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文本内容:
论文题目矩阵的正定性及其应用学生姓名学生学号专业班级学院名称矩阵的正定性及其应用摘要矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后,简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章在第一章矩阵的正定性的定义.在第二章正定性矩阵的判别方法在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例.关键字矩阵实矩阵正定性应用MatrixsqualitativeanditsapplicationAbstractMatrixisqualitativecanfromsolidmatrixandcomplexmatrixtwoaspectselaboratedduetocomplexmatrixmoretediousandsomepropertiesofcomplexmatrixcanhaveamatrixongetsohereismainlyexpoundsthematrixisqualitativeandapplication.Basedontheintroductionofamatrixofthedefinitionandisqualitativeidentificationmethodsimplecitedsomeexamplestodescribedtheapplicationofmatrixisqualitative.Keywords:matrix;realmatrix;qualitative;application目录摘要-----------------------------------------------------------2Abstract-------------------------------------------------------3
一、二次型有定性的概念--------------------------------5
二、矩阵正定性的一些判别方法-----------------------5
三、几个简单的例题--------------------------------------
74、实矩阵正定性的一个简单应用--------------------8结语-----------------------------------------------------------10参考文献-----------------------------------------------------11致谢-----------------------------------------------------------12
一、二次型有定性的概念定义1具有对称矩阵之二次型1如果对任何非零向量都有(或)成立,则称为正定(负定)二次型,矩阵称为正定矩阵(负定矩阵).2如果对任何非零向量都有(或)成立,且有非零向量,使,则称为半正定(半负定)二次型,矩阵称为半正定矩阵(半负定矩阵).注:二次型的正定负定、半正定半负定统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
2、矩阵正定性的一些判别方法定理1设为正定矩阵若则也是正定矩阵.定理2对角矩阵正定的充分必要条件是.定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数定理5矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是存在非奇异矩阵使.即合同推论1若为正定矩阵则.定理6秩为的元实二次型设其规范形为则1负定的充分必要条件是且即负定二次型其规范形为2半正定的充分必要条件是即半正定二次型的规范形为3半负定的充分必要条件是即4不定的充分必要条件是即定义2阶矩阵的个行标和列标相同的子式称为的一个阶主子式.而子式称为的阶顺序主子式.定理7阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.注1若是负定矩阵,则为正定矩阵2是负定矩阵的充要条件是其中是的阶顺序主子式.3对半正定(半负定)矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵是半正定(半负定)的;b.的所有主子式大于(小于)或等于零;c.的全部特征值大于(小于)或等于零.
三、几个简单的例题例1设M是n阶实对称矩阵则必存在正实数t使得tI+M为正定阵,其中I是单位矩阵证明矩阵正定的充要条件:对任意x不等于0向量有XMX0,XTI+MX=TXX+XMX,在所有的X中选一个X使XMX的值最小XMX=-MAX其中MAX0,而这时对应的XX的值为K且K肯定大于0,又KMAX都是常数则必存在常数T使TK-MAX0,即XTI+MX=TXX+XMX0故TI+M正定.例2设二次型问取何值时f为正定二次型?解f的矩阵为f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零.事实上A的顺序主子式为于是f正定的充要条件是且.联解不等式组可得.当时f正定.
4、实矩阵正定性的一个简单应用在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题,对此可由二次型的正定性加以解决.定义1设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数记称为函数在点处的梯度.定义3满足的点称为函数的驻点.定义4称为函数在点处的黑塞矩阵显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.定理8极值存在的必要条件设函数在点处存在一阶偏导数,且为该函数的极值点,则.定理9极值的充分条件设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数,且则:1当为正定矩阵时,为的极小值;2当为负定矩阵时,为的极大值;3当为不定矩阵时,不是的极值应注意的问题利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法但也有一定的局限性因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的若条件不满足那结论就不一定成立.例3 求三元函数的极值.解 先求驻点,由得所以驻点为.再求Hessian黑塞矩阵因为所以,可知是正定的,所以在点取得极小值.当然,此题也可用初等方法求得极小值,结果一样.结语矩阵的正定性还有多种应用,在此就不一一列举.参考文献
[1]王萼方《高等代数》(第三版)高等教育出版社
[2]陈公宁《矩阵理论与应用》北京:高等教育出版社1990
[3]陈大新《矩阵理论》上海:上海交通大学出版社1997
[4]孟道骥《高等代数与解析几何http://www.jingpinke.com/textbook/searchkeywords=O%258$j:mC[-R%3Ef*%3Eunit=/6A%17%23f%20V9WqueryTemplate=title=%22O%258$j:mC[-R%3Ef*%3E%22%20AND%20unit=%22/6A%17%23f%20V9W%22》科学出版社
[5]李宏伟等编《线性代数学习辅导与习题解析http://www.jingpinke.com/textbook/detailsuuid=8a833968-25e34b30-0125-e34b3cd3-03b6objectId=oid:8a833999-276b2391-0127-6b239330-0630》科学出版社
[6]GeneHowardGolubCharlesF.vanLoan《MatrixComputation》致谢这篇耗时一个星期的论文终于写完在电脑上敲下最后一个字的时候,我有一些成就感……………最后,感谢大学的生活!。