还剩69页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第一部分三角函数2013北京高考理科在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.I求cosA的值;II求c的值.解1因为a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cosA=.2由1知cosA=,所以sinA==.又因为∠B=2∠A,所以cosB=2cos2A-1=.所以sinB==.在△ABC中,sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=.所以c==
5.2.2014北京高考理科如图,在中,,点在边上,且
(1)求
(2)求的长解(I)在中,因为,所以所以(Ⅱ)在中,由正弦定理得,在中,由余弦定理得所以
3.2015北京高考理科已知函数.Ⅰ求的最小正周期;Ⅱ求在区间上的最小值.试题解析Ⅰ1的最小正周期为;2,当时,取得最小值为4.2016海淀期中已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的最小正周期和单调递增区间.解(Ⅰ)因为所以.-(Ⅱ)因为所以所以周期.令,解得,,所以的单调递增区间为.c法二因为所以-------------------7分--------------------------9分所以周期.--------------------------11分令,--------------------------12分解得,所以的单调递增区间为.--------------------------13分5.2016海淀期中如图,在四边形中,.(Ⅰ)求的长; (Ⅱ)求证.解(Ⅰ)因为所以.--------------------------4分(Ⅱ)因为所以-------------------------------6分-------------------------7分--------------------------9分所以周期.--------------------------11分令,--------------------------12分解得,,所以的单调递增区间为.--------------------------13分法二因为所以-------------------7分--------------------------9分所以周期.--------------------------11分令,--------------------------12分解得,所以的单调递增区间为.--------------------------13分
6.2016海淀期末已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值与最小值的和.解(Ⅰ)因为…………………………….1分…………………………….5分(两个倍角公式,每个各2分)…………………………….6分所以函数的最小正周期.…………………………….7分(Ⅱ)因为,所以,所以.………………………….8分当时,函数取得最小值;…………………………….10分当时,函数取得最大值…………………………….12分因为所以函数在区间上的最大值与最小值的和为.…………………………….13分
7.2016海淀一模如图,在中,点在边上且.记.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,,求的长.解(Ⅰ)在中,由正弦定理有…………………2分在中,由正弦定理有…………………4分因为所以…………………6分因为所以…………………7分(Ⅱ)因为,由(Ⅰ)得…………………9分设由余弦定理…………………11分代入得到解得所以.…………………13分
8.2016海淀二模已知函数.(Ⅰ)比较,的大小;(Ⅱ)求函数的最大值.解(Ⅰ)因为所以…………………2分…………………4分因为所以…………………6分(Ⅱ)因为…………………9分令,所以…………………11分因为对称轴根据二次函数性质知,当时,函数取得最大值 …………………13分9.(2016西城期末)已知函数,.(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间;(Ⅱ)设,若函数为奇函数,求的最小值.解………………4分,………………6分所以函数的最小正周期.………………7分由,,得,所以函数的单调递增区间为,.………………9分(注或者写成单调递增区间为,.)(Ⅱ)解由题意,得,因为函数为奇函数,且,所以,即,………………11分所以,,解得,,验证知其符合题意.又因为,所以的最小值为.………………13分10.(2016西城一模)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求的值.(Ⅰ)解因为,由正弦定理,得.………………3分由余弦定理及,,………………5分得,所以,解得.………………7分(Ⅱ)解由,得.所以.………………8分即,………………11分所以,所以.………………13分11.(2016西城二模)已知函数.(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函数的定义域和值域.(Ⅰ)解因为是第二象限角,且,所以.………………2分所以,………………4分所以.………………6分(Ⅱ)解函数的定义域为,且.………………8分化简,得………………10分,………………12分因为,且,,所以,所以.所以函数的值域为.………………13分(注或许有人会认为“因为,所以”,其实不然,因为.)第二部分概率与统计2013北京高考理科下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”i=1,2,…,13.根据题意,PAi=,且Ai∩Aj=∅i≠j.1设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A
8.所以PB=PA5∪A8=PA5+PA8=.2由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且PX=1=PA3∪A6∪A7∪A11=PA3+PA6+PA7+PA11=,PX=2=PA1∪A2∪A12∪A13=PA1+PA2+PA12+PA13=,PX=0=1-PX=1-PX=2=.所以X的分布列为故X的期望EX=0×+1×+2×=.3从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
2.2014北京高考理科)李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.
