高考第一轮复习数学：111随机事件的概率

第十一章概率●网络体系总览●考点目标定位

1.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率.

2.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.

3.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.●复习方略指南概率是新课程中新增加部分的主要内容之一.这一内容是在学习排列、组合等计数知识之后学习的主要内容为等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率.这一内容从2000年被列入新课程高考的考试说明.在20002001200220032004这五年高考中新课程试卷每年都有一道概率解答题并且这五年的命题趋势是从分值上看从10分提高到17分从题目的位置看2000年为第

（17）题2001年为第

（18）题2002年为第

（19）题2003年为第

（20）题即题目的位置后移2004年两题分值增加到17分.从概率在试卷中的分数比与课时比看在试卷中的分数比（12∶150=1∶

12.5）是在数学中课时比（约为11∶330=1∶30）的

2.4倍.概率试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想在命题时提高了分值提高了难度并设置了灵活的题目情境如普法考试、串联并联系统、计算机上网、产品合格率等所以在概率复习中要注意全面复习加强基础注重应用.

11.1随机事件的概率●知识梳理

1.随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.

2.必然事件在一定条件下必然要发生的事件.

3.不可能事件在一定条件下不可能发生的事件.

4.事件A的概率在大量重复进行同一试验时事件A发生的频率总接近于某个常数在它附近摆动这时就把这个常数叫做事件A的概率记作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1显然必然事件的概率是1不可能事件的概率是

0.

5.等可能性事件的概率一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个即此试验由n个基本事件组成而且所有结果出现的可能性都相等那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个那么事件A的概率P（A）=.

6.使用公式P（A）=计算时确定m、n的数值是关键所在其计算方法灵活多变没有固定的模式可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理必须做到不重复不遗漏.●点击双基

1.（2004年全国Ⅰ文11）从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A.B.C.D.解析基本事件总数为C，设抽取3个数和为偶数为事件A则A事件数包括两类抽取3个数全为偶数或抽取3数中2个奇数1个偶数前者C后者CC.∴A中基本事件数为C+CC.∴符合要求的概率为=.答案C

2.（2004年重庆理11）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加其中一班有3位二班有2位其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为A.B.C.D.解析10位同学总参赛次序A.一班3位同学恰好排在一起而二班的2位同学没有排在一起的方法数为先将一班3人捆在一起A与另外5人全排列A二班2位同学不排在一起采用插空法A即AAA.∴所求概率为=.答案B

3.（2004年江苏9）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数

1、

2、

3、

4、

5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是A.B.C.D.解析质地均匀的骰子先后抛掷3次共有6×6×6种结果.3次均不出现6点向上的掷法有5×5×5种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的所以不出现6点向上的概率为=由对立事件概率公式知3次至少出现一次6点向上的概率是1－=.答案D

4.一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率为________.解析恰有3个红球的概率P1==.有4个红球的概率P2==.至少有3个红球的概率P=P1+P2=.答案

5.在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片.今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________.解析P==.答案●典例剖析【例1】用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率.解五位数共有55个等可能的结果.现在求五位数中恰有4个相同数字的结果数4个相同数字的取法有C种，另一个不同数字的取法有C种.而这取出的五个数字共可排出C个不同的五位数，故恰有4个相同数字的五位数的结果有CCC个，所求概率P==.答其中恰恰有4个相同数字的概率是.【例2】从男女生共36人的班中，选出2名代表，每人当选的机会均等.如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几名？解设男生有x名，则女生有（36－x）人，选出的2名代表是同性的概率为P==即+=解得x=15或

21.所以男女生相差6人.【例3】把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算

（1）无空盒的概率；

（2）恰有一个空盒的概率.解4个球任意投入4个不同的盒子内有44种等可能的结果.

（1）其中无空盒的结果有A种，所求概率P==.答无空盒的概率是.

（2）先求恰有一空盒的结果数选定一个空盒有C种，选两个球放入一盒有CA种，其余两球放入两盒有A种.故恰有一个空盒的结果数为CCAA所求概率P（A）==.答恰有一个空盒的概率是.深化拓展把n+1个不同的球投入n个不同的盒子（n∈N*）.求

（1）无空盒的概率；

（2）恰有一空盒的概率.解

（1）.

（2）.【例4】某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问

（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？

（2）三次内打开的概率是多少？

（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解5把钥匙，逐把试开有A种等可能的结果.

（1）第三次打开房门的结果有A种，因此第三次打开房门的概率P（A）==.

（2）三次内打开房门的结果有3A种，因此，所求概率P（A）==.

