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文本内容:
第一章直角三角形的边角关系第1课时§
1.
1.1锐角三角函数教学目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程
1、理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明
1、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
1、能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算教学重点和难点重点理解正切函数的定义难点理解正切函数的定义教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形,无论是边,还是角,它都有其它三角形所没有的性质这一章,我们继续学习直角三角形的边角关系师生共同研究形成概念
1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里,为了达到美观等目的,往往都有部分设计成倾斜的这就涉及到倾斜角的问题用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的但在很多实现问题中,人们无法测得倾斜角,这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度,这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切1)(重点讲解)如果梯子的长度不变,那么墙高与地面的比值越大,则梯子越陡;2)如果墙的高度不变,那么底边与梯子的长度的比值越小,则梯子越陡;3)如果底边的长度相同,那么墙的高与梯子的高的比值越大,则梯子越陡;通过对以上问题的讨论,引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法,以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础
2、想一想(比值不变)☆想一想书本P2想一想通过对前面的问题的讨论,学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度当倾斜角确定时,其对边与邻边的比值随之确定这一比值只与倾斜角的大小有关,而与直角三角形的大小无关
3、正切函数
(1)明确各边的名称
(2)
(3)明确要求1)必须是直角三角形;2)是∠A的对边与∠A的邻边的比值☆巩固练习a、如图,在△ACB中,∠C=90°,1)tanA=;tanB=;2)若AC=4,BC=3,则tanA=;tanB=;3)若AC=8,AB=10,则tanA=;tanB=;b、如图,在△ACB中,tanA=(不是直角三角形)
(4)tanA的值越大,梯子越陡
4、讲解例题例1图中表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?分析通过计算正切值判断梯子的倾斜程度这是上述结论的直接应用例2如图,在△ACB中,∠C=90°,AC=6,,求BC、AB的长分析通过正切函数求直角三角形其它边的长随堂练习
5、书本P4随堂练习小结正切函数的定义作业书本P4习题
1.
11、
2、4第2课时§
1.
1.2锐角三角函数教学目标
1、经历探索直角三角形中边角关系的过程
1、理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明
1、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
1、能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算教学重点和难点重点理解正弦、余弦函数的定义难点理解正弦、余弦函数的定义教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课,我们研究了正切函数,这节课,我们继续研究其它的两个函数复习正切函数师生共同研究形成概念
6、引入书本P7顶
7、正弦、余弦函数,☆巩固练习c、如图,在△ACB中,∠C=90°,1)sinA=;cosA=;sinB=;cosB=;2)若AC=4,BC=3,则sinA=;cosA=;3)若AC=8,AB=10,则sinA=;cosB=;d、如图,在△ACB中,sinA=(不是直角三角形)
8、三角函数锐角∠A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数
9、梯子的倾斜程度sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越大,梯子越陡
10、讲解例题例3如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,,求BC的长分析本例是利用正弦的定义求对边的长例4如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,,求AB的长及sinB分析通过正切函数求直角三角形其它边的长随堂练习
11、书本P随堂练习小结正弦、余弦函数的定义作业书本P6习题
1、
2、
3、
4、5第3课时§
1.230°、45°、60°角的三角函数值教学目标
1、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义
1、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
1、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小教学重点和难点重点进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算难点记住30°、45°、60°角的三角函数值教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上两节课,我们研究了正切、正弦、余弦函数,这节课,我们继续研究特殊角的三角函数值师生共同研究形成概念
12、引入书本P8引入本节利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值,并利用这些值进行一些简单计算
13、30°、45°、60°角的三角函数值通过与学生一起推导,让学生真正理解特殊角的三角函数值度数sinαcosαtanα30°45°160°要求学生在理解的基础上记忆,切忌死记硬背
14、讲解例题例5计算
(1)sin30°+cos45°;
(2);
(3);
(4)分析本例是利用特殊角的三角函数值求解例6填空
(1)已知∠A是锐角,且cosA=,则∠A=°,sinA=;
(2)已知∠B是锐角,且2cosA=1,则∠B=°;
(3)已知∠A是锐角,且3tanA=0,则∠A=°;例7一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为
2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差分析本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用例8在Rt△ABC中,∠C=90°,,求,∠B、∠A分析本例先求出比值后,利用特殊角的三角函数值,再确定角的大小随堂练习
15、书本P9随堂练习小结要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值,切忌死记硬背作业书本P9习题
1.
31、
2、
3、
4、§
1.3三角函数的有关计算教学目标
1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程,进一步体会三角函数的意义.
2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学重点1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程,进一步体会三角函数的意义.2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.教学难点把实际问题转化为数学问题教学过程
一、导入新课生活中有许多问题要运用数学知识解决本节课我们共同探讨运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题—§
1.
3、三角函数的有关计算
二、讲授新课引入问题1会当凌绝顶,一览众山小,是每个登山者的心愿在很多旅游景点,为了方便游客,设立了登山缆车如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m,已知缆车行驶的路线与水平面的夹角那么缆车垂直上升的距离是多少分析在Rt△ABC中,∠α=30°,AB=200米,需求出BC.根据正弦的定义,sin30°=∴BC=ABsin30°=200×=100米.引入问题2当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β=45°,由此你能想到还能计算什么分析有如下几种解决方案方案一可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.方案二可以计算缆车从A点到D点,垂直上升的高度、水平移动的距离.
三、变式训练,熟练技能
1、一个人从山底爬到山顶,需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100m,求山高.sin40°≈
0.6428,结果精确到
0.01m解如图,根据题意,可知BC=300m,BA=100m,∠C=40°,∠ABF=30°.在Rt△CBD中,BD=BCsin40°≈300×
0.6428=
192.84m;在Rt△ABF中,AF=ABsin30°=100×=50m.所以山高AE=AF+BD=
192.8+50=
242.8m.
2、求图中避雷针的长度(参考数据tan56°≈
1.4826,tan50°≈
1.1918解如图,根据题意,可知AB=20m,∠CAB=50°,∠DAB=56°在Rt△DBA中,DB=ABtan56°≈20×
1.4826=
29.652m;在Rt△CBA中,CB=ABtan50°≈20×
1.1918=
23.836m.所以避雷针的长度DC=DB-CB=
29.652-
23.836≈
5.82m.
四、合作探究随着人民生活水平的提高,农用小轿车越来越多,为了交通安全,某市政府要修建10m高的天桥,为了方便行人推车过天桥,需在天桥两端修建40m长的斜道.如图所示这条斜道的倾斜角是多少?探究1在Rt△ABC中,BC=m,AC=m,sinA==.探究2已知sinA的值,如何求出∠A的大小?请阅读以下内容,学会用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.已知三角函数求角度,要用到sin、cos、tan键的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和2ndf键.探究3你能求出上图中∠A的大小吗?解sinA==.(化为小数),
三、巩固训练
1、如图,工件上有一V形槽,测得它的上口宽20mm,深
19.2mm,求V形角∠ACB的大小.结果精确到1°
2、如图,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下
6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧
9.8cm的B处进入身体,求射线的入射角度.
3、某段公路每前进1000米,路面就升高50米,求这段公路的坡角.
4、一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁
2.5m,求梯子与地面所成的锐角.
五、随堂练习P
141、
2、
3、
4、
六、作业p151至6题§
1.4解直角三角形
一、教学目标
1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系
2.通过综合运用勾股定理,掌握解直角三角形,逐步形成分析问题、解决问题的能力.3.渗透数形结合的数学思想,养成良好的学习习惯.
二、教学重点及难点教学重点掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形教学难点锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用
三、教学用具准备黑板、多媒体设备.
四、教学过程设计
一、创设情景 引入新课如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中倒下,树干断处离地面3米且树干与地面的夹角是30°大树在折断之前高多少米?由30°直角边等于斜边的一半就可得AB=6米分析树高是AB+AC=9米由勾股定理容易得出BC的长为3米当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单,也可以用锐角三角函数来解此题
二、知识回顾问题1.在一个三角形中共有几条边?几个内角(引出“元素”这个词语)2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?讨论复习师白Rt△ABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么?总结直角三角形的边、角关系(板书)PPT1两锐角互余∠A+∠B=90°;2三边满足勾股定理a2+b2=c2;3边与角关系
三、学习新课1、例题分析例题1 在Rt△ABC中,∠C=900,∠B=380,a=8,求这个直角三角形的其它边和角.分析如图,本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边,那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系,再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题,在本题中已知边是已知角的邻边,所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.(板书)解∵∠C=900∴∠A+∠B=900∴∠A=900-∠B=900-380=520∵cosB=∴c==∵tanB=∴b=atanB=8tan380≈
6.250另解∵cotB=∴b=注意:在解直角三角形的过程中常会遇到近似计算除特别说明外边长保留四个有效数字.2.学习概念定义在直角三角形中,由已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.3.例题分析例题2 在Rt△ABC中,∠C=900,c=
7.34,a=
5.28,解这个直角三角形.分析本题如图,已知直角三角形的一条直角边和斜边,当然首先用勾股定理求第三边,怎样求锐角问题,要记住解决问题最好用原始数据求解,避免用间接数据求出误差较大的结论.(板书)解∵∠C=900,∴a2+b2=c2∴b=∵sinA=∴∠A4600′∴∠B=900-∠A≈900-4600′=4400′.例题3(见教材p16)注意:在解直角三角形的过程中常会遇到近似计算除特别说明外边长保留四个有效数字角度精确到1′
4、学会归纳通过上述解题,思考对于一个直角三角形除直角外的五个元素中至少需要知道几个元素才能求出其他元素?想一想如果知道两个锐角,能够全部求出其他元素吗?如果只知道五个元素中的一个元素能够全部求出其他元素吗归纳结论在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.[说明]我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素至少有一个是边后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?激发了学生的学习热情.
