面积分存在的话）
5.
4.2变量代换技巧在第二类曲面积分中的应用由第二类曲面积分计算公式可知，第二类曲面积分计算最终还是转换成第一类曲面积分的计算，则变量代换技巧在第二类曲面积分中的应用完全相同于变量代换技巧在第一类曲面积分中的应用，在此就不在鏖述了第六章结束语本文简要的介绍了变量代换在各种积分计算中的应用，主要是列举实例分析，理论的体系尚不不完善，因为变量代换更重要的在于具体问题的具体分析由于作者水平有限，出现错误漏洞之处恳请指导老师批评指正参考文献
[1]陈纪修，於崇华，金路《数学分析》第二版.高等教育出版社，2004
[2]高英敏二重积分的变量代换[D].青海师范大学，2010
[3]雷彩明分计算中变量代换研究[D].2011
[4]程美芳运算中变量代换的技巧[D]2011
[5]马玲利用变量代换求不定积分的方法探讨2011
[6]陈文灯等数学辅导[M]．北京世界图书出版公司，
2004.
[7]王友国择合适的变量代换计算二重积分致谢衷心感谢施敏加老师的悉心指导和耐心帮助，在文章的选题和撰写过程中，施老师给我提出了很多宝贵意见，并帮我解决遇到的困难感谢数学学院的所有老师四年来对我的辛勤培育感谢同学们的热心帮助，让我的文章更完善PAGE。
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