(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过,一场不超过的概率.记是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记为李明在这比赛中的命中次数,比较与的大小(只需写出结论)所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过
0.6的概率是
05.(Ⅱ)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过
0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过
0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过
0.6,一场不超过
0.6”则C=,AB独立根据投篮统计数据,.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过
0.6,一场不超过
0.6的概率为.(Ⅲ).
3.(2015北京高考理科),两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位天)记录如下组10,11,12,13,14,15,16组12,13,15,16,17,14,假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙.Ⅰ求甲的康复时间不少于14天的概率;Ⅱ如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;Ⅲ当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)【答案】
(1),
(2),
(3)或
4.(2016海淀期末)已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况,做药物试验.试验设计为每天用药一次,连续用药四天为一个用药周期.假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关.(Ⅰ)如果出现A症状即停止试验”,求试验至多持续一个用药周期的概率;(Ⅱ)如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状,则这个用药周期结束后终止试验,试验至多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为,求的期望.解(Ⅰ)设持续天为事件,用药持续最多一个周期为事件,…………………………….1分所以,…………………………….5分则.…………………………….6分法二设用药持续最多一个周期为事件,则为用药超过一个周期,…………………………….1分所以…………………………….3分所以.…………………………….6分(Ⅱ)随机变量可以取,…………………………….7分所以…………………………….11分所以.…………………………….13分
5.(2016海淀一模)2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等权威机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广.2015年12月10日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速.某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本每株提取的青蒿素产量(单位克)如下表所示(Ⅰ)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量;(Ⅱ)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为,,根据样本数据试估计与的大小(只需写出结论);(Ⅲ)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株,记这2株的产量总和为,求随机变量的分布列和数学期望.解:I由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据,得样本平均数…………………2分则山下试验田株青蒿的青蒿素产量估算为g…………………3分(Ⅱ)比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和,结果为.…………………6分(Ⅲ)依题意,随机变量可以取,…………………7分…………………9分随机变量的分布列为…………………11分随机变量的期望.…………………13分
6.(2016海淀二模)某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调,销售情况如下表所示Ⅰ求型空调前三周的平均周销售量;Ⅱ根据型空调连续3周销售情况,预估型空调连续5周的平均周销量为10台.请问当型空调周销售量的方差最小时,求,的值;注方差,其中为,,…,的平均数(Ⅲ)为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台,求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望.解:I型空调前三周的平均销售量台…………………2分(Ⅱ)因为型空调平均周销售量为台,所以…………………4分又化简得到…………………5分因为,所以当或时,取得最小值所以当或时,取得最小值…………………7分(Ⅲ)依题意,随机变量的可能取值为,…………………8分…………………11分随机变量的分布列为随机变量的期望.…………………13分7.(2016西城期末)甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下(Ⅰ)若从甲的4局比赛中,随机选取2局,求这2局的得分恰好相等的概率;(Ⅱ)如果,从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局,记这2局的得分和为,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出的所有可能取值.(结论不要求证明)(Ⅰ)解记“从甲的4局比赛中,随机选取2局,且这2局的得分恰好相等”为事件,………………1分由题意,得,所以从甲的4局比赛中,随机选取2局,且这2局得分恰好相等的概率为.……4分(Ⅱ)解由题意,的所有可能取值为,,,,………………5分且,,,,………………7分所以的分布列为………………8分所以.………………10分(Ⅲ)解的可能取值为,,.………………13分8.(2016西城一模)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段,,,,,进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).(Ⅰ)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数;(Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在的概率;(Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为,且分别在,,三组中,其中.当数据的方差最小时,写出的值.(结论不要求证明)(注,其中为数据的平均数)(Ⅰ)解由折线图,知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人,………………2分所以该校高一年级学生中,“体育良好”的学生人数大约有人.……4分(Ⅱ)解设“至少有1人体育成绩在”为事件,………………5分由题意,得,因此至少有1人体育成绩在的概率是.………………9分(Ⅲ)解的值分别是为;或.………………13分9.(2016西城二模)某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位小时)分为5组,,,,,并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)写出的值;(Ⅱ)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;(Ⅲ)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,并用X表示其中初中生的人数,求X的分布列和数学期望.(Ⅰ)解.………………3分(Ⅱ)解由分层抽样,知抽取的初中生有60名,高中生有40名.………………4分因为初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为,所以所有的初中生中,阅读时间不小于30个小时的学生约有人,………………6分同理,高中生中,阅读时间不小于30个小时的学生频率为,学生人数约有人.所以该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人.………………8分(Ⅲ)解初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为,样本人数为人.同理,高中生中,阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人.故X的可能取值为1,2,
3.………………9分则,,.所以的分布列为………………12分所以.………………13分第三部分立体几何
1.2013北京高考理科如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=
5.(Ⅰ)求证AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(Ⅲ)证明在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.解1证明因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.2由1知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图所示,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B0,3,0,A10,0,4,B10,3,4,C14,0,4.设平面A1BC1的一个法向量为=x,y,z,则即令z=3,则x=0,y=4,所以=0,4,3.同理可得,平面B1BC1的一个法向量为=3,4,0.所以cos〈,〉==.由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.3设Dx,y,z是直线BC1上一点,且=λ.所以x,y-3,z=λ4,-3,4.解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.所以=4λ,3-3λ,4λ.由·=0,即9-25λ=0,解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.
