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专业好文档为您整理~~谢谢使用~更多精彩内容请关注本站专业好文档为您整理~~谢谢使用~更多精彩内容请关注本站毕业论文学生姓名学号学院数学科学学院专业数学与应用数学题目极限求法综述指导教师讲师/硕士2010年11月摘要极限一直是数学分析中的一个重点内容,而对数列极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法1利用两个准则求极限2:利用极限的四则运算性质求极限3:利用两个重要极限公式求极限4利用单侧极限求极限,5利用函数的连续性求极限6利用无穷小量的性质求极限7利用等价无穷小量代换求极限8利用导数的定义求极限9利用中值定理求极限10利用洛必达法则求极限11利用定积分求和式的极限12利用级数收敛的必要条件求极限13利用泰勒展开式求极限14利用换元法求极限关键词夹逼准则单调有界准则函数的连续性,无穷小量的性质洛必达法则微分中值定理定积分泰勒展开式.Abstract MathematicalanalysisofthelimithasbeenafocusofthecontentwhiletheseriestoLimitcanbedescribedasdiverseandconcludedbyinductionwesetouttherequirementsofsomecommonlyusedmethod.Thispapersummarizesthemathematicalanalysisoffourteenmethodsoflimit1:Limitofusingtwocriteria2:theuseofarithmeticnatureofthelimitsoftheLimit3:LimituseoftwoimportantlimitoftheFormula4:Usingasinglesideofthelimitoflimit5:Usingthecontinuityoffunctionsoflimit6:thenatureoftheuseoflimitinfinitesimals7:SubstitutionofequivalentlimitInfinitesimal8:UsingthedefinitionofderivativeoftheLimit9:Usingthevaluetheoremoflimit10:UsingtheLimitHospitalsRule11:theuseofthedefiniteintegralsummationtypelimit12:ConvergenceofthenecessaryconditionsusingtheLimit13:LimitofusingtheTaylorexpansion14:theuseofMethodsubstitutionlimit.朗读显示对应的拉丁字符的拼音 字典-查看字典详细内容http://www.google.cn/dictionarysource=translationhl=zh-CNq=极限一直是数学分析中的一个重点内容,而对数列极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法%201利用两个准则求极限%202:利用极限的四则运算性质求极限%203:利用两个重要极限公式求极限%204利用单侧极限求极限,5利用函数的连续性求极限%206利用无穷小量的性质求极限%207利用等价无穷小量代换求极限%208利用导数的定义求极限%209利用中值定理求极限%2010利用洛必达法则求极限%2011利用定积分求和式的极限12利用级数收敛的必要条件求极限%2013利用泰勒展开式求极限%2014利用换元法求极限langpair=zh|enKeywords SqueezeguidelinescriteriaforboundedmonotonefunctioncontinuitythenatureofinfinitesimalsHospitalsRuleMeanValueTheoremdefiniteintegraltheTaylorexpansion.目录
一、引言……………………………………………………………………
二、极限的求法………………………………………………………………
2.1利用两个准则求极限………………………………………………
2.2利用极限的四则运算性质求极限……………………………………
2.3利用导数的定义求极限………………………………………………
2.4利用两个重要极限公式求极限………………………………………
2.5利用级数收敛的必要条件求极限…………………………………
2.6利用单侧极限求极限………………………………………………
2.7利用函数的连续性求极限…………………………………………
2.8利用无穷小量的性质求极限………………………………………
2.9利用等价无穷小量代换求极限………………………………………
2.10利用中值定理求极限…………………………………………………
2.11洛必达法则求极限……………………………………………………
2.12利用定积分求和式的极限……………………………………………
2.13利用泰勒展开式求极限………………………………………………
2.14换元法求极限………………………………………………………结论………………………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………………………致谢…………………………………………………………………………………数学分析中极限的求法综述
一、引言极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态早在中国古代,极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载例如3世纪中国数学家刘徽的割圆术,就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率□的随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确提出但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑直到19世纪,由A.-L.柯西、K.T.W.外尔斯特拉斯等人的工作,才将其置于严密的理论基础之上,从而得到举世一致的公认数学分析中的基本概念来表述,都可以用极限来描述如函数y=fx在处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的极限是研究数学分析的基本公具极限是贯穿数学分析的一条主线学好极限是从以下两方面着手1是考察所给函数是否存在极限2若函数否存在极限,则考虑如何计算此极限本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述
二、极限的求法
2.1利用两个准则求极限 1函数极限的迫敛性(夹逼法则)若一正整数N当nN时,有且则有.利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和,使得例
[1]求的极限解因为单调递减,所以存在最大项和最小项则又因为
(2)单调有界准则单调有界数列必有极限,而且极限唯一利用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的存在,然后根据数列的通项递推公式求极限例
