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高中数学基础知识整理篇
一、集合与简易逻辑
一、理解集合中的有关概念1集合中元素的特征确定性,互异性,无序性2集合的性质
①任何一个集合是它本身的子集,记为
②空集是任何集合的子集,记为
③空集是任何非空集合的真子集;3集合的表示法列举法,描述法,韦恩图.说说下列集合的区别,4空集是指不含任何元素的集合,和的区别;0与三者间的关系;注意条件为在讨论的时候不要遗忘了的情况;如如果求a的取值.
二、集合间的关系及其运算1符号“”是表示元素与集合之间关系的,如立体几何中的体现点与直线(面)的关系符号“”或“”或“”等是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系.2交、并、补的运算性质对于任意集合A、B,则…(见课本)切记,“交的补等于补的并,即”“并的补等于补的交,即”3集合中元素的个数的计算
①含有n个元素的集合的子集有个.
②含有n个元素的集合的真子集有个.
③含有n个元素的集合的非空真子集有个.
④.4韦思图的运用
三、逻辑联接词与真值表1.逻辑联接词或、且、非(命题的否定)2.真值表pqpqpqpq真真真真真真真假假真假真假真假假真真假假假假假假“p或q”命题的真假判断一真为真;“p且q”命题的真假判断一假为假.p真假假真命题“”与命题p的真假间的关系若p是真命题,则必是假命题;若p是假命题,则必是真命题;
四、四个命题与充要条件1.四个命题及其关系1写原命题的逆命题、否命题和逆否命题时,首先要分清条件p(题设)和结论q;其次要正确写出非p和非q;再次,有时命题带有大前提,在写逆命题、否命题和逆否命题时,大前提不能变化;2注意否命题与命题的否定的区别,不能将两者混淆;“p或q”命题的否定且;“p且q”命题的否定或3互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性2.充要条件1定义命题若p,则q.若,但qp;则p是q的充分非必要条件;若pq,但;则p是q的必要非充分条件;若,且;则p是q的充要条件;若pq,且qp;则p是q的既非充分又非必要条件.在判断p是q的什么条件时,由定义,一般要考察命题(充分性)和命题(必要性)的正确性,后者是前者的逆命题;而判断一个命题的正确与否,可以用其等价命题(逆否命题)来解决,尤其命题是否定性的结论时,即原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的真值.2证明充要条件时,首先要弄清楚充分性和必要性是指什么命题成立,再分别去证明,从而下结论,这样证起来层次分明,条理清楚.3判断充要条件的常用方法定义法、逆否法、集合法
五、反证法1.步骤
①假设结论反面成立;
②从这个假设出发,推理论证,得出矛盾(与定理、定义等矛盾、与假设矛盾、推出自相矛盾);
③由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确2.当证明“若p,则q”感到困难时,改证它的等价命题“若则”成立3.适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时原词语=是都是至多有一个至多有n个至少有一个任意的…都是否定词语≠≤≥不是不都是至少有两个至少有n+1个一个也没有存在一个…非
二、函数
一、函数的定义及其表示
1、函数的定义、映射的概念;
2、函数的三要素定义域、值域、对应法则;
3、函数的表示方法解析法、列表法、图象法、分段函数等
二、函数的性质1.定义域(自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域、复合函数的定义域等);2.值域(求值域的方法配方法、分拆法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等);定义域和值域只能用集合或区间表示3.奇偶性(在整个定义域内考虑)1定义2判断方法
①定义法一一步骤求出定义域并判断定义域是否关于原点对称;求,比较与或与的关系;
②图象法3常用的结论
①已知若非零函数的奇偶性相同,则在公共定义域内为偶函数;若非零函数的奇偶性相反,则在公共定义域内为奇函数;
②若是奇函数;且定义域,则4.单调性(在定义域的某一个子集内考虑)1定义2证明函数单调性的方法
①定义法步骤设且;作差(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号
②(多项式函数)用导数证明若在某个区间A内有导数,则在A内为增函数;在A内为增函数.3求单调区间的方法a.定义法;b.导数法;c.图象法;d.复合函数在公共定义域上的单调性若f与g的单调性相同,则为增函数;若f与g的单调性相反,则为减函数简称“同增异减”注意先求定义域,单调区间是定义域的子集.4一些有用的结论
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③一个重要的函数;函数在或上单调递增;在或上是单调递减.对勾函数或NIKE函数5.函数的周期性1定义若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立,则叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期.