2.2014北京高考理科)如图,正方形的边长为2,分别为的中点,在五棱锥中,为棱的中点,平面与棱分别交于点.
(1)求证;
(2)若底面,且,求直线与平面所成角的大小,并求线段的长.解(I)在正方形中,因为B是AM的中点,所以∥又因为平面PDE,所以∥平面PDE,因为平面ABF,且平面平面,所以∥(Ⅱ)因为底面ABCDE所以,.如图建立空间直角坐标系,则,.设平面ABF的法向量为,则即令,则所以,设直线BC与平面ABF所成角为a则设点H的坐标为因为点H在棱PC上,所以可设,即所以因为是平面ABF的法向量,所以,即解得,所以点H的坐标为所以
3.(2015北京高考理科)如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,,,,为的中点.Ⅰ求证;Ⅱ求二面角的余弦值;Ⅲ若平面,求的值.【答案】1证明见解析,
(2),
(3)【解析】试题分析证明线线垂直可寻求线面垂直,利用题目提供的面面垂直平面平面,借助性质定理证明平面EFCB,进而得出线线垂直,第二步建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,平面AEF的法向量易得,只需求平面AEB的法向量,设平面AEB的法向量,利用线线垂直,数量积为零,列方程求出法向量,再根据二面角公式求出法向量的余弦值;第三步由于,要想平面,只需,利用向量的坐标,借助数量积为零,求出的值,根据实际问题予以取舍.试题解析Ⅰ由于平面平面,为等边三角形,为的中点,则,根据面面垂直性质定理,所以平面EFCB,又平面,则.Ⅱ取CB的中点D,连接OD以O为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,,,,由于平面与轴垂直,则设平面的法向量为,设平面的法向量,,,则,二面角的余弦值,由二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为.(Ⅲ)有
(1)知平面EFCB,则,若平面,只需,,又,,解得或,由于,则.考点
1.线线垂直的证明;
2.利用法向量求二面角;
3.利用数量积解决垂直问题.
4.(2016海淀期末)如图,在四棱锥中,底面,底面为梯形,,,且.(Ⅰ)若点为上一点且,证明平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得若存在,求出的长;若不存在,说明理由.解(Ⅰ)过点作,交于连接因为,所以.…………………………….1分又,,所以.…………………………….2分所以为平行四边形所以.…………………………….3分又平面,平面………………….4分(一个都没写的,则这1分不给)所以平面.…………………………….5分(Ⅱ)因为梯形中,,所以.因为平面,所以如图,以为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系…………………………….6分所以.设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为因为所以,即,…………………………….7分取得到…………………………….8分同理可得…………………………….9分所以…………………………….10分因为二面角为锐角,所以二面角为.…………………………….11分(Ⅲ)假设存在点,设,所以…………………………….12分所以,解得…………………………….13分所以存在点,且.…………………………….14分
5.(2016海淀一模)如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,点分别为线段上的点,.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)求证当点不与点重合时,四个点在同一个平面内;(Ⅲ)当,二面角大小为为时,求的长.解:(Ⅰ)证明在正方形中,…………………1分因为平面,平面,所以.…………………2分因为,且,平面,所以平面…………………4分(Ⅱ)证明因为平面,平面所以…………………5分在中,,,所以.…………………6分在正方形中,所以,…………………7分所以可以确定一个平面,记为所以四个点在同一个平面内…………………8分(Ⅲ)因为平面,平面,所以.又如图,以为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系…………………9分所以.设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为设,因为,所以,又,所以,即,…………………10分取得到…………………11分因为,所以,即,取得到…………………12分因为二面大小为所以所以解得所以…………………14分