5、请找出题中的错误,并改正已知:如图,在Rt△ABC中∠C=90°由下列条件解直角三角形:结果保留根号 §
1.5三角函数的应用教学目标
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.教学重点
1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图.教学用具小黑板三角板教学方法探索——发现法教学过程
一、问题引入海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗你是如何想的与同伴进行交流.
二、解决问题
1、如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高小明的身高忽略不计,结果精确到1m
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能,把倾角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面结果精确到
0.0lm【作业设计】
1.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定,CD与地面成40°夹角,且DB=5m,现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少2.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域包括边界均受到影响.1问B处是否会受到台风的影响请说明理由.2为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物供选用数据≈
1.4,≈
1.7【板书设计】三角函数的有关计算提出问题如何三角函数值,求相应的锐角.例触礁问题随堂练习讲解科学计算器的应用.例楼梯问题课堂小结课堂作业§
1.6测量物体的高度教学目标知识与技能目标能够设计方案、步骤,能够说明测量的理由,能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.过程与方法目标经历活动设计方案,自制仪器过程;通过综合运用直角三角形边角关系的知识,利用数形结合的思想解决实际问题,提高解决问题的能力情感与价值观要求通过积极参与数学活动过程,培养不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.教学重点、难点设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养教具准备自制测倾器或经纬仪、测角仪等、皮尺等测量工具.教学过程提出问题,引入新课现实生活中测量物体的高度,特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度,需要我们自己去测量,自己去制作仪器,获得数据,然后利用所学的数学知识解决问题.请同学们思考小明在测塔的高度时,用到了哪些仪器有何用途如何制作一个测角仪?它的工作原理是怎样的?活动一设计活动方案,自制仪器首先我们来自制一个测倾器或测角仪、经纬仪等.一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位,分组制作如图所示的测倾器.制作测角仪时应注意什么支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合,否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直,并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时,铅垂线始终垂直向下.一个组制作测角仪,小组内总结,讨论测角仪的使用步骤活动二测量倾斜角
(1).把测角仪的支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置.
(2).转动度盘,使度盘的直经对准较高目标M,记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M的仰角.问题
1、它的工作原理是怎样的?如图,要测点M的仰角,我们将支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置.我们转动度盘,使度盘的直径对准目标M,此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB=90°,而∠MCE+∠ECB=90°,即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角,根据同角的余角相等,得∠BCA=∠MCE.因此读出∠BCA的度数,也就读出了仰角∠MCE的度数.问题
2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢和测量仰角的步骤是一样的,只不过测量俯角时,转动度盘,使度盘的直径对准低处的目标,记下此时铅垂线所指的度数,同样根据“同角的余角相等”,铅垂线所指的度数就是低处的俯角.活动三测量底部可以到达的物体的高度.“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.要测旗杆MN的高度,可按下列步骤进行如下图
1.在测点A处安置测倾器即测角仪,测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l.
3.量出测倾器即测角仪的高度AC=a即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离.根据测量数据,就能求出物体MN的高度.在Rt△MEC中,∠MCE=α,AN=EC=l,所以tanα=,即ME=tana·EC=l·tanα.又因为NE=AC=a,所以MN=ME+EN=l·tanα+a.活动四测量底部不可以到达的物体的高度.所为“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.可按下面的步骤进行如图所示
1.在测点A处安置测角仪,测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE=α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪A、B与N都在同一条直线上,此时测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测角仪的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b根据测量的AB的长度,AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小,根据直角三角形的边角关系.即可求出MN的高度在Rt△MEC中,∠MCE=α,则tanα=,EC=;在Rt△MED中,∠MDE=β则tanβ=,ED=;根据CD=AB=b,且CD=EC-ED=b.所以-=bME=MN=+a即为所求物体MN的高度.今天,我们分组讨论并制作了测角仪,学会使用了测角仪,并研讨了测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我们这节课设计的方案测量它们的高度,相信同学们收获会更大.归纳提炼本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中,想办法.献计策,用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中.课后作业制作简单的测角仪活动与探究如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得从A、D、C三点可看到塔顶端H.可供使用的测员工具有皮尺,测倾器即测角仪.1请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下
①测量数据尽可能少;
②在所给图形上,画出你设计的测量的平面图,并将应测数据标记在图形上如果测A、D间距离,用m表示;如果测D、C间距离,用n表示;如果测角,用α、β、γ等表示.测倾器高度不计2根据你测量的数据,计算塔顶到地面的高度HG用字母表示I方案11如图a测四个数据AD=m.CD=n,∠HDM=α∠HAM=β2设HG=x,HM=x-n,在Rt△HDM中,tanαDM=在Rt△HAM中,tanαDM=∵AM-DM=AD,∴-=mx=+n.方案21如图b测三个数据CD=n,∠HDM=α,∠HCG=γ.2设HG=x,HM=x-n,在Rt△CHG中,tanγ=CG=在Rt△HDM中,tanαDM=∵CG=DM.∴=x=第二章二次函数
2.1二次函数所描述的关系教学目标
1.理解二次函数的概念;
2.能够表示简单变量之间的二次函数的关系知识回顾
1、正比例函数的表达式为一次函数反比例函数表达式为
2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子请问种多少棵树才能达到30000个的总产量?你能解决这个问题吗?(请列出方程,不用计算)新知探究3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式知识运用
4.做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的也就是说,利率是一个变量.在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y元的表达式不考虑利息税.Y=________________________________
5、总结归纳
(1)从以上两个例子中,你发现这函数关系式有什么共同特征?
(2)仿照以前所学知识,你能给它起个合适的名字吗?
(3)你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗?试试看【归纳总结】一般地,形如(其中均为常数≠0)的函数叫做你能举出类似的例子吗?巩固练习P30页随堂练习12布置作业习题
2.
12.2二次函数的图像与性质1
一、教学目标一知识与技能1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.猜想并能作出y=-x2的图象,能比较它与y=x2的图象的异同.二过程与方法1.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.2.由函数y=x2的图象及性质,对比地学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点,培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维.三情感与态度1.通过学生自己的探索活动,达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.2.在利用图象讨论二次函数的性质时,让学生尽可能多地合作交流,以便使学生能够从多个角度看问题,进而比较准确地理解二次函数的性质.教学重点作出函数y=±x2的图象,并根据图象认识和理解二次函数y=±x2的性质教学难点由y=x2的图象及性质对比地学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点
三、教学过程分析
1、情境引入寻找生活中的抛物线活动目的通过让学生寻找生活中的抛物线,让生活走进数学,让学生对抛物线有感性认识,以激发学生的求知欲,同时,让学生体会到数学来源于生活
2、温故知新复习1二次函数的概念,
(2)画函数的图象的主要步骤,
(3)根据函数y=x2列表
3、合作学习(探究二次函数y=±x2的图象和性质)活动内容
1.用描点法画二次函数y=x2的图象,并与同桌交流
2.观察图象,探索二次函数y=x2的性质,提出问题1你能描述图象的形状吗与同伴进行交流.2图象是轴对称图形吗?如果是它的对称轴是什么请你找出几对对称点并与同伴交流.3图象与x轴有交点吗?如果有交点坐标是什么4当x0时随着x的值增大y的值如何变化?当x0呢?5当x取什么值时y的值最小最小值是什么?你是如何知道的?
3.二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后作出它的图象
4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流
5.说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质?与同伴交流
4、练习与提高活动内容
1、已知函数是关于x的二次函数求
(1)满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
2、已知点A1,a在抛物线y=x2上
(1)求A的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由与同伴进行交流.活动目的
1.对本节知识进行巩固练习
2.将获得的新知识与旧知识相联系,共同纳入知识系统
3.培养学生整合知识的能力
6、课堂小结活动内容小结二次函数y=±x2的性质根据图形填表抛物线y=x2y=-x2顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值
6、布置作业P34习题
2.212题
2.2二次函数的图像与性质2
二、教学目标知识与技能
1.能作出二次函数和的图象,并能够比较它们与二次函数的图象的异同,理解与对二次函数图象的影响
2.能说出二次函数和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标过程与方法经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验情感态度与价值观体会二次函数是某些实际问题的数学模型,由有趣的实际问题,使学生能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲教学重点和图象的作法和性质教学难点能够比较、和的图象的异同,理解与对二次函数图象的影响
3、教学过程第一环节情境创设活动内容
1.二次函数y=x2与y=-x2的图象一样吗?它们有什么相同点?不同点?