三、函数的图象1.基本函数的图象(要求掌握并能熟练应用)1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数、7函数等2.图象的变换1平移变换
①函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的;函数的图象是把函数的图象沿x轴向右平移a个单位得到的;
②函数的图象是把函数的图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数的图象是把函数的图象沿y轴向下平移a个单位得到的;2对称变换
①函数与函数的图象关于直线对称;函数与函数的图象关于直线对称;函数与函数的图象关于坐标原点对称;
②如果函数对于一切都有那么的图象关于直线对称;
③函数与函数的图象关于直线对称;
④⑤同底数的指数函数与对数函数互为反函数,他们的图像关于直线对称;
⑥熟悉分式函数的图象例定义域值域与是函数的两条渐近线3伸缩变换(主要在三角函数的图象变换中)
四、函数、方程与不等式1.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”,你是否注意到必须当时,“方程有解”不能转化为.若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系(见课本)3.利用二次函数的图象和性质,讨论一元二次方程实根的分布注意
①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件
②注意端点,验证端点4.掌握二次函数在闭区间上最值问题的求法处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;5.函数的零点与方程的根.1函数零点的概念;对于函数把使成立的实数x叫做函数的零点.2函数零点的意义函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与x轴交点的横坐标.即方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.3函数零点的求法求函数的零点
①(代数法)求方程的实数根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.6.用二分法求方程的近似解1对于在区间上连续不断,且满足的函数通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2用二分法求函数的零点近似值的步骤如下1)确定区间验证给定精度.2)求区间的中点.3)计算
①若则就是函数的零点;
②若则令(此时零点)
③若则令(此时零点)4)判断是否达到精度即若则得到零点零点值a(或b);否则重复步骤2~4.
五、指数函数与对数函数
(一)基本初等函数1.指数式与对数式2.对数的三个性质;;对数运算、、、换底公式推论(以上)3.指数与指数幂的运算1正数的分数指数幂的意义规定2有理指数幂的运算性质
①②③3结论当n是奇数时,当n是偶数时,4.指数函数与对数函数1定义和关系2特征图象与性质归纳(列表)指数函数对数函数特征图象定义域值域单调性减函数增函数减函数增函数定点函数值分布时,时,时,时,时,时,时,时,3有用的结论
①函数与且图象关于直线对称;函数与且图象关于y轴对称;函数与图象关于x轴对称.
②记住两个指数(对数)函数的图象如何区别?(研究底的大小与函数的关系)
(二)幂函数(要求会画图像)幂函数性质归纳.1所有的幂函数在都有定义,并且图象都过点2时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数,特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;3时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
三、导数1.导数的定义设是函数定义域上的一点,如果自变量x在处有增量则函数值y也引起相应的增量比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或即2.导数的几何、物理意义1函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点处的切线的斜率是切线方程为2表示瞬时速度,表示加速度.3.求导数的四则运算法则(c为常数)4.几种常见函数的导数(8个公式)为常数、、、、、、5.复合函数的导数6.导数的应用1)函数单调性1函数单调性的判定方法设函数在某个区间内可导,如果则为增函数;如果则为减函数.2单调区间的求解过程已知
①分析的定义域;
②求导数
③解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.(或用列表法,见课本)2)求极大、极小值已知
①分析的定义域
②求导数
③求解方程(设有根)
④列表判断个区间内导数的符号,判断是否为极值,如果是,是极大还是极小值注意不能得到当时,函数有极值;但是,当时,函数有极值3)求函数在某闭区间上的最大、最小值
①②③同上;
④比较最大的为最小的为.注意极值最值;最值问题一般仅在闭区间上研究(实际应用题除外,即应用题中有开区间问题).7.导数的综合应用1刻画函数(比初等方法精确细微);2与几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);3三次函数或其它初等函数的问题属于较难问题,初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便;4导数与解析几何或函数图象的综合问题是一种重要题型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意.