6.(2016海淀二模)如图,等腰梯形中,,于,于,且,.将和分别沿、折起,使、两点重合,记为点,得到一个四棱锥,点,,分别是的中点.(Ⅰ)求证∥平面;(Ⅱ)求证;(Ⅲ)求直线与平面所成的角的大小.解:(Ⅰ)证明连结.在中,因为分别是所在边的中点,所以,…………………1分又所以…………………2分所以是平行四边形,所以…………………3分又平面,平面…………………4分所以平面.…………………5分(Ⅱ)证明方法一在平面内,过点作的平行线,因为所以平面所以平面,所以.又在中,因为,所以.以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系…………………6分所以…………………7分所以,…………………8分所以,所以.…………………9分方法二取中点,连接.又为的中位线,所以又,所以,所以在一个平面中.…………………6分因为是等边三角形,所以又,所以…………………7分且,所以平面,…………………8分而平面所以.…………………9分(Ⅲ)因为所以即又所以平面,所以就是平面的法向量.…………………11分又,设与平面所成的角为,则有…………………13分所以与平面所成的角为.…………………14分7.(2016西城期末)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,分别为的中点,点在线段上.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)若为的中点,求证平面;(Ⅲ)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.(Ⅰ)证明在平行四边形中,因为,,所以.由分别为的中点,得,所以.………………1分因为侧面底面,且,所以底面.………………2分又因为底面,所以.………………3分又因为,平面,平面,所以平面.………………4分(Ⅱ)证明因为为的中点,分别为的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面.………………5分同理,得平面.又因为,平面,平面,所以平面平面.………………7分又因为平面,所以平面.………………9分(Ⅲ)解因为底面,,所以两两垂直,故以分别为轴、轴和轴,如上图建立空间直角坐标系,则,所以,,,………………10分设,则,所以,,易得平面的法向量.………………11分设平面的法向量为,由,,得令得.………………12分因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,所以,即,………………13分所以,解得,或(舍).………………14分8.(2016西城一模)如图,四边形是梯形,,,四边形为矩形,已知,,,.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(Ⅲ)设为线段上的一个动点(端点除外),判断直线与直线能否垂直?并说明理由.(Ⅰ)证明由为矩形,得,又因为平面,平面,所以平面,………………2分同理平面,又因为,所以平面平面………………3分又因为平面,所以平面.………………4分(Ⅱ)解由平面中,,,得,又因为,,所以平面,所以,又因为四边形为矩形,且底面中与相交一点,所以平面,因为,所以平面.过在底面中作,所以两两垂直,以分别为轴、轴和轴,如图建立空间直角坐标系,………………6分则,,,,,,所以.设平面的一个法向量为,由,,得令,得.………………8分易得平面的法向量.所以.即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.………………10分(Ⅲ)结论直线与不可能垂直.………………11分证明设,,由,,,,得,,,,.………………12分若,则,即,因为,所以,解得,这与矛盾.所以直线与不可能垂直.………………14分9.(2016西城二模)如图,正方形的边长为4,分别为的中点.将正方形沿着线段折起,使得.设为的中点.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)设分别为线段上一点,且平面,求线段长度的最小值.(Ⅰ)证明因为正方形中,分别为的中点,所以,,又因为,所以平面.………………2分又因为平面,所以.………………4分(Ⅱ)解因为,,,所以为等边三角形,且.又因为,,所以平面.………………5分设的中点为,连接,则两两垂直,故以分别为x轴、y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,.………………6分设平面的一个法向量为,由,,得令,得.………………7分设直线与平面所成角为,则.即直线与平面所成角的正弦值为.………………9分(Ⅲ)由题意,可设,,由,得,所以,.………………10分由(Ⅱ),得为平面的法向量.因为平面,所以,即.………………11分所以,………………12分又因为,所以当时,.所以当,时,线段长度有最小值.………………14分第四部分导数应用
1.(2013北京)设L为曲线C在点1,0处的切线.I求L的方程;II证明除切点1,0之外,曲线C在直线L的下方..解1设fx=,则f′x=.所以f′1=
1.所以L的方程为y=x-
1.2令gx=x-1-fx,则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于gx0x0,x≠1.gx满足g1=0,且g′x=1-f′x=.当0x1时,x2-10,lnx0,所以g′x0,故gx单调递减;当x1时,x2-10,lnx0,所以g′x0,故gx单调递增.所以gxg1=0x0,x≠1.所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
2.(2014北京)已知函数,求证;若在上恒成立,求的最大值与的最小值.解(I)由得因为在区间上,所以在区间上单调递减从而(Ⅱ)当时,“”等价于“”“”等价于“”令,则,当时,对任意恒成立当时,因为对任意,,所以在区间上单调递减从而对任意恒成立当时,存在唯一的使得与在区间上的情况如下因为在区间上是增函数,所以进一步,“对任意恒成立”当且仅当,即,综上所述,当且仅当时,对任意恒成立;当且仅当时,对任意恒成立所以,若对任意恒成立,则a最大值为,b的最小值为
1.