2.二次函数是否只有y=x2与y=-x2这两种呢有没有其他形式的二次函数?第二环节做一做活动内容
1.在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象.1完成下表x…-3-2-101233…y=x2…9410149…y=2x2…188202818…2分别作出二次函数y=x2和y=2x2的图象.3二次函数y=2x2的图象是什么形状它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么第三环节议一议活动内容
1.在同一直角坐标系内作出函数y=2x2与y=2x2+1的图象,并比较它们的性质.
2.在同一直角坐标系内作出函数y=3x2与y=3x2-1的图象,并比较它们的性质.活动目的对二次函数性质的巩固与拓展,从图象直观理解函数之间(相同)的平移关系,培养学生的动态思维实际教学效果学生通过观察图象,发现两个图象是“全等的”,开口方向、对称轴都是一样的,只是顶点不一样,向上移动了1格有几个思维活跃的学生马上就开始探索移动的原因,发现y=2x2+1比y=2x2的y值多1,就向上移动了一格;这时,教师可以拓展一下如果减1呢,结果会怎样?减2呢?这样就把第二个问题也解决了在老师的引导下,学生可以总结出这样的发现y=ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c0时向上移动│c│个单位,当c0时,向下移动│c│个单位第四环节课堂小结活动内容师生互相交流总结
1.作二次函数图象的步骤列表、描点、连线
2.快速、准确的说出和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标
3.y=ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c0时向上移动│c│个单位,当c0时,向下移动│c│个单位活动目的帮助学生归纳二次函数的性质实际教学效果学生学习这节课是先动手,后操作,因此体会很深,对于作二次函数图象的步骤与归纳二次函数的性质,都得心应手第五环节布置作业
1.完成课本36页习题
2.
32.函数y=5x2的图象在对称轴哪侧y随着x的增大怎样变化
3.函数y=-5x2有最大值或最小值吗如果有,是最大值还是最小值这个值是多少有利于训练学生的归纳能力
2.2二次函数的图像与性质3
一、教学目标知识与技能1.能够作出y=ax-h2和y=ax-h2+k的图象,并能够理解它与y=ax2的图象的关系,理解ah和k对二次函数图像的影响2.能正确说出y=ax-h2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标过程与方法1.经历探索二次函数y=ax-h2+k的图象的作法和性质的过程情感态度与价值观1.在小组活动中体会合作与交流的重要性2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识教学难点理解y=ax-h2和y=ax-h2+k的图象与y=ax2的图象的关系,理解a、h和k对二次函数图像的影响教学重点y=ax-h2和y=ax-h2+k与y=ax2的图象的关系,y=ax-h2+k的图象性质
三、教学过程第一环节复习引入提出问题,让学生讨论交流二次函数y=3(x-1)2+2的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?第二环节合作探究1.做一做
(1)完成下表,并比较3x2与3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?x-3-2-1012343x23x-122在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3x-12的图象.3函数y=3x-12的图象与y=3x2的图象有什么关系它是轴对称图形吗它的对称轴和顶点坐标分别是什么4x取哪些值时函数y=3x-12的值随x值的增大而增大x取哪些值时函数y=3x-12的值随x的增大而减少?
(5)想一想在同一坐标系中作二次函数y=3x+12的图象会在什么位置2.议一议
(1)在上面的坐标系中作出二次函数y=3x+12的图象.它与二次函数y=3x2和y=3x-12的图象有什么关系?它是轴对称图形吗它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)x取哪些值时函数y=3x+12的值随x值的增大而增大x取哪些值时函数y=3x+12的值随x的增大而减少?
(3)猜一猜函数y=-3x-12y=-3x+12和y=-3x2的图象的位置和形状.
(4)请你总结二次函数y=ax-h2的图象和性质.总结二次函数y=ax-h2的性质1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值抛物线y=ax-h2a0y=ax-h2a<0顶点坐标(h,0)(h,0)对称轴直线x=h直线x=h位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧y随着x的增大而减小.最值当x=h时,最小值为0当x=h时,最大值为0开口大小|a|越大,开口越小3.想一想
(1)在同一坐标系中作出二次函数y=3x²y=3x-12和y=3x-12+2的图象.
(2)二次函数y=3x²y=3x-12和y=3x-12+2的图象有什么关系它们的开口方向对称轴和顶点坐标分别是什么作图看一看.二次函数y=ax-h²+k与y=ax²的关系一般地由y=ax²的图象便可得到二次函数y=ax-h²+k的图象:y=ax-h²+ka≠0的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左右平移|h|个单位当h0时向右平移;当h0时向左平移再沿对称轴整体上下平移|k|个单位当k0时向上平移;当k0时向下平移得到的.因此二次函数y=ax-h²+k的图象是一条抛物线它的开口方向、对称轴和顶点坐标与ahk的值有关.总结二次函数y=ax-h2+k的性质1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值抛物线y=ax-h2+ka0y=ax-h2+ka<0顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴直线x=h直线x=h位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧y随着x的增大而减小.最值当x=h时,最小值为k当x=h时,最大值为k第三环节练习提高
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.1二次函数y=3x+12的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系它是轴对称图形吗它的对称轴和顶点坐标分别是什么2二次函数y=-3x-22+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系
(3)对于二次函数y=3x+12当x取哪些值时y的值随x值的增大而增大当x取哪些值时y的值随x值的增大而减小二次函数y=3x+12+4呢第四环节课堂小结活动内容师生互相交流本节课的学习心得,感受及收获活动目的鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想(学生畅所欲言,教师给予鼓励)包括二次函数图象的制作,函数图象性质的总结归纳实际教学效果学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获第五环节布置作业P39习题
2.
42.2二次函数的图像与性质4教学目标
1、经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程
2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题教学重点和难点重点二次函数的图象的作法和性质难点理解二次函数的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课,我们把一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k对二次函数图象的影响但我科觉得,这样的恒等变形运算量较大,而且容易出错这节课,我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质师生共同研究形成概念复习旧知识越大,开口越小;越小,开口越大当时,抛物线的开口向上;当时,抛物线的开口向下;当时,抛物线与y轴的交点在原点的上方;当时,抛物线与y轴的交点在原点的下方开口方向对称轴顶点坐标向上直线(h,k)向下平移左加右减对称轴、顶点坐标前相反,后相同推导二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式对称轴直线顶点坐标(,)讲解例题书本P39分析这是二次函数的具体应用,让学生体会对称轴、顶点坐标的在实际问题中的意义随堂练习书本P41随堂练习小结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式作业书本P41习题
2.
52.3确定二次函数的表达式
一、教学目标知识与技能1.通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数,比较这三种方法表示二次函数的优缺点,从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础2.通过学生实际解题过程,达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数3.能够根据二次函数的不同表示方式,从不同的侧面对函数性质进行研究过程与方法1.能够分析和表示变量之间的二次函数关系,并解决用二次函数所表示的问题2.让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力情感态度与价值观在学习过程中体会学以致用,提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点三种方法表示二次函数的优缺点;为解决函数类实际问题打下坚实的基础教学难点三种方法表示二次函数的优缺点;为解决函数类实际问题打下坚实的基础
三、教学过程分析第一环节解决问题活动内容1.问题一已知矩形周长20cm并设它的一边长为xcm面积为ycm
2.y随x的而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式,表格和图象表示出来吗?2.当学生完成上述的三个任务之后,进一步帮助学生明晰以下问题
(1)在上述问题中自变量x的取值范围是什么?
(2)当x取何值时长方形的面积最大?它的最大面积是多少
(3)请你描述一下y随x的变化而变化的情况.3.问题二两个数相差2设其中较大的一个数为x那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
(1)你能分别用函数表达式表格和图象表示这种变化吗
(2)自变量x的取值范围是什么
(3)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么
(4)如何描述y随x的变化而变化的情况
(5)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的?第二环节课堂小结活动内容1.二次函数的三种表示方式各有什么特点它们之间有什么联系与同伴进行交流.表示优点缺点表达式变量间关系简捷明了便于分析计算.需要通过计算才能得到所需结果表格能直接得到某些具体的对应值不能反映函数整体的变化情况图象直观表示了变量间变化过程和变化趋势.函数值只能是近似值关系表达式是基础是重点表格是画图象的关键图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.2.对本节知识进行巩固,原则上由学生复述内容及要点第三环节布置作业
(1)P43习题
2.6第小组合作讨论更具实效性
2.4二次函数的应用1
一、教学目标一知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大小值.二过程与方法1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培养学生的分析判断能力.2.通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力.三情感态度与价值观1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.2.能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格.3.进一步体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心,具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题.