四、数列
一、数列的定义和基本问题1.通项公式(用函数的观念理解和研究数列,特别注意其定义域的特殊性);2.前n项和3.通项公式与前n项和的关系(是数列的基本问题也是考试的热点);
二、等差数列1.定义是等差数列2.通项公式推广3.前n项和公式4.重要性质举例
①a与b的等差中项
②若则;特别地若则
③奇数项成等差数列,公差为;偶数项成等差数列,公差为
④在等差数列中i.若项数为则ii.若项数为,则
⑤设则有
⑥等差数列的任意连续m项的和构成的数列……仍为等差数列
⑦用一次函数理解等差数列的通项公式;用二次函数理解等差数列的前n项和公式.
⑧在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解当时,有最大值;当时,有最小值.i.当时,满足的项数m使得取最大值.ii.当时,满足的项数m使得取最小值.
三、等比数列1.定义成等比数列;2.通项公式推广3.前n项和;(注意对公比的讨论)4.重要性质举例
①a与b的等比中项(a,b同号);
②若则,特别地若则
③设,则有
④等比数列的任意连续m项的和构成的数列……仍为等比数列.
⑤在等比数列中i.若项数为则,ii.若数为,则
⑥用指数函数理解等比数列(当时)的通项公式.
四、等差数列与等比数列的关系举例1.成等差数列成等比数列;2.成等比数列成等差数列.
五、数列求和方法1.等差数列与等比数列求和(公式法)2.几种特殊的求和方法1裂项相消法如2错位相减法其中是等差数列,是等比数列记则…3通项分解法4倒序相加法.
六、等比数列的前n项和公式的常见应用题1生产中有增长率的总产量问题,例如,第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数列,公比为其中第n年产量为且过n年后总产量为2银行部门中按复利计算问题,例如一年中每月初到银行存a元,利息为r,每月利息按复利计算,则每月的a元过n个月后便成为元,因此,第二年年初可取款;3分期付款应用题a为分期付款方式中贷款为a元;m为m个月将款全部付清;r为年利率,
五、平面向量
一、向量的基本概念1.向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量(平行向量)、相等向量、直线的方向向量.2.关于单位向量.3.关于直线的方向向量.
二、向量的线性运算
(一)加法与减法运算1.代数运算12若,则3设,则,2.几何表示平行四边形法则、三角形法则以向量、为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量且有3.运算律向量加法有如下规律(交换律);(结合律);,,,等等
(二)实数与向量的积1.实数与向量的积是一个向量.2.1当时,与的方向相同;当时,与的方向相反;当时,2若则
三、两个向量共线的充要条件1向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数使得.2若,则3设则三点共线4向量不共线,则三点共线的充要条件是
四、平面向量基本定理1.若是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数使得指出1我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;2基底不惟一,关键是不共线;3由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解;4基底给定时,分解形式惟一.是被唯一确定的数量2.有用的结论若是同一平面内的两个不共线向量,若一对实数使得,则
五、向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量与作则叫做向量与的夹角(两个向量必须有相同的起点)2.两个向量的数量积已知两个非零向量与它们的夹角为则其中称为向量在方向上的投影.3.向量的数量积的性质若1(为单位向量)2(为非零向量)3(向量长度的计算公式)4(可用于判定角是锐角还是钝角)(向量夹角的计算公式)4.向量的数量积的运算律,,
六、三角形重心坐标公式的顶点重心坐标注意在中,若O为重心,则这是充要条件.
七、平行四边形对角线定理对角线的平方和等于四边的平方和.