3.(2015北京)已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求证当时,;(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)证明见解析,(Ⅲ)的最大值为
2.试题解析(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为;(Ⅱ)当时,,即不等式,对成立,设,则,当时,,故在(0,1)上为增函数,则,因此对,成立;(Ⅲ)使成立,,等价于,;,当时,,函数在(0,1)上位增函数,,符合题意;当时,令,,显然不成立,综上所述可知的最大值为
2.考点
1.导数的几何意义;
2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;
3.含参问题讨论.
4.(2016海淀期中)已知函数,曲线在点处的切线为.(Ⅰ)若直线的斜率为,求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数是区间上的单调函数,求的取值范围.解(Ⅰ)因为,所以曲线经过点又--------------------------2分所以--------------------------3分所以.当变化时,,的变化情况如下表:--------------------------5分所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.--------------------------7分(Ⅱ)法一:因为函数在区间上单调当函数在区间上单调递减时,对成立,即对成立,根据二次函数的性质,只需要,解得.--------------------------8分又,所以.--------------------------9分当函数在区间上单调递增时,对成立,只要在上的最小值大于等于0即可,因为函数的对称轴为,当时,在上的最小值为,--------------------------10分解,得或,所以此种情形不成立.--------------------------11分当时,在上的最小值为,(注此处用也可得分)----------12分解得,所以,综上,实数的取值范围是或.--------------------------13分法二令即,
①若即时,恒成立,函数在区间上单调递增-----------------8分所以.--------------------------9分
②若即,由得,若函数在区间上单调递减,对成立,即对成立,根据二次函数的性质,只需要,解得.--------------------------10分又,所以.--------------------------11分若函数在区间上单调递增,对成立根据二次函数的性质,只需要或-------------------------12分可解得(无解)或(解得与矛盾),此种情况不成立综上,实数的取值范围是或.--------------------------13分法三因为函数在区间上单调当函数在区间上单调递减时,对成立,即对恒成立,只需根据二次函数的性质只需,解得--------------------------8分又,所以.--------------------------9分当函数在区间上单调递增时,对成立,即对恒成立,只需设函数的对称轴为,当时,在上的最大值为,--------------------------10分解,得或,所以此种情形不成立.--------------------------11分当时,在上的最大值为,-------------------------12分解得,所以,综上,实数的取值范围是或.--------------------------13分
5.(2016海淀期末)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)求证当时,关于的不等式在区间上无解.(其中)解(Ⅰ)因为所以,…………………………….1分当时,.…………………………….2分令,得,…………………………….3分所以随的变化情况如下表…………………………….5分所以在处取得极大值,在处取得极小值.…………………………….6分函数的单调递增区间为,的单调递减区间为.…………………………….8分(Ⅱ)证明不等式在区间上无解,等价于在区间上恒成立,即函数在区间上的最大值小于等于
1.因为,令,得.…………………………….9分因为时,所以.当时,,则函数在区间上单调递减,…………………………….10分所以函数在区间上的最大值为所以不等式在区间上无解;…………………………….11分当时,随的变化情况如下表所以函数在区间上的最大值为或.……………………………….12分此时,所以.综上,当时,关于的不等式在区间上无解.…………………………….13分
6.(2016海淀一模)已知函数,.(Ⅰ)求函数的最小值;(Ⅱ)求函数的单调区间;Ⅲ求证直线不是曲线的切线.解:(Ⅰ)函数的定义域为,…………………1分…………………2分当变化时,,的变化情况如下表…………………4分函数在上的极小值为,所以的最小值为…………………5分(Ⅱ)解函数的定义域为,…………………6分…………………7分由(Ⅰ)得,,所以…………………8分所以的单调增区间是,无单调减区间.…………………9分(Ⅲ)证明假设直线是曲线的切线.………………10分设切点为,则,即…………………11分又,则.…………………12分所以得,与矛盾所以假设不成立,直线不是曲线的切线…………………13分
7.(2016海淀二模)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围;Ⅲ若曲线存在两条互相垂直的切线,求实数的取值范围.只需直接写出结果解:(Ⅰ)函数的定义域为.当时,…………………2分当变化时,,的变化情况如下表…………………4分函数的单调递增区间为,,函数的单调递减区间为.…………………5分(Ⅱ)解因为在区间上有解,所以在区间上的最小值小于等于.因为令得.…………………6分当时,即时,因为对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为所以,解得,所以此种情形不成立,…………………8分当,即时,若则对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为所以,解得,所以.…………………9分若,若,则对成立,对成立.则在上单调递减,在上单调递增,此时在上的最小值为所以有,解得,………………10分当时,注意到而,此时结论成立.…………………11分综上,的取值范围是.…………………12分法二因为在区间上有解,所以在区间上的最小值小于等于,当时,显然,而成立,…………………8分当时对成立,所以在上单调递增,此时在上的最小值为,所以有,解得,所以.…………………11分综上,.…………………12分(Ⅲ)的取值范围是.…………………14分