三、教学过程分析第一环节创设问题情境,引入新课上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题,知道了求最大利润就是求二次函数的最大值,实际上就是利用二次函数来解决实际问题.解决这类问题的关键是要审清题意,明确要解决的是什么,分析问题中各个量之间的关系,建立数学模型在此基础上,利用我们所学过的数学知识,逐步得到问题的解答过程.本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题.活动内容由四个实际问题构成1.问题一如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.1设长方形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?2设长方形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?下面请小组开始讨论并写出解题步骤.1∵BC∥AD,∴△EBC∽△EAF.∴.又AB=x,BE=40-x,∴.∴BC=40-x.∴AD=BC=40-x=30-x.2y=AB·AD=x30-x=-x2+30x=-x2-40x+400-400=-x2-40x+400+300=-x-202+300.当x=20时,y最大=300.即当x取20m时,y的值最大,最大值是300m2.2.问题二将问题一变式“设AD边的长为xm,则问题会怎样呢?”解∵DC∥AB,∴△FDC∽△FAE.∴.∵AD=x,FD=30-x.∴.∴DC=30-x.∴AB=DC=30-x.y=AB·AD=x·30-x=-x2+40x=-x2-30x+225-225=-x-152+300.当x=15时,y最大=300.即当AD的长为15m时,长方形的面积最大,最大面积是300m2.3.问题三对问题一再变式如图在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中点A和点D分别在两直角边上BC在斜边上.
1.设矩形的一边BC=xm那么AB边的长度如何表示?
2.设矩形的面积为ym2当x取何值时y的最大值是多少4.问题四某建筑物的窗户如下图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长图中所有黑线的长度和为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多结果精确到
0.01m?此时,窗户的面积是多少?分析x为半圆的半径,也是矩形的较长边,因此x与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,即2xy+x2最大,而由于4y+4x+3x+πx=7x+4y+πx=15,所以y=.面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-
3.5x2+
7.5x,这时已经转化为数学问题即二次函数了,只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可.解∵7x+4y+πx=15,∴y=.设窗户的面积是Sm2,则S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-
3.5x2+
7.5x=-
3.5x2-x=-
3.5x-2+.∴当x=≈
1.07时,S最大=≈
4.02.即当x≈
1.07m时,S最大≈
4.02m2,此时,窗户通过的光线最多.第二环节归纳升华解决此类问题的基本思路是1理解问题;2分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;3用数学的方式表示它们之间的关系;4做函数求解;5检验结果的合理性,拓展等.第三环节课堂练习,活动探究活动内容
1.用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场养鸡场一面用砖砌成另三面用竹篱笆围成并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门不用篱笆问养鸡场的边长为多少米时养鸡场占地面积最大最大面积是多少
2.正方形ABCD边长5cm等腰三角形PQRPQ=PR=5cmQR=8cm点B、C、Q、R在同一直线l上,当C、Q两点重合时,等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动,ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2,解答下列问题1当t=3s时,求S的值;2当t=3s时,求S的值;3当5s≤t≤8s时,求S与t的函数关系式,并求S的最大值第四环节课时小结本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题,增强了应用数学知识的意识,获得了利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值.第五环节课后作业习题2.
82.4二次函数的应用2
一、教学目标一知识与技能
1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大小值,发展解决问题的能力二过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力三情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值增进对数学的理解和学好数学的信心
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用教学重点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
三、教学过程第一环节复习回顾活动内容1.复习二次函数y=ax2+bx+c的相关性质顶点坐标、对称轴、最值等2.复习这节课所要用的其他相关知识利润=售价-进价,总利润=每件利润×销售额第二环节创设问题情境,引入新课活动内容(有关利润的问题)某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是
2.5元根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系在一段时间内,单价是
13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多设销售单价为xx≤
13.5元,那么1销售量可以表示为;2销售额可以表示为;3所获利润可以表示为;4当销售单价是元时,可以获得最大利润,最大利润是.这是一个有实际意义的问题,要想解决它,就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系,并把这些关系用数学的语言表示出来设销售单价为x元,则与原先的单价相比,降低了
13.5-x元,而每降低1元,可多售出200件,降低了
13.5-x元,则可多售出
20013.5-x件,因此共售出500+
20013.5-x件,若所获利润用y元表示,则y=x-
2.5[500+
20013.5-x]经过分析之后,上面的4个问题就可以解决了1销售量可以表示为500+
20013.5-x=3200—200x2销售额可以表示为x3200-200x=3200x-200x23所获利润可以表示为3200x-200x2-
2.53200-200x=-200x2+3700x-80004设总利润为y元,则y=-200x2+3700x-8000=-200x-.∵-200<0∴抛物线有最高点,函数有最大值当x==
9.25元时,y最大==
9112.5元.即当销售单价是9.25元时,可以获得最大利润,最大利润是9112.5元.第三环节巩固练习活动内容解决本章伊始,提出的“橙子树问题”(
1.验证猜测;
2.进一步分析)1.本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题,我们得到了表示增种橙子树的数量x棵与橙子总产量y个的函数关系是二次函数表达式y=600-5x100+x=-5x2+100x+60000当时曾经利用列表的方法得到一个猜测,现在可以验证当初的猜测是否正确?你是怎么做的?与同伴进行交流实际教学效果大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题y=-5x2+100x+60000=-5x2-20x+100-100+60000=-5x-102+60500当x=10时,y最大=605002.议一议(要求学生画出二次函数的图象,并根据图象回答问题)1利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系2增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?第四环节实践应用活动内容某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件如何提高售价才能在半个月内获得最大利润?解设销售单价为;元,销售利润为y元,则y=x-20[400-20x-30]=-20x2+1400x-20000=-20x-352+4500所以当x=35元,即销售单价提高5元时,可在半月内获得最大利润4500元.第五环节课堂小结本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受了数学的应用价值学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大小值,提高解决问题的能力第六环节课后作业习题2.
92.5二次函数与一元二次方程1
二、教学目标知识与技能1.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根;过程与方法1.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标情感态度与价值观1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系;2.通过探索二次函数与一元二次方程的关系,使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性教学重点理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根教学难点理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标
三、教学过程分析第一环节课前热身、耐心填一填活动内容
1.y=ax2+bx+cabc是常数,a≠0,y叫做x的__________它的图象是一条抛物线它的对称轴是直线x=_____顶点坐标是(,)
2.二次函数的解析式中的一般式是:y=ax2+bx+ca≠0顶点式y=ax-h2+k交点式y=ax-x1x-x
23.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是_______开口方向是______顶点坐标是___________.
4.抛物线y=2x-2x-3与x轴的交点为_______________与y轴的交点为___________.
5.已知抛物线与轴交于A-10和10,并经过点M01则此抛物线的解析式为_______________第二环节用心想一想,马到功成活动内容1.我们已经知道竖直上抛物体的高度hm与运动时间ts的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示其中h0m是抛出时的高度v0m/s是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起小球的高度hm与运动时间ts的关系如图所示那么1图象上每个点的横、纵坐标含义是什么?2h和t的关系式是什么?
(3)小球经过多少秒后落地你有几种求解方法与同伴进行交流.2.分别求出二次函数y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标并快速作出草图.思路点拨:与x轴交点就是求当y=0时这个方程的解然后写成点的坐标.
(1)观察下列二次函数y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2的图象,每个图象与x轴有几个交点?2一元二次方程x2+2x=0x2-2x+1=0有几个根验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗3说说二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系3.归纳整理:a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、有两个交点
2、有一个交点
3、没有交点.b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.c.完成下列表格,观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0第三环节教材题变形,拓展延伸活动内容【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式h=-
4.9t2+
19.6t来表示.其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)当t=1时,足球的高度是多少?
(2)t为何值时,h最大?
(3)经过多长时间球落地?
(4)方程-
4.9t2+
19.6t=0的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗
(5)方程
14.7=-
4.9t2+
19.6t的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗解
(1)t=1时,h=
14.72∵h=-
4.9t-22+
19.6∴当t=2时,h最大
(3)对于h=-4.9t2+19.6t球落地表示h=0即-4.9t2+19.6t=0,解得t1=0(舍去),t2=4.即足球被踢出后经过4s后球落地.4方法一解方程0=-
4.9t2+
19.6t得t=0t=4根t=0,t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻方法二直接观察抛物线与直线x轴的交点(0,0),(4,0)即可图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点5方法一解方程
14.7=-
4.9t2+
19.6t得t=1t=3方法二图象法,过点(0,
14.7)作一条与y轴垂直的直线,找到它与抛物线的交点,再分别过交点作x轴的垂线,找出两个垂足的横坐标即可表明球被踢出1秒和3秒时,离地面的高度都是
14.7秒第四环节开拓创新,试一试活动内容在本节一开始的小球上抛问题中何时小球离地面的高度是60cm你是如何知道的第五环节放开手脚,做一做活动内容例:已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为什么错解由△=(-7)2-4×k×(-7)=49+28k>0,得k>-.正确解法此函数为二次函数,∴k≠0,又与x轴有交点,∴△=(-7)2-4×k×(-7)=49+28k≥0,得k≥-,故k≥-且k≠0点拨
①因为是二次函数,因而k≠0;
②有两个交点,但未点明为两个不同点,所以应为△≥0.第六环节布置作业p42习题
2.