八、主要思想与方法本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
六、三角函数
一、三角函数的基本概念1.终边相同的角的表示方法(终边在x轴上;终边在y轴上;终边在直线上;终边在第一象限等),理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算.2.角的概念推广后,注意“0°到90°的角”、“第一象限角”、“锐角”和“小于90°的角”这四个概念的区别.3.两个实用公式弧长公式扇形面积公式4.任意角的三角函数的定义(掌握坐标定义法、三角函数线)三角函数坐标定义以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点点P到原点的距离记为r,则5.特殊角的三角函数值001010001不存在0不存在6.三角函数符号规律记忆口诀一全正,二正弦,三是切,四余弦;7.同角三角函数的关系中平方关系是,倒数关系是商数关系是8.诱导公式可用十个字概括为奇变偶不变,符号看象限如9.利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式,诱导公式可以解决证明、化简、求值问题,而求值有“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”三类10.有用的结论1半角所在的象限2和的符号规律
二、两角和与差的三角函数1.和(差)角公式2.二倍角公式3.半角公式是,4.升幂公式是,5.降幂公式是,6.辅助角公式由a,b具体的值确定;7.有用的结论若则8.应用两角和与差的三角函数公式应注意1当中有一个角为的整数倍时,利用诱导公式较为简便.2善于利用角的变形,角的变换主要有已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如等.常值变换主要指“1”的变换等.3倍角公式的变形——降幂公式应用十分广泛.10.有用的解题思路1“变角找思路,范围保运算”;2“降幂——辅助角公式——正弦型函数”;3巧用与的关系;4巧用三角函数线——数形结合.11.三角求值问题的解题思路1三种基本变换角度变换、名称变换、运算结构的变换2给值求角问题的基本思路
①先求出该角的一个三角函数值;
②再根据角的范围与函数值定角,要注意角的范围对三角函数值的影响.12.注意活用数学思想方法方程思想、数形结合,整体思想、向量方法
三、三角函数的图象与性质1.列表综合三个三角函数的图象与性质定义域RR值域R周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性上为增函数;上为减函数上为增函数上为减函数上为增函数注意与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增)2.函数(其中)的最大值是最小值是周期是频率是相位是初相是,其图象的对称轴是直线凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心.注意1最值的情况;2了解周期函数和最小正周期的意义,会求的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况;3会从图象归纳对称轴和对称中心;的对称轴是对称中心是的对称轴是对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.4写单调区间注意3.了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式.1“五点法”作图的列表方式(看课本例题);2求解析式时相位的确定方法.4.正弦型函数的图象变换一般地,函数的图象(其中)的图象,可看作由下面的方法得到
①把正弦曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度;
②再把所得各点横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变);
③再把所得各点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的A倍(横坐标不变).即先作相位变换,再作周期变换,再作振幅变换.若先作周期变换,再作相位变换,则切记
四、解三角形1.几个重要结论1正弦定理(为三角形ABC的外接圆直径)或写成,在应用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角,求解三角形”时应注意解的个数.2余弦定理余弦定理或写成3三角形ABC面积公式三角形的面积公式(其中h是a边上的高)等等4三角学中的射影定理在中,2.由易推出
①②3.三角形ABC中,4.锐角中,附三角形的几个“心”;重心三角形三条中线交点.外心三角形三边垂直平分线相交于一点.内心三角形三内角的平分线相交于一点.垂心三角形三边上的高相交于一点.
七、不等式
一、不等式的基本性质与定理1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系,,2.不等式的性质1或(对称性)2或(传递性)3推论1(移项法则);推论2(同向不等式相加)4推论1推论256(倒数法则)3.常用的基本不等式和重要的不等式1当且仅当取“=”2则(当且仅当时取“=”)3则(当且仅当时取“=”)注——算术平均数,——几何平均数.算术平均几何平均(为正数)(时取等)4(当且仅当时取“=”)5平方平均算术平均几何平均调和平均(a、b为正数)(当时取等)(调和平均作为参考)6(当且仅当时取“=”)(柯西不等式作为参考)
4、最值定理设由得1若积为定值,则当且仅当时,有最小值2若和为定值,则当且仅当时,有最大值即积定和最小,和定积最大.注运用最值定理求最值的三要素一正二定三相等.5.含绝对值的不等式性质(注意等号成立的情况)
二、不等式的证明方法1.比较法作差比较作差比较的步骤1作差对要比较大小的两个数(或式)作差.2变形对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和.3判断差的符号结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小,有时也可考虑作商比较2.综合法由因导果.3.分析法执果索因.基本步骤要证……只需证……,只需证…….(书写要规范)4.反证法正难则反.5.放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有1添加或舍去一些项,如2将分子或分母放大(或缩小)3利用基本不等式,如,4利用常用结论
①,
②,(程度大)
③(程度小)6.换元法换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元,如已知可设已知可设已知可设7.构造法通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式等等;
三、解不等式1.一元一次不等式1,
2.2.一元二次不等式1步骤一看开口方向(a的符号),二看判别式的符号,三看方程的根写解集.2重要结论解集为R(即对恒成立),则(注若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证)3.绝对值不等式1零点分段讨论2转化法或3数形结合4.高次不等式——根轴法(穿针引线法)5.分式不等式的解法通解变形为整式不等式12346.解含有参数的不等式解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论,如果遇到下述情况则一般需要讨论
①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数,要分讨论.