8.(2016西城期末)已知函数,函数,其中.(Ⅰ)如果函数与在处的切线均为,求切线的方程及的值;(Ⅱ)如果曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围.(Ⅰ)解求导,得,,.………………2分由题意,得切线l的斜率,即,解得.……………3分又切点坐标为,所以切线l的方程为.………………4分(Ⅱ)解设函数,.………………5分“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”.求导,得.………………6分
①当时,由,得,所以在单调递增.又因为,所以有且仅有一个零点,符合题意.………………8分
②当时,当变化时,与的变化情况如下表所示所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,,故有且仅有一个零点,符合题意.………………10分
③当时,令,解得.当变化时,与的变化情况如下表所示所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,.………………11分因为,,且在上单调递增,所以.又因为存在,,所以存在使得,所以函数存在两个零点,1,与题意不符.综上,曲线与有且仅有一个公共点时,的范围是,或.………………13分
9.(2016西城一模)已知函数,且.(Ⅰ)求的值及的单调区间;(Ⅱ)若关于x的方程存在两不相等个正实数根,证明.(Ⅰ)解对求导,得,………………2分所以,解得.………………3分故,.令,得.当变化时,与的变化情况如下表所示所以函数的单调减区间为,单调增区间为.………………5分(Ⅱ)解方程,即为,设函数.………………6分求导,得.由,解得,或.………………7分所以当变化时,与的变化情况如下表所示所以函数在单调递减,在上单调递增.………………9分由,得.又因为,所以.不妨设(其中为的两个正实数根),因为函数在单调递减,且,,所以.………………11分同理根据函数在上单调递增,且,可得,所以,即.………………13分
10.(2016西城二模)设,函数.(Ⅰ)若函数在处的切线与直线平行,求a的值;(Ⅱ)若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围.(Ⅰ)证明函数的定义域,………………1分由题意,有意义,所以.求导,得.………………3分由题意,得,解得.验证知符合题意.………………5分(Ⅱ)解“对于定义域内的任意,总存在使得”等价于“不存在最小值”.………………6分
①当时,由,得无最小值,符合题意.………………7分
②当时,令,得或.………………8分随着x的变化时,与的变化情况如下所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.………………9分因为当时,,当时,,所以只要考虑,且即可.当时,由在上单调递减,且,得,所以存在,使得,符合题意;同理,当时,令,得,也符合题意;故当时,对于定义域内的任意,总存在使得成立.………11分
③当时,随着x的变化时,与的变化情况如下表所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.因为当时,,当时,,所以.所以当时,不存在使得.综上所述,a的取值范围为.………………13分第五部分解析几何
1.(2013北京高考)已知A、B、C是椭圆W上的三个点,O是坐标原点.I当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;II当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解1椭圆W+y2=1的右顶点B的坐标为2,0.因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A1,m,代入椭圆方程得+m2=1,即m=±.所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.2假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+mk≠0,m≠0.由消y并整理得1+4k2x2+8kmx+4m2-4=
0.设Ax1,y1,Cx2,y2,则=-,=k·+m=.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.因为,所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
2.(2014北京高考)已知椭圆,求椭圆的离心率.设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆的位置关系,并证明你的结论.解(I)由题意,椭圆C的标准方程为所以,从而因此故椭圆C的离心率(Ⅱ)直线AB与圆相切证明如下设点AB的坐标分别为,,其中因为,所以,即,解得当时,,代入椭圆C的方程,得,故直线AB的方程为圆心O到直线AB的距离此时直线AB与圆相切当时,直线AB的方程为,即,圆心0到直线AB的距离又,故此时直线AB与圆相切
3.(2015北京高考)已知椭圆的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】【解析】试题分析椭圆的离心率为,点在椭圆上,利用条件列方程组,解出待定系数,写出椭圆方程;由点和点,写出PA直线方程,令求出x值,写出直线与x轴交点坐标;由点,写出直线的方程,令求出x值,写出点N的坐标,设,求出和,利用二者相等,求出,则存在点使得.试题解析(Ⅰ)由于椭圆过点且离心率为,,,椭圆的方程为.直线的方程为,令,;考点
1.求椭圆方程;
2.求直线方程及与坐标轴的交点;
3.存在性问题.