102.5二次函数与一元二次方程2
一、教学目标知识与技能1.巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根;2.巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标.过程与方法1.经历一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程;2.经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程情感态度与价值观1.通过对一元二次方程根的近似值探索过程,进一步体会二次函数与方程之间的联系.
三、教学过程第一环节课前热身、耐心填一填活动内容
1.抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点纵坐标是3,求这条抛物线的表达式___________________.2.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限.
3.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=-x2+10x.
(1)经过_____时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是_____?
(2)经过_____秒,炮弹落在地上爆炸?
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标.第二环节用心想一想,马到功成活动内容你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?分析解答1用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象2观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标;由图象可知图象与x轴有两个交点其横坐标一个在-5与-4之间另一个在2与3之间分别约为-
4.3和
2.
3.3确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-
4.3x2≈
2.3第三环节教材题变形,拓展延伸活动内容利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.分析解答1用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象2作直线y=3;3观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标;由图象可知它们有两个交点其横坐标一个在-5与-4之间另一个在2与3之间分别约为-
4.7和
2.
7.4确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-
4.7x2≈
2.7附创新解法21原方程可变形为x2+2x-13=0;2用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象3观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标;由图象可知它们有两个交点其横坐标一个在-5与-4之间另一个在2与3之间分别约为-
4.7和
2.74确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-
4.7,x2≈
2.7第四环节大胆尝试、练一练活动内容利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根分析解答1用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象;2观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标;由图象可知图象与x轴有两个交点其横坐标一个在-1与0之间另一个在2与3之间分别约为-
0.2和
2.23确定方程x2+4x+1=0的解;由此可知方程x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-
0.2x2≈
2.2第六环节归纳小节、说一说学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,他们普遍认同了函数问题研究时,应该用数形结合思想从两方面来考虑问题,说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成但他们也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便,有时从“形”的一面研究问题会更简洁些
4、布置作业P57页习题
2.11第二章二次函数回顾与思考
(一)
一、教学目标知识与技能1.能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系,发展有条理地进行思考和语言表达的能力,并能根据具体问题,选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系;2.会作二次函数的图象,并能根据图象对二次函数的性质进行分析,并逐步积累研究一般函数性质的经验;3.能根据二次函数的表达式,确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标过程与方法使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系;
二、教学过程分析第一环节知识要点和重要方法的回顾、总结教学内容知识要点的回顾、总结提出下列问题
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”用语言或图来进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题与同伴交流.
3.小结一下作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质如何确定它的开口方向对称轴和顶点坐标请用具体例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式表格和图象刻画变量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.重要方法的回顾、总结提出下列问题通过二次函数的学习,你应该学什么?你学会了什么?
1.理解二次函数的概念;
2.会用描点法画出二次函数的图象;
3.会用配方法和公式确定抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;
4.会用待定系数法求二次函数的解析式;
5.能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用第二环节复习二次函数的图象和性质教学内容1.二次函数的图象和性质要点
(一)形如a≠0的二次函数
(二)形如a≠0的二次函数
(三)形如a≠0的二次函数四形如a≠0的二次函数五二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象和性质2.二次函数的图象和性质练习
(1)抛物线y=x2的开口向对称轴是顶点坐标是图象过第象限;(2已知y=-nx2n>0则图象(填“可能”或“不可能”)过点A(-2,3)
(3)抛物线y=x2+3的开口向对称轴是顶点坐标是是由抛物线y=x2向平移个单位得到的;
(4)已知(如图)抛物线y=ax2+k的图象,则a0,k0;若图象过A0-2和B20,则a=k=;函数关系式是y=
(5)抛物线y=2x-0.52+1的开口向对称轴顶点坐标是
(6)若抛物线y=ax+m2+n开口向下,顶点在第四象限,则a0m0n0第三环节二次函数关系式的三种表示方式教学内容二次函数关系式的三种表示方式一般式、顶点式、两根式
1.若无论x取何实数,二次函数y=ax2+bx+c的值总为负,那么a、c应满足的条件是()A.a0且b2-4ac≥0B.a0且b2-4ac0C.a0且b2-4ac0D.a0且b2-4ac≤
02.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,请根据图象判断下列各式的符号a0b0c0∆0a-b+c0a+b+c
03.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是()
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a0b0c0请画一个能反映这样特征的二次函数草图.第四环节练习与提高教学内容练习与提高
1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)求a、b、c
2.若a+b+c=0a0把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是-20求原抛物线的解析式.
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点,与y轴负半轴交于点C若OA=4,OB=1,∠ACB=90°,求抛物线解析式第3题图第4题图
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图
1、当x为何值时,y随x的增大而增大;
2、当x为何值时,y
03、求它的解析式和顶点坐标;第五环节课堂小结请学生总结回顾第六环节布置作业课本复习题1-5
三、教学反思1.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过知识要点和重要方法的回顾、总结,梳理所学知识和方法,使其系统化通过练习,巩固所学知识,提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力在解决问题的过程中为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度2.注意改进的方面应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问教师应对讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使合作学习更具实效性第二章二次函数回顾与思考
(二)
一、教学目标1.能利用二次函数解决实际问题,如最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等会通过建立坐标系来解决实际问题2.理解一元二次方程与二次函数的关系,并能利用二次函数的图象,求一元二次方程的近似解
二、教学过程第一环节最大值问题教学内容通过
1、最大利润问题;
2、最大高度问题;
3、最大面积问题,说明如何利用二次函数知识解决实际问题
(一)最大利润问题例1某旅行社组团去外地旅游30人起组团每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠即旅行团每增加一人每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下当旅行团的人数是多少时旅行社可以获得最大营业额?自我检测某商场销售某种品牌的纯牛奶已知进价为每箱40元生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售平均每天可售出90箱价格每降低1元平均每天多销售3箱;价格每升高1元平均每天少销售3箱.1写出售价x元/箱与每天所得利润w元之间的函数关系式;2每箱定价多少元时才能使平均每天的利润最大最大利润是多少
(二)最大高度问题例2竖直向上发射物体的hm满足关系式y=-5t2+v0t,其中ts是物体运动的时间v0m/s是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉,喷水的最大高度要求达到15m那么喷水的速度应该达到多少?结果精确到
0.01m/s.
(三)最大面积问题例3如图假设篱笆虚线部分的长度是15m如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大例
4.小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门(木质)花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?第二环节需建立坐标系问题教学内容通过建立坐标系来解决实际问题一位运动员在距篮下4m处起跳投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是
2.5m时,球达到最大高度
3.5m已知篮筐中心到地面的距离
3.05m问球出手时离地面多高时才能中?一座抛物线型拱桥如图所示桥下水面宽度是4m拱高是2m.当水面下降1m后水面的宽度是多少结果精确到
0.1m.第三环节二次函数与一元二次方程教学内容理解二次函数与一元二次方程之间的联系与区别二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点有一个交点没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数,何时为一元二次方程它们的关系如何例一个足球从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式来表示其中t(s)足球被踢出后经过的时间,图象如图所示
(1)当t=1和t=2时,足球的高度分别是多少?
(2)方程的根的实际意义是什么?你能在图象上表示出来吗?
(3)方程的根的实际意义是什么?你能在图象上表示出来吗?第四环节课堂小结
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性拓展等.第五环节布置作业课本复习题
三、教学反思1.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过小组讨论方式,使学生能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流,并在交流的过程中对自己的观点进行有条理地论述为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度2.注意改进的方面在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性第三章圆
3.1圆
一、教学目标知识与技能1.圆的相关概念;2.点与圆的位置关系.过程与方法1.经历形成圆的概念的过程,经历探索点和圆位置关系的过程2.理解圆的概念,理解点和圆的位置关系,并能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的现念情感态度与价值观1.让学生在经历圆的概念的形成过程中,通过探索与交流,进一步发展学生探索交流的能力和数学表达能力2.在学习中体会圆的实际应用,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,初步培养学生的定义理论,为依据分析问题、解决问题的良好习惯
二、教学过程分析第一环节情境引入(实际生活原感受,概括定义)录用一幅大会的开幕词,展示几种车子的图形,留心观察,车轮的形状,以及一幅游戏的画面,这几幅图从不同的角度去选用,从离自己较远的方面到涉及到自己有关的方面,逐渐引入第二环节探讨研究通过学生的动手实践,向圆形靶飞镖,直至出现有点出现在圆周上,圆内、圆外为止,然后通过选用有代表性的五个点A、B、C、D、E,来研究点和圆的位置关系第三环节练习理解
1、体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m圆,你能帮他想想办法吗?