四、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.求解线性规划问题的步骤是1根据实际问题的约束条件列出不等式;2作出可行域,写出目标函数;3确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.
八、立体几何
一、平面的基本性质
(一)掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题.
(二)能够用斜二测法作图,掌握三视图.1.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形.他具体包括1正视图物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度;2侧视图物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度;3俯视图物体上下方向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度;三视图画法规则高平齐主视图与左视图的高要保持平齐长对正主视图与俯视图的长应对正宽相等俯视图与左视图的宽度应相等2.空间几何体的直观图1斜二测画法
①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的建立直角坐标系;
②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的使(或),它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y轴,且长度变为原来的一半;
④擦去辅助线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线).2平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点
二、空间的直线与平面1.异面直线1异面直线所成的角的范围.2求异面直线所成的角——平移中位线平移法、几何体补形平移法、向量法.2.直线与平面1直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据直线与平面平行判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行,线面平行”)直线和平面平行性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行,线线平行”)2直线与平面垂直的证明方法有哪些?直线与平面垂直的判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面(“线线垂直,线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.推论如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.3三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系(尤其是异面垂直)与空间图形的度量如证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线.3.平面与平面1掌握平面与平面平行的证明方法和性质.两个平面平行判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(“线面平行,面面平行”)推论垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行.两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.(“面面平行,线线平行”)2掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理尤其是性质定理已知两平面垂直,一般是依据性质定理,可以证明线面垂直两个平面垂直判定一两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直.两个平面垂直判定二如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直,面面垂直”)两个平面垂直性质定理如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.3两平面间的距离问题→点到面的距离问题.
三、简单几何体1.棱柱1
①直棱柱侧面积(C为底面周长,h是高)
②斜棱柱侧面积(是斜棱柱直截面周长,l是斜棱柱的侧棱长).2{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.{直四棱柱}∩{平行六面体}={直平行六面体}.3棱柱的性质
①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.4平行六面体定理一平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分.定理二长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.2.棱锥棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这样的面围成的几何体.[注]
①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以1
①正棱锥定义底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.[注]i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.ii.正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△,侧棱与底棱不一定相等
②正棱锥的侧面积(底面周长为C,斜高为h)2棱锥具有的性质
①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3.球1球的截面是一个圆面.2球心与截面圆心的连线垂直于截面.4.常用面积、体积公式1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积v棱柱棱柱各侧面积之和S侧+2S底S底·h=S直截面·l直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch'棱台棱台各侧面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c')h'表中S表示面积,c'、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h'表示斜高,l表示侧棱长.2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧V表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r
1、r2分别表示圆台上、下底面半径,R表示半径.5.几个基本公式弧长公式(是圆心角的弧度数,)扇形面积公式圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式;(l为圆锥母线,r为圆锥底面半径)圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式(l为圆台母线,r为圆台上底面半径,R为圆台下底面半径)
九、直线与圆
一、直线的基本量1.两点间距离公式若则特别地轴,则,轴,则2.直线与圆锥曲线C相交的弦AB长公式消去y得(务必注意),设则3.直线的倾斜角与斜率1倾斜角当时,直线的斜率2斜率公式:3常见问题倾斜角范围与斜率范围的互化(右图)4.直线在x轴和y轴上的截距(定义见课本)截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.5.直线的方向向量1若直线的斜率为k,则直线的方向向量是2若直线的方程为则直线的一个方向向量是
二、直线的方程五种形式点斜式、斜截式两点式截距式一般式注意每一种形式的适用条件.
三、两条直线的位置关系1.判断方法系数判断法、斜率判断法、方向向量判断法.2.有用的结论两条直线、垂直两条直线平行且
四、点到直线的距离1.点到直线的距离;2.平行线间距离若、则注意点x,y对应项系数应相等.