4.(2016海淀期末)已知椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为.是否存在点,使得若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.解(Ⅰ)因为椭圆的左顶点在圆上,令,得,所以.…………………………….1分又离心率为,所以,所以…………………………….2分所以…………………………….3分所以的方程为.…………………………….4分(Ⅱ)法一设点,设直线的方程为,…………………………….5分与椭圆方程联立得化简得到…………………………….6分因为为上面方程的一个根,所以,所以.…………………………….7分所以.…………………………….8分因为圆心到直线的距离为,…………………………….9分所以…………………………….10分因为,…………………………….11分代入得到.…………………………….13分显然,所以不存在直线,使得.…………………………….14分法二设点,设直线的方程为,…………………………….5分与椭圆方程联立得化简得到由得.…………………………….6分显然是上面方程的一个根,所以另一个根,即.…………………………….7分由,…………………………….8分因为圆心到直线的距离为,…………………………….9分所以.…………………………….10分因为,…………………………….11分代入得到…………………………….13分若,则,与矛盾,矛盾,所以不存在直线,使得.…………………………….14分法三假设存在点,使得,则,得.…………………………….5分显然直线的斜率不为零,设直线的方程为,…………………………….6分由,得由得,…………………………….7分所以.…………………………….9分同理可得,…………………………….11分所以由得,…………………………….13分则,与矛盾,所以不存在直线,使得.…………………………….14分
5.(2016海淀一模)已知椭圆的离心率为,椭圆与轴交于两点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点是椭圆上的一个动点,且点在轴的右侧.直线,与直线分别相交于两点.若以为直径的圆与轴交于两点,求点横坐标的取值范围及的最大值.解(Ⅰ)由题意可得,,…………………1分,…………………2分得,…………………3分解,…………………4分椭圆的标准方程为.…………………5分(Ⅱ)设,,,所以,直线的方程为,…………………6分同理直线的方程为,直线与直线的交点为,…………………7分直线与直线的交点为,线段的中点,…………………8分所以圆的方程为,…………………9分令,则,…………………10分因为,所以,…………………11分所以,因为这个圆与轴相交该方程有两个不同的实数解,所以,解得.…………………12分设交点坐标,则()所以该圆被轴截得的弦长为最大值为
2.…………………14分方法二(Ⅱ)设,,,所以,直线的方程为,…………………6分同理直线的方程为,直线与直线的交点为,…………………7分直线与直线的交点为,若以MN为直径的圆与x轴相交,则,…………………9分即即…………………10分因为,所以…………………11分代入得到,解得.…………………12分该圆的直径为,圆心到x轴的距离为,该圆在x轴上截得的弦长为;所以该圆被轴截得的弦长为最大值为
2.…………………14分方法三(Ⅱ)设,,,所以,直线的方程为,…………………6分同理直线的方程为,直线与直线的交点为,…………………7分直线与直线的交点为,所以,…………………8分圆心到x轴的距离为,…………………9分若该圆与轴相交,则,…………………10分即,因为,所以…………………11分所以,解得…………………12分该圆在x轴上截得的弦长为;所以该圆被轴截得的弦长为最大值为
2.…………………14分方法四记,设由已知可得,所以的直线方程为,……………………….6分的直线方程为,令,分别可得,,……………………….8分所以若以为直径的圆与轴相交于,因为,所以,……………………….9分……………………….10分因为,所以……………………….11分代入得到所以,……………………….12分所以所以该圆被轴截得的弦长为最大值为
2.…………………14分方法五设直线与交于点因为轴,所以有所以,所以,所以是的中点.……………………….6分又设所以直线方程为……………………….7分令得所以……………………….8分而……………………….9分若以为直径的圆与轴相交于则……………………….10分所以因为,所以代入得到……………………….11分所以,所以或因为点,所以……………………….12分而所以该圆被轴截得的弦长为最大值为
2.…………………14分