2、小明和小华正在练习投铅球,小明投了
5.2m,小华投了
6.7m,他们投的球分别落在下图中哪个区域内?
3、如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊(羊只能在草地上活动),请画出羊的活动区域
4、已知如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,它的四个顶点A、B、C、D是否在以点0为圆心的一个圆上,为什么?
5、如图,已知△ABC中,BD,CE是高,求证A、B、C、D、E在同一个圆上
6、设AB=3cm,作图说明满足下列要求的图形
(1)到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形
(2)到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形第四环节链接生活
1、举出成圆形的一些物体的实例,并研讨人们为什么将它们制作成圆形
2、下图是一张靶纸,靶纸上的
1、2…10表示击中该靶区的环数,靶中每个圆环的宽度相等,正中小圆的半径与各圆环的宽度相等,已知小明射击了一次,且已肯定中靶,求小明此次击中10环的概率
3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东300方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超四级,则称为受台受影响
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由;
(2)若会受台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?第五环节课堂小结师生互相交流总结点和圆的三种位置关系;怎样判断其位置关系,日常生活中利用圆的例子,与圆有关计算、证明的题目等活动目的鼓励学生结合本课的学习,谈自己的收获与感性(学生畅所欲言,教师给予鼓励),包括日常生活中利用圆的例子,点和圆的位置关系,如何判断,怎样利用圆的知识计算、证明实际教学效果学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获通过飞镖很容易理解点和圆的位置关系,观察或量度可判定其关系;同学们互相讲解,加深了印象,也使大家学到了许多日常的知识第六环节布置作业P68页习题
3.1
三、教学反思对于较为显浅的问题学生往往反应较快,容易接受,但要运用合情的推理和初步演泽推理时,学生通常没有了激情,甚至没有信心和勇气因此教师及时适当的启发、引导、鼓励、明确证明的意义和证明的过程要步步有据,帮助学生,树立克服困难的信心和毅力
3.2圆的对称性学习目标利用旋转的方法得到圆的旋转不变性,由圆的旋转不变性,我探究圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理学习重点圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理及应用学习难点圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理的证明学习过程课前热身请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆请回答(投影)它们能重合吗?如果能重合,请将它们的圆心固定在一起然后将其中一个圆旋转任意一个角度,这时两个圆还重合吗自主学习
1、圆的旋转不变性归纳圆具有旋转不变性即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的圆重合因此圆是中心对称圆形,对称中心为圆心圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.
2、做一做按下面的步骤做一做
(1)、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片,在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′然后将两圆的圆心固定在一起
(2)、将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合你能从中发现哪些等量关系说一说你的理由.
3、定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等
4、想一想
(1)、在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗你是怎么想的?
(2)、在同圆或等到圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等吗?它们所对的弧相等吗?你是怎么想的?
5、推理格式1∵⊙O和⊙O′是等圆且∠AOB=∠A′O′B′∴AB=A′B′,AB=A′B′.
(2)∵⊙O和⊙O′是等圆且AB=A′B′∴AB=A′B′,∠AOB=∠A′O′B′.
(3)∵⊙O和⊙O′是等圆且AB=A′B′∴AB=A′B′,∠AOB=∠A′O′B′.
6、归纳定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
7、例题P71课堂小结利用旋转的方法得到圆的旋转不变性,由圆的旋转不变性,我探究圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理反馈检测P72随堂练习布置作业p72习题
3.
23.3垂径定理
一、教学目标知识与技能1.理解圆的轴对称性及其相关性质;2.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.过程与方法1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法情感态度与价值观1.培养学生独立探索,相互合作交流的精神2.通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神教学重点利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.教学难点和圆有关的相关概念的辨析理解
三、教学过程分析第一环节课前准备复习圆的对称性有关概念第二环节创设问题情境,引入新课教师提出问题轴对称图形的定义是什么?我们是用什么方法研究了轴对称图形?学生回忆并回答第三环节讲授新课
(1)想一想圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?你是用什么方法解决上述问题的?
(2)认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念
(3)探索垂径定理做一做1.在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折使圆的两半部分重合.2.得到一条折痕CD.3.在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中,点M是两条折痕的交点,即垂足.4.将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如右图问题
(1)观察右图,它是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由总结得出垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
(4)讲解例题及完成随堂练习[例1]如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧即图中CD,点O是CD的圆心,其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.练习完成课本P76随堂练习1
(5)探索垂径定理逆定理并完成随堂练习想一想如下图示,AB是⊙O的弦不是直径,作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.同学们利用圆纸片动手做一做,然后回答
(1)上图是轴对称图形吗如果是,其对称轴是什么
(2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由总结得出垂径定理逆定理平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧练习完成课本P76随堂练习2第四环节课堂小结师生互相交流总结
1.本节课我们探索了圆的轴对称性;
2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理;
3.垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题第五环节课后作业课本P76习题
3.3
四、教学反思本教学设计在实试过程中,时间会较为紧迫,因此,相应的练习安排得较少,这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练,同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法,并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理3.4圆周角和圆心角的关系
(一)
一、教学目标知识与技能1.了解圆周角的概念2.理解圆周角定理的证明过程与方法1.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想2.体会分类、归纳等数学思想方法情感态度与价值观通过观察、猜想、验证推理,培养学生探索问题的能力和方法教学重点圆周角概念及圆周角定理教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性
二、教学过程分析第一环节创设问题情境,引入新课通过一个问题情境,引入课题情境在射门游戏中,球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关如图,当他站在B,D,E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的?为什么呢?你能观察到这三个角有什么共同特征吗第二环节新知学习
(一)圆周角的定义的学习为解决这个问题我们先来研究一种角观察图中的∠ABC,顶点在什么位置?角的两边有什么特点?可以发现,它的顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点像这样的角,叫做圆周角请同学们考虑两个问题
(1)顶点在圆上的角是圆周角吗?
(2)角的两边都和圆相交的角是圆周角吗?判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角?并说明理由通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征圆周角有两个特征
①角的顶点在圆上;两边在圆内的部分是圆的两条弦
(二)圆周角定理的学习我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系请同学们在圆上确定一条劣弧,画出它所对的圆心角与圆周角归纳同学们的意见我们得到以下几种情况引导学生通过小组交流讨论的方式,分别考虑这三种情况下,∠ABC和∠AOC之间的大小关系.由此得到一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半第三环节练习P80页随堂练习第四环节课堂小结到目前为止我们学习到和圆有关的角有几个它们各有什么特点相互之间有什么关系第五环节布置作业P80页习题
3.4
三、教学反思把射门游戏问题抽象为数学问题,研究圆周角和圆心角的关系,研究圆周角和圆心角的关系,应该说,学生解决这一问题是有一定难度的,尽管如此,教学时仍应给学生留有时间和空间,让他们进行思考让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程,多种角度直观体验数学模型,而这也正符合本章学习的主要目标3.4圆周角和圆心角的关系
(二)
一、教学目标知识与技能1.掌握圆周角定理几个推论的内容2.会熟练运用推论解决问题过程与方法1.培养学生观察、分析及理解问题的能力2.在学生自主探索推论的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确的学习方式情感态度与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力教学重点圆周角定理的几个推论的应用教学难点理解几个推论的“题设”和“结论”
三、教学过程分析第一环节复习引入新课
(一)复习1.如图,∠BOC是角,∠BAC是角若∠BOC=80°,∠BAC=第1题图第2题图2.如图,点A,B,C都在⊙O上,若∠ABO=65°,则∠BCA=()A.25°B.
32.5°C.30°D.45°
(二)引入新课观察图
①,∠ABC,∠ADC和∠AEC各是什么角?它们有什么共同的特征?它们的大小有什么关系?为什么?解决上一课时中遗留的问题如图,当他站在B,D,E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的?为什么呢?因为这三个角都对着AC弧,所以它们相等第二环节新知学习议一议1.通过对上面问题的讨论,引导学生总结在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等提问如果把上面的同弧改成等弧,结论成立吗?进一步得到在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等问题若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,结论成立吗?请同学们互相议一议2.观察图
②,BC是⊙O的直径,它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角?你是如何判断的?观察图
③,圆周角∠BAC=90°,弦BC经过圆心吗?为什么?由以上我们可得到直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径第三环节练习P83第四环节课时小结1.要理解好圆周角定理的推论2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法3.要多观察图形,善于识别圆周角与圆心角,构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系,而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系,因此,圆中的角(圆周角和圆心角)、弦、弧等的相等关系可以互相转化但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁如由弦相等只能得弧或圆心角相等,不能直接得圆周角等第五环节布置作业课本第83页习题
3.5
三、教学反思本节充分利用现实生活和数学中的素材,使学生探索与圆有关的概念和性质,尽可能地设计具有挑战性的情境,激发学生求知、探索的欲望在得出本节结论的过程中,鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法如度量与证明、分类与转化,以及类比等本节容量较大,教学时要控制好时间3.5确定圆的条件
一、教学目标知识与技能1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法;2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念过程与方法1.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力2.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略情感态度与价值观形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神教学重点确定圆的条件教学难点确定圆的条件
二、教学过程分析第一环节课前准备布置学生在课前复习,回答如下的问题
(1)经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗?若能,可以画出几条直线?