五、圆1.确定圆需三个独立的条件1标准方程其中圆心为半径为r.2一般方程,其中圆心为半径为
(3)圆的直径端点式方程,其中A,B为直径的端点4圆的参数方程(为参数),其中圆心为半径为r.2.点和圆的位置关系的判断转化为点到圆心的距离与半径的大小关系的判断.点圆的方程如果点在圆外;如果点在圆内;如果点在圆上.3.直线与圆的位置关系相离相切相交1位置关系判断方法半径比较法(首选)、判别式法.2求圆的弦长方法垂径定理.3求圆的切线用“”求k.4.一个结论过圆上的点的切线的方程为5.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线.6.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r,R两圆相离两圆相外切两圆相交两圆相内切两圆内含两圆同心.7.两圆相交弦所在直线方程的求法圆的方程为圆的方程为把两式相减得相交弦所在直线方程为
六、空间直角坐标系1.会求空间点关于线、点关于面的对称点坐标;2.空间两点间距离公式
十、圆锥曲线
一、椭圆1.定义若是两定点,P为动点,且(a为常数)则P点的轨迹是椭圆.2.标准方程1焦点在x轴上2焦点在y轴上3.几何性质(以焦点在x轴上为例)1范围2对称性长轴长短轴长焦距3离心率准线方程4有用的结论5中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段有关角结合起来,建立等关系6椭圆上的点有时常用到三角换元(椭圆的参数方程)
二、双曲线1.定义若是两定点,(a为常数),则动点P的轨迹是双曲线.2.标准方程1焦点在x轴上2焦点在y轴上3.几何性质(以焦点在x轴上为例)1范围或2对称性实轴长虚轴长焦距3离心率4渐近线方程与此有关的结论若渐近线方程为双曲线可设为;若双曲线与有公共渐近线,可设为焦点在x轴上;焦点在y轴上)5当时离心率两渐近线互相垂直,分别为此时双曲线为等轴双曲线,可设为6注意中结合定义与余弦定理,将有关线段和角结合起来.
三、抛物线1.定义到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.即到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数2.标准方程(以焦点在x轴的正半轴为例)(其中p为焦点到准线的距离——焦准距);3.几何性质1焦点通径准线;焦半径过焦点弦长2几何特征焦点到顶点的距离;焦点到准线的距离;通径长(通径是最短的焦点弦).顶点是焦点向准线所作垂线段中点.3抛物线上的动点可设为或或其中
四、直线与圆锥曲线的关系判断1.直线与双曲线当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线仅有一个交点.2.直线与抛物线当直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线仅有一个交点.3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与“弦”相关,“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式)或“小小直角三角形”.
五、解题思路与方法1在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向,这是减少或避免错误的一个关键.2在考查直线和圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法,画出方程所表示的曲线,通过图形求解,当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.3求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程.一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小.4在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.5要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.6求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”,将“形”化成“数”,使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质,求动点轨迹方程的常用方法有直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤建系、设点、列式、化简、确定点的范围.7参数方程,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解8向量与解析几何结合时,要能理解和处理好由向量给出的关系.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容1.给出等于已知P是MN的中点;2.给出等于已知即是直角,给出等于已知是钝角,给出等于已知是锐角.3.给出等于已知MP是的平分线.4.在平行四边形ABCD中,给出等于已知ABCD是菱形;5.在平行四边形ABCD中,给出等于已知ABCD是矩形;6.在中,给出等于已知O是的外心;7.在中,给出等于已知O是的重心;8.在中,给出等于已知通过的内心;9.在中,给出等于已知AD是中BC边的中线;
十一、推理与证明、复数
一、推理要正确使用归纳推理(部分到整体、个别到一般)、类比推理(特殊到特殊)和演义推理(一般到特殊)由归纳推理获得的结论,一般只能作为猜想,正确与否还有待严格证明类比推理的基本原则是根据当前问题的需要选择适当的类比对象
二、证明主要掌握综合法、分析法和反证法等
三、复数1.复数及其相关概念1复数的单位为i,它的平方等于即
①复数形如的数(其中)
②实数当时的复数即a
③虚数当时的复数
④纯虚数当且时的复数即
⑤复数的实部与虚部;a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)
⑥复数集C全体复数的集合,一般用字母C表示2两个复数相等的定义且(其中,)特别地3两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.2.复数的运算设3.共轭复数的性质的共轭复数为)4.常用的结论,5.1复数z是实数及纯虚数的充要条件
①②若z是纯虚数2模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数,特例零向量的方向是任意的,其模为零.注
十二、统计与概率、算法
一、统计1.掌握总体、个体、样本、样本容量、频数、频率、平均数、方差、标准差的定义;2.比较三种抽样方法1简单随机抽样(包括随机数表法,标签法)——从n个总体中抽取容量为m的样本,则每一个个体被抽到的概率为一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本.2分层抽样一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样3系统抽样在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽样的步骤为
①采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号
②将整体按编号进行分段,确定分段间隔
③在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号