6.(2016海淀二模)已知点其中是曲线上的两点,两点在轴上的射影分别为点且.(Ⅰ)当点的坐标为时,求直线的斜率;(Ⅱ)记的面积为,梯形的面积为,求证.解(Ⅰ)因为,所以代入,得到,…………………1分又,所以,所以,…………………2分代入,得到,…………………3分所以.…………………5分(Ⅱ)法一设直线的方程为.则…………………7分由得所以…………………9分又…………………11分又注意到,所以,所以,…………………12分因为,所以所以.…………………13分法二设直线的方程为.由得所以…………………7分…………………8分点到直线的距离为所以………………9分又…………………11分又注意到,所以,所以,…………………12分因为,所以所以.…………………13分法三直线的方程为…………………6分所以点到直线的距离为…………………7分又…………………8分所以又…………………9分所以…………………10分因为所以…………………11分代入得到,…………………12分因为当且仅当时取等号,所以.…………………13分
7.(2016西城期末)已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与相交两点,(两点均不在坐标轴上),且使得直线,的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.(Ⅰ)解由题意,得,,………………2分又因为点在椭圆上,所以,………………3分解得,,,所以椭圆C的方程为.………………5分(Ⅱ)结论存在符合条件的圆,且此圆的方程为.………………6分证明如下假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为.当直线的斜率存在时,设的方程为.………………7分由方程组得,………………8分因为直线与椭圆有且仅有一个公共点,所以,即.………………9分由方程组得,………………10分则.设,,则,,………………11分设直线,的斜率分别为,,所以,………………12分将代入上式,得.要使得为定值,则,即,验证符合题意.所以当圆的方程为时,圆与的交点满足为定值.………………13分当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为,此时,圆与的交点也满足.综上,当圆的方程为时,圆与的交点满足斜率之积为定值.………………14分
8.(2016西城一模)已知椭圆的长轴长为,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率;(Ⅱ)设点,动点在轴上,动点在椭圆上,且在y轴的右侧,若,求四边形面积的最小值.(Ⅰ)解由题意,椭圆C,………………1分所以,,故,解得,所以椭圆的方程为.………………3分因为,所以离心率.………………5分(Ⅱ)解设线段的中点为,因为,所以,………………7分由题意,直线的斜率存在,设点,则点的坐标为,且直线的斜率,………………8分所以直线的斜率为,所以直线的方程为.………………10分令,得,则,由,得,化简,得.………………11分所以四边形的面积………………12分.当且仅当,即时等号成立.所以四边形面积的最小值为.………………14分
9.(2016西城二模)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线l与椭圆相交于两点,点B关于原点的对称点为D,若点D总在以线段为直径的圆内,求m的取值范围.(Ⅰ)解由题意,得………………2分又因为解得,,,………………4分所以椭圆C的方程为.………………5分(Ⅱ)解(方法一)当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为,此时E,F为椭圆的上下顶点,且,因为点总在以线段为直径的圆内,且,所以.故点B在椭圆内.………………6分当直线的斜率存在时,设的方程为.由方程组得,………………8分因为点B在椭圆内,所以直线与椭圆C有两个公共点,即.设,则,.………………9分设的中点,则,,所以.………………10分所以,.………………11分因为点D总在以线段EF为直径的圆内,所以对于恒成立.所以.化简,得,整理,得,………………13分而(当且仅当时等号成立).所以,由,得.综上,m的取值范围是.………………14分(方法二)……则,.…………………9分因为点D总在以线段EF为直径的圆内,所以.………………11分因为,,所以,整理,得.………………13分(以下与方法一相同,略)X012P
①②③④山上
5.
03.
83.
63.6山下
3.
64.
44.
43.
67.
27.
488.
28.
69.4p第一周第二周第三周第四周第五周型数量(台)111015型数量(台)101213型数量(台)15812甲6699乙7913151618123→0→↗↘-0+极小值00极大值极小值极大值极小值↘极小值↗极小值极大值极小值0↘↗0↘↗00↘↗0↘↗不存在0↘不存在↗极大↘0不存在↘极小↗不存在↘。