(2)通过以上问题的回答,你有什么体会?
(3)已知线段AB,求作线段AB的中垂线?第二环节情景引入学生小组讨论如下问题某地区一空地上新建了三个居住小区A、B、C现要规划一间学校,使学校到三个小区的距离相等,你如何选取这所学校的地点?第三环节实践探究,解决问题参照教材提供的三个问题
①、作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆?为什么有这样多个圆?
②、作圆,使它经过已知点A、B,你是如何做的?依据是什么?你能作出几个这样的圆?其圆心分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?
③、作圆,使它经过不在同一直线的已知点A、B、C,你是如何做到的你能作出几个这样的圆?为什么?
④、你现在能解决课前的问题了吗?动手做一做?第四环节练习提高活动内容
(1)完成课本随堂练习;
(2)判断题
①经过三点一定可以作圆()
②任意一个三角形有且只有一个外接圆()
③三角形的外心是三角形三边中线的交点()
④三角形外心到三角形三个顶点的距离相等()3如图是一块残缺的圆形木盖,现要重新制作一块与原来一样大小的圆形木盖,你是如何制作的?第五环节课堂小结活动内容
1、学生小组交流本节课学习的体会及要掌握的知识和方法;
2、个人仍存在的问题;
3、师生共同完成如下的问题
(1)确定圆的条件——
(2)锐角三角形在三角形的内部直角三角形外心的位置在斜边上钝角三角形在三角形的外部而三角形的外心具有的特征是到三个顶点的距离相等,因它是三边中垂线的交点第六环节布置作业
1、教材P87习题
3.
62、预习下节课内容,搜集现实生活中的直线和圆的位置关系的现象
三、教学反思
(1)学生的探究活动时间要得到保证,让学生真正成为学习的主人,教师只是组织者、引导者,不要用教师的讲来代替学生的做
(2)教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极,教师要及时给予指导和引导,焕起他们学习的积极性
(3)线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻,今后在进行“线段中垂线”的教学时仍要加以改进
3.6直线和圆的位置关系
(一)
一、教学目标知识与技能1.理解理解直线与圆有三种位置关系,并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它2.直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切,并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它过程与方法1.培养学生类比、归纳、观察及想象的能力以及使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩正唯物主义观点2.渗透从特殊到一般、数学转化的思想及运动的观点情感态度与价值观创设问题的情景,让学生主动地发展教学重点理解直线与圆的三种位置关系的定义,并能准确的判定教学难点
(1)理解“切线”定义中的“唯一”;
(2)灵活准确应用相关性质解决问题
二、教学过程第一环节创设情境引入课题活动内容1.观察三幅太阳升起的照片地平线与太阳的位置关系是怎样的这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种2.观察三幅太阳落山的照片地平线与太阳的位置关系是怎样的这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种3.作一个圆把直尺边缘看成一条直线.固定圆平移直尺
(1)直线和圆有哪几种位置关系
(2)直线和圆有惟一公共点即直线和圆相切时这条直线叫做圆的切线这个惟一的公共点叫做切点.(以下是不同小组的学生的总结)发言1太在地平线下,刚好在地平线上,离开地平线三种关系发言2我们如果把地平线看作是一条直线,把太阳看作是一个圆,那么就有三种情况,即直线穿过圆,直线贴着圆,直线离开圆发言3我们可以把直线穿过圆称为相交,直线离开圆称为相离,而直线贴着圆我暂时还不能命名发言4我们认为上面关系要在一个平面内综合上述几个同学的想法,我们可以这样命名在同一平面内,直线与圆的位置有三种情况,相交、相切、相离第二环节直线与圆的位置关系量化揭密1.如图圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗2.你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?第三环节探索切线的性质活动内容1.下面的三个图形是轴对称图形吗如果是你能画出它们的对称轴吗你能由此悟出点什么?2.如图直线CD与⊙O相切于点A直径AB与直线CD有怎样的位置关系说说你的理由.实际教学效果学生可以利用对称性、反证法等不同的方法解决这个问题第四环节例题讲解活动内容例1已知Rt△ABC的斜边AB=8cm直角边AC=4cm.1以点C为圆心作圆当半径为多长时AB与⊙C相切2以点C为圆心分别以2cm4cm为半径作两个圆这两个圆与AB分别有怎样的位置关系例2直线BC与半径为r的⊙O相交且点O到直线BC的距离为5求r的取值范围例3一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少第五环节练习活动内容1.已知:如图P是⊙O外一点PAPB都是⊙O的切线AB是切点.请你观察猜想PAPB有怎样的关系并证明你的结论.2.由1所得的结论及证明过程你还能发现那些新的结论如果有仍请你予以证明.第六环节布置作业课本P91:习题
3.7
三、教学反思教师的行为直接影响着学生的学习方式,要让学生真正成为学习的主人,积极参与课堂学习活动,因此在教学中让学生想象、观察、动手实践、发现内在的联系并利用类比归纳的方法,探索规律,指导学生合作、研究并尝试用学到的知识解决实际问题
3.6直线和圆的位置关系
(二)
一、教学目标知识与技能
(1)能判定一条直线是否为圆的切线.
(2)会过圆上一点画圆的切线.
(3)会作三角形的内切圆.过程与方法
(1)通过判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.
(2)会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.情感态度与价值观
(1)经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
(2)经历探究圆与直线的位置关系的过程,掌握图形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题.教学重点探索圆的切线的判定方法,并能运用.作三角形内切圆的方法.教学难点探索圆的切线的判定方法.
二、教学过程第一环节引入新课上节课我们学习了直线和圆的位置关系,圆的切线的性质,懂得了直线和圆有三种位置关系相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系,可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断,还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径.由上可知,判断直线和圆相切的方法有两种,是否仅此两种呢本节课我们就继续探索切线的判定条件.第二环节新课讲解1.探索切线的判定条件如下图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A旋转时,1随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化直线l与⊙O的位置关系如何变化2当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r此时,直线l与⊙O有怎样的位置关系为什么在教学中,教师可以引导学生,画一个圆并画出直径AB,拿直尺当直线,让直尺绕着点A移动.观察∠α发生变化时,点O到l的距离d如何变化,然后互相交流意见.以下是实际教学中,学生得到的结论生1如上图,直线l1与AB的夹角为α点O到l的距离为d1,d1r,这时直线l1与⊙O的位置关系是相交;当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时,∠α由锐角变为直角,点O到l的距离为d,d=r,这时直线l与⊙O的位置关系是相切当把直线l再继续旋转到l2位置时,∠α由直角变为钝角,点O到l的距离为d2,d2r,这时直线l与⊙O的位置关系是相离.生2当∠α=90°时,点O到l的距离d等于半径.此时,直线l与⊙O的位置关系是相切,因为从上一节课可知,当圆心O到直线l的距离d=r时,直线与⊙O相切.生3这就得出了判定圆的切线的又一种方法经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.2.做一做已知⊙O上有一点A,过A作出⊙O的切线.分析根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知经过直径的一端,并且垂直于直径的直线是圆的切线,而现在已知圆心O和圆上一点A,那么过A点的直径就可以作出来,再作直径的垂线即可.如右图.1连接OA.2过点A作OA的垂线l,l即为所求的切线.3.如何作三角形的内切圆.如下图,从一块三角形材料中,能否剪下一个圆使其与各边都相切.分析假设符号条件的圆已作出,则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.解1作∠B、∠C的平分线BE和CF,交点为I如右上图.2过I作ID⊥BC,垂足为D.3以I为圆心,以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆.∵I在∠B的角平分线BE上,∴ID=IM,又∵I在∠C的平分线CF上.∵ID=IN,∵ID=IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的,所以I到△ABC三边的距离相等因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个,因为三角形三个内角的平分线交于一点,这点为圆心,这点到三角形三边的距离相等,这个距离为半径,圆心和半径都确定的圆只有一个.并且只能作出一个,这个圆叫做三角形的内切圆inscribedcircleoftriangle,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心incenter.4.(补充)例题讲解如下图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证AT是⊙O的切线.分析AT经过直径的一端,因此只要证AT垂直于AB即可,而由已知条件可知AT=AB,所以∠ABT=∠ATB,又由∠ABT=45°,所以∠ATB=45°.由三角形内角和可证∠TAB=90°,即AT⊥AB.证明∵AB=AT,∠ABT=45°.∴∠ATB=∠ABT=45°.∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°.∴AT⊥AB,即AT是⊙O的切线.第三环节课堂练习随堂练习1.以边长为345的三角形的三个顶点为圆心分别作圆与对边相切则这三个圆的半径分别是多少2.分别作出锐角三角形直角三角形钝角三角形的内切圆并说明与它们内心的位置情况第四环节课时小结本节课学习了以下内容1.探索切线的判定条件.2.会经过圆上一点作圆的切线.3.会作三角形的内切圆.4.了解三角形的内切圆,三角形的内心概念.第五环节课后作业必做P93习题
3.812题选做已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证DC是⊙O的切线.