④按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K,再加上K得到第3个个体编号L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本在确定分段间隔k时应注意分段间隔k为整数,当不是整数时,应采用等可能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔k简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样1抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等2每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少将总体均分成几部分,按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多系统抽样将总体分成几层,分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成分层抽样3.样本平均数4.样本方差样本标准差作用估计总体的稳定程度5.频率分布直方图频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小,频率=,小长方形面积=组距×=频率,所有小长方形面积的和=各组频率和=1.1计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差2决定组距与组数3将数据分组4列频率分布表5画频率分布直方图频率分布直方图的特征1从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势2从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了频率分布直方图常以图形信息题形式出现,识图掌握信息是解决这一问题的关键6.频率分布折线图、总体密度曲线1频率分布折线图的定义连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图2总体密度曲线的定义在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息7.茎叶图1茎叶图的概念当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.2茎叶图的特征用茎叶图表示数据有两个优点一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰8.总体分布的估计用样本去估计总体用样本平均数估计总体平均数,用样本方差估计总体方差;平均数反映了一组数据的平均水平,而方差(标准差)是描述一组数据的波动情况,即偏离平均数的大小,或者说数据的稳定性.9.线性回归回归分析对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系回归直线方程设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应于n个观测值的n个点大分布在某一条直线的附近,就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型,其中,我们称这个方程为y对x的回归直线方程.1相关系数
①相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的,对于变量y与x的一组观测值,把叫做变量y与x之间的样本相关系数,简称相关系数,用它来衡量两个变量之间的线性相关程度.
②相关系数的性质且越接近1,相关程度越大;且越接近0,相关程度越小.2相关指数
①(残差)
②R2取值越大,意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟和效果越好
③R2越接近于1,表示回归的效果越好10.独立性检验K2值越大,说明“X、与Y有关系”成立的可能性越大回归分析相关内容请认真读课本(残差、相关系数,相关指数、线性回归方程、独立性检验等)
二、概率1.随机事件的概率1事件的分类必然事件、不可能事件、随机事件2概率定义在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率,总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫事件A的概率.记为范围必然事件不可能事件随机事件3等可能性事件的概率如果一次试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率[注意]
①应明确,等可能事件概率的前提是a.试验的结果数n是有限的;b.每种结果发生的可能性是相等的;c.事件A所包含的结果数m是可以确定的.
②既是等可能事件概率的定义又是计算这种概率的基本方法,求时,要首先判定是否满足等可能事件的特征,其计算步骤是a.算出基本事件的总个数n;b.算出事件A中包含的基本事件的个数m;c.算出A的概率,即.2.互斥事件有一个发生的概率互斥事件A、B(A、B互斥,即事件A、B不可能同时发生)有一个发生(事件和A+B)的概率彼此互斥对立事件A、B(A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生)的概率关系P[注意]
①互斥事件是对立事件的必要不充分条件;
②如果A、B互斥,则与与B,A与不一定互斥;
③把一个复杂事件分解成几个彼此互斥事件时要做到不重复不遗漏;
④计算稍复杂事件的概率通常有两种方法a.将所求事件化成彼此互斥事件和;b.先去求事件的对立事件概率,然后再求所求事件概率.概率中注意数形结合思想方法的应用常用列举数对、树形图法、图表法、坐标轴法等3.古典概型的概率计算公式4.几何概型掌握几何概型的概率公式
三、算法算法的重点可放在框图及程序语句因此同学们要认真看教材,充分理解算法中有关概念,体会算法思想;提高逻辑思维能力1.四种基本的程序框(起止框、输入输出框、处理框、判断框)2.三种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构)3.基本算法语句IF-THEN格式计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,就执行THEN后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句其对应的程序框图为;(如上右图)循环语句1WHILE语句其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE与WEND之间的循环体,然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND语句后,接着执行WEND之后的语句因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环其对应的程序结构框图为(如上右图)2UNTIL语句其对应的程序结构框图为(如上右图)
十三、极坐标、参数方程
一、参数方程1.经过点的直线参数方程的一般形式是(t是参数).2.圆心在点半径为r的圆的参数方程是是参数).3.圆的参数方程为参数,椭圆的参数方程为参数,
二、极坐标1.若以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为直角坐标为则.PAGE35。