（3）方法一因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有AA种，从而三次内打开的结果有A－AA种，所求概率P（A）==.方法二三次内打开的结果包括三次内恰有一次打开的结果有CAAA种；三次内恰有2次打开的结果有AA种.因此，三次内打开的结果有CAAA+AA种，所求概率P（A）==.特别提示

1.在上例

（1）中读者如何解释下列两种解法的意义.P（A）==或P（A）=··=.

2.仿照1中你能解例题中的

（2）吗●闯关训练夯实基础

1.从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为A.B.C.D.解析P==.答案B

2.（2004年湖北模拟题）甲、乙二人参加法律知识竞赛共有12个不同的题目其中选择题8个判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题则甲抽到判断题乙抽到选择题的概率是A.B.C.D.解析甲、乙二人依次抽一题有C·C种方法而甲抽到判断题乙抽到选择题的方法有CC种.∴P==.答案C

3.（2004年全国Ⅰ理11）从数字

1、

2、

3、

4、5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为A.B.C.D.解析从数字

1、

2、

3、

4、5中，允许重复地随机抽取3个数字，这三个数字和为9的情况为

5、

2、2；

5、

3、1；

4、

3、2；

4、

4、1；

3、

3、

3.∴概率为=.答案D

4.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________.（结果用分数表示）解析总的排法有A种.最先和最后排试点学校的排法有AA种.概率为=.答案

5.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.

（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？分析

（1）是等可能性事件，求基本事件总数和A包含的基本事件数即可.

（2）分类或间接法，先求出对立事件的概率.解

（1）基本事件总数甲、乙依次抽一题有CC种，事件A包含的基本事件数为CC，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为=.

（2）A包含的基本事件总数分三类甲抽到选择题乙抽到判断题有CC；甲抽到选择题乙也抽到选择题有CC;甲抽到判断题乙抽到选择题有CC.共CC+CC+CC.基本事件总数CC，∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为=或P（）==，P（A）=1－P（）=.

6.把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求

（1）每盒各有一个奇数号球的概率；

（2）有一盒全是偶数号球的概率.解6个球平均分入三盒有CCC种等可能的结果.

（1）每盒各有一个奇数号球的结果有AA种，所求概率P（A）==.

（2）有一盒全是偶数号球的结果有（CC）·CC，所求概率P（A）==.培养能力

7.（2004年全国Ⅱ18）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求

（1）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

（2）A组中至少有两支弱队的概率.

（1）解法一三支弱队在同一组的概率为+=，故有一组恰有两支弱队的概率为1－=.解法二有一组恰有两支弱队的概率为+=.

（2）解法一A组中至少有两支弱队的概率为+=.解法二A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为.

8.从1，2…10这10个数字中有放回地抽取3次，每次抽取一个数字，试求3次抽取中最小数为3的概率.解有放回地抽取3次共有103个结果，因最小数为3又可分为恰有一个3，恰有两个3，恰有三个

3.故最小数为3的结果有C·72+C·7+C所求概率P（A）==

0.

169.答最小数为3的概率为

0.

169.探究创新

9.有点难度哟！将甲、乙两颗骰子先后各抛一次a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.

（1）若点P（ab）落在不等式组表示的平面区域的事件记为A求事件A的概率;

（2）若点P（ab）落在直线x+y=m（m为常数）上且使此事件的概率最大求m的值.解

（1）基本事件总数为6×6=

36.当a=1时b=123;当a=2时b=12;当a=3时b=

1.共有

（11）

（12）

（13）

（21）

（22）

（31）6个点落在条件区域内∴P（A）==.

（2）当m=7时

（16）

（25）

（34）

（43）

（52）

（61）共有6种此时P==最大.●思悟小结求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤

（1）先确定一次试验是什么此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.

（2）再确定所研究的事件A是什么事件A包括结果有多少即求出m.

（3）应用等可能性事件概率公式P=计算.●教师下载中心教学点睛

1.一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验）又存在着统计规律（对大量重复试验）这是偶然性和必然性的对立统一.

2.随机事件A的概率P（A）满足0≤P（A）≤

1.

（3）P（A）=既是等可能性事件的概率的定义又是计算这种概率的基本方法.拓展题例【例1】某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，红漆2桶.在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？解P（A）==.答顾客按所定的颜色得到定货的概率是.【例2】一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}=A，{第三个球是红球}=B.求在下列条件下事件A、B的概率.

（1）不返回抽样；

（2）返回抽样.解

（1）不返回抽样P（A）==P（B）==.

（2）返回抽样P（A）=C（）2=P（B）==.。