三、教学反思课堂教学问题的设计,是教师传授知识与了解学生掌握知识程度的重要途径,是能否调动学生学习兴趣的重要手段,本节课我觉得自己所设计的问题在把握在新旧知识的衔接点上,在围绕教学内容的重难点上,从学生学习效果上看,似乎并不是那么完满
3.7切线长定理教学目标
1、了解切线长的概念.
2、理解切线长定理,熟练掌握它的应用.
3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切线长的概念和切线长定理,最后应用它们解决一些实际问题.重难点、关键
1、重点切线长定理及其运用.
2、难点与关键切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.教学过程
一、复习引入
1、回顾切线的判定方法及切线的性质定理?
2、问题
1、经过⊙O上一个已知点A,作已知圆的切线怎样作?能作几条?
3、问题
2、经过圆外一点P,如何准确地作已知⊙O的切线?
二、探索新知从上面的复习,我们可以知道,过⊙O上任一点A都可以作一条切线,并且只有一条那么经过圆外一点P,如何准确地作已知⊙O的切线?(学生讨论,教师点拔)连结OP,以OP为直径作⊙′交⊙O于A、B两点,作射线PA、PB,则PA、PB为⊙O的切线,切点为A、B,为什么?(学生回答)
1、我们把PA或PB的长,即经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
2、切线与切线长的区别
3、从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号语言PA、PB切⊙O于点A、B,则PA=PB,OP平分APB下面,请学生给予逻辑证明.如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线.求证PA=PB,∠OPA=∠OPB.证明∵PA、PB是⊙O的两条切线.∴OA⊥AP,OB⊥BP又OA=OB,OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB,∠OPA=∠OPB思考我们知道切线的性质有哪些?学生回答,教师总结小结切线常用的6条性质
1、切线和圆只有一个公共点;
2、切线和圆心的距离等于圆的半径;
3、切线垂直于过切点的半径;
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点;
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心
6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角探究PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C
(1)写出图中所有的垂直关系
(2)写出图中与∠OAC、∠PAC相等的角
(3)写出图中所有的全等三角形
(4)写出图中所有的等腰三角形
(5)写出与∠AOB互补的角
(6)写出与弧AD、AE相等的弧
(5)若PA=
4、PD=2,求半径OA归纳在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形
(1)分别连结圆心和切点
(2)连结两切点
(3)连结圆心和圆外一点
三、当堂反馈P95随堂练习
四、归纳小结(学生归纳,老师点评)本节课应掌握1.圆的切线长概念;2.切线长定理;3.三角形的内切圆及内心的概念.切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据必须掌握并能灵活应用
五、布置作业P96习题
3.
93.8圆内接正多边形学习目标
1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念
2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法,能熟练地进行有关正三角形,正方形,正六边形的计算1学习过程
1、复习回顾正n边形的有关计算公式每个内角=,每个外角=
2、预习、交流并展示阅读课本97页到98页,回答下列问题
3、都在同一个圆上的正多边形叫做,这个圆叫做该正多边形的如上图,五边形ABCDE是☉O的,☉O是五边形ABCDE的圆,叫做正五边形ABCDE的中心,是正五边形ABCDE的半径,是正五边形ABCDE的中心角,中心角是度,OM⊥BC,垂足为M,是正五边形ABCDE的边心距
(3)利用尺规作一个已知圆的内接正多边形以圆内接正六边形为例由于正六边形的中心角为,因此它的边长和外接圆的半径R,所以在半径为R的圆上,依次截取等于R的弦,就可以六等分圆,进而作出圆内接正多边形作法如下
(1)☉O的任意一条直径AD,如图
(1)
(2)分别以A、D为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于B、F和C,E则A,B,C,D,E,F是☉O的六等分点
(3)顺次连接ABBCCDDEEFFA,便得到正六边形ABCDEF,如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求正六边形的中心角、边长和边心距当堂训练
1、正六边形的边心距为2,则该正六边形的边长是
2、中心角为30度的圆内接正n边形的n为
4、求半径为6cm的圆内接正三角形的边长和边心距
5、如图,把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE,求这个正六边形的面积
6、如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点F在劣弧AB上,求∠CFD的大小布置作业P99习题
3.
103.9弧长及扇形的面积
一、教学目标知识与技能1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程;2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式,并运用公式解决问题过程与方法1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;2.了解弧长和扇形面积公式后,能运用公式解决问题,训练学生的数学运用能力情感态度与价值观1.经历探索弧长和扇形面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性2.通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力
3.进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型建立数学模型的能力综合运用所学知识的分析问题和解决问题的能力.教学重点经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程;了解弧长和扇形面积计算公式;教学难点会运用公式解决问题
二、教学过程分析第一环节创设情境,引入新课生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形,小里已经学过了有关圆的周长和面积公式,弧是圆周的一部分,扇形是圆的一部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?让我们来探索吧第二环节新课讲授
(一)复习圆的周长与面积公式我们上体育课掷铅球练习时要在指定的圆圈内进行这个圆的直径是
2.135m这个圆的周长与面积是多少?
(二)复习圆心角的概念
(三)想一想如图某传送带的一个转动轮的半径为10cm.1转动轮转一周传送带上的物品A被传送多少厘米2转动轮转1o传送带上的物品A被传送多少厘米3转动轮转no传送带上的物品A被传送多少厘米
(四)议一议
(1)已知⊙O的半径为R,1o的圆心角所对的弧长是多少?
(2)no的圆心角所对的弧长是多少?根据上面的计算,你能想到解决的方法了吗?请大家互相交流总结出计算弧长的公式若⊙O的半径为R,no的圆心角所对的弧长l是
(五)开心练一练
(1)1o的弧长是半径为10厘米的圆中,60o的圆心角所对的弧长是
(2)如图,同心圆中,大圆半径OA、OB交小圆与C、D,且OC∶OA=1∶2,则弧CD与弧AB长度之比为()(A)1∶1(B)1∶2(C)2∶1(D)1∶4
(六)例题讲解例
1.制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料试计算如图所示的管道的展直长度,即弧AB的长度(精确到
0.1mm)例2在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上栓着一条长3m的绳子,绳子的一端栓着一只狗
(1)这只狗的最大活动区域有多大?
(2)若这只狗只能绕柱子转过no的角,那么它的最大活动区域有多大?这个活动区域是一个什么图形呢解
(1)如图
①,这只狗的最大活动区域是圆的面积,即9π;
(2)如图
②,这只狗的活动区域是扇形,扇形是圆的一部分,360o的圆心角对应的圆面积是πR2,1o的圆心角对应圆面积的,即,no的圆心角对应圆面积为
(七)总结扇形面积公式(若⊙O的半径为R,圆的面积是πR2)1o圆心角所对的扇形的面积是,no圆心角所对的扇形的面积是
(八)弧长公式与扇形的面积公式之间的联系弧长和扇形的面积都和圆心角n,半径R有关系,因此l和s之间也有一定的关系,你能猜出来吗?请大家互相交流扇形所对的弧长,扇形的面积是
(九)扇形的面积是应用例:已知扇形AOB的半径为12cm∠AOB=120o求AB的长结果精确到
0.1cm和扇形AOB的面积结果精确到
0.1cm2第三环节练习
(一)开心做一做
1.一个扇形的圆心角为90o,半径为2,则弧长=,扇形面积=.
2.一个扇形的弧长为20πcm,面积是240πc㎡,则该扇形的圆心角为.
3.已知扇形的圆心角为120o,半径为6,则扇形的弧长是()A.3πB.4πC.5πD.6π
(二)随堂练习P102第四环节课时小结1.知识点弧长、扇形面积的计算公式2.能力弧长、扇形面积的计算公式的记忆法,及它们之间的关系,并能已知一方求另一方第五环节课后作业1.习题
3.102.活动与探究如图,在半径为1的圆中,有一弦长AB=的扇形,求此扇形的周长及面积
四、教学反思在分组探索的时候,时间把握不够好,教师忽略了学生存在着个别差异,各组学生的已有学习经验和能力是不同的,这时教师应综合各组解决问题的程度,适时进行调控,然后在反馈环节中让学生进行交流也能达到预期的效果100mACD6m30mF┌BoyxAMABCDPQRy=x-2x+2y=x-2x+1y=x+2x-11-1ABxyOCADBC0DABCE12345678910BCAD110220BAOC
①ABCO
②BACO
③ABCOABCOBAECDOABCO图
②BCAO图
③不在同一直线上的三点圆心、半径●O●O●O●O●O●OCDB●OA●O●O●OACB┐ABP●O
3、ODCBAAB110oR=40mmnonO图
②OABC。