[1]证明下列数列的极限存在,并求极限证明从这个数列构造来看显然是单调增加的用归纳法可证又因为所以得.因为前面证明是单调增加的两端除以得因为则从而即是有界的根据定理有极限,而且极限唯一令则则.因为解方程得所以
2.2利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下若123若B≠0则
(4)(c为常数)上述性质对于总的说来,就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商通常在这一类型的题中,一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算首先对函数施行各种恒等变形例如分之,分母分解因式,约去趋于零但不等于零的因式;分之,分母有理化消除未定式;通分化简;化无穷多项的和(或积)为有限项例;求极限1234已知求解1===2===3====-14因为所以
2.3利用导数的定义求极限导数的定义函数fx在附近有定义,则如果存在,则此极限值就称函数fx在点的导数记为.即在这种方法的运用过程中首先要选好fx然后把所求极限表示成fx在定点的导数例求解取fx=.则====
2.4利用两个重要极限公式求极限两个极限公式但我们经常使用的是它们的变形在这一类型题中,一般也不能直接运用公式,需要恒等变形进行化简后才可以利用公式例求下列函数的极限
[4]12解1======12====
12.5利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级数收敛,则运用这个方法首先判定级数收敛,然后求出它的通项的极限例求解设则==01由比值判别法知收敛由必要条件知=
02.6利用单侧极限求极限形如1求含的函数x趋向无穷的极限,或求含的函数x趋于0的极限;2求含取整函数的函数极限;3分段函数在分段点处的极限;4含偶次方根的函数以及或的函数,趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在例求fx在x=0的左右极限解=1=
12.7利用函数的连续性求极限即这种方法适用于求复合函数的极限如果u=gx在点连续g=而y=fu在点连续,那么复合函数y=fgx在点连续即也就是说,极限号可以与符号f互换顺序例求解令y=lnuu=因为lnu在点处连续所以===
12.8利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量如果gx在某区间有界,那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界,和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题例求解因为所以=
02.9利用等价无穷小量代换求极限定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)定理3当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有~~~~~~说明当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如当时,~;~定理4如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=等价无穷小量当时,称yz是等价无穷小量记为yz在求极限过程中,往往可以把其中的无穷小量,或它的主要部分来代替但是,不是乘除的情况,不一定能这样做例求解===
82.10利用中值定理求极限1微分中值定理若函数fx满足在连续.在ab可导;则在ab内至少存在一点,使例
[2]求解====2积分中值定理设函数fx在闭区间上连续;gx在上不变号且可积,则在上至少有一点使得例求解==
2.11洛必达法则求极限定理若此定理是对型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则注运用洛必达法则求极限应注意以下几点
1、要注意条件,也就是说,在没有化为时不可求导
2、应用洛必达法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数
3、要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用洛必达法则,否则会引起错误
4、当不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法例
[1]1求2求解1由所以上述极限是待定型===12它为型由对数恒等式可得==
2.12利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数fx把所求极限的和式表示成fx在某区间上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限例求解由于=可取函数fx=区间为上述和式恰好是在上n等分的积分和所以===
2.13利用泰勒展开式求极限泰勒公式是本章的一大难点,大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件,清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式实际上,泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用,大家可以通过多做一些相应的练习题来体会泰勒展开式若fx在x=0点有直到n+1阶连续导数那么其中在0与1之间例解泰勒展开式于是-=所以==
2.14换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元的方法加以变形,使之简化易求例
[3]求解令则===1在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的所以求极限时,首先观察数列或函数的形式.选择适当方法,只有方法得当,才能准确、快速、灵活的求解极限结论本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法以上只是众多求解极限方法的一小部分,或许并不全面,大家如有兴趣可以继续探索新的求解方法因为数学知识博大精深,我们目前只接触到一点点而已,我们应不停的接受知识,虽然我们还处在那数学的基础层,但这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习参考文献
[1]陈传璋,金福临编,数学分析(上下册)第二版,高等教育出版社
[2]蔡子华主编,2005年数学复习大全(经济类),现代出版社
[3]冯丽珠,变形法求极限的变法技巧,武汉职业技术学院学报,2003年3月,35-36
[4]李小光,求极限的若干技巧,西安航空技术高等专科学校学报,2002年3月,20-21致谢这次毕业论文能够得以顺利完成,自始至终都是由丁老师全面、具体的指导之下进行的丁老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风,使我受益非浅,终生难忘丁老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作在此还要感谢帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励我要在这里对他们表示深深的谢意!感谢身边所有的朋友与同学,谢谢你们四年来的关照与宽容,与你们一起走过的缤纷时代,将会是我一生最珍贵的回忆 专业好文档为您整理~~谢谢使用~更多精彩内容请关注本站PAGE专业好文档为您整理~~谢谢使用~更多精彩内容请关注本站。