还剩9页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第八章
8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线形微分方程的概念形如1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数为已知的连续函数.如果则方程式1变成2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.
二、二阶常系数齐次线性微分方程1.解的叠加性定理1如果函数与是式2的两个解则也是式2的解其中是任意常数.证明因为与是方程2的解所以有将代入方程2的左边得=所以是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数但它不一定是方程式2的通解.
2.线性相关、线性无关的概念设为定义在区间I内的n个函数若存在不全为零的常数使得当在该区间内有则称这n个函数在区间I内线性相关否则称线性无关.例如在实数范围内是线性相关的因为又如在任何区间ab内是线性无关的因为在该区间内要使必须.对两个函数的情形若常数则线性相关若常数则线性无关.
3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果与是方程式2的两个线性无关的特解则为任意常数是方程式2的通解.例如是二阶齐次线性方程是它的两个解且常数即线性无关所以是任意常数是方程的通解.由于指数函数r为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子根据指数函数的这个特点我们用来试着看能否选取适当的常数使满足方程
2.将求导得把代入方程2得因为所以只有3只要满足方程式3就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程特征方程是一个代数方程其中的系数及常数项恰好依次是方程2的系数.特征方程3的两个根为因此方程式2的通解有下列三种不同的情形.1当时,是两个不相等的实根.是方程2的两个特解并且常数即与线性无关.根据定理2得方程2的通解为2当时是两个相等的实根.这时只能得到方程2的一个特解还需求出另一个解且常数设即.将代入方程2得整理得由于所以因为是特征方程3的二重根所以从而有因为我们只需一个不为常数的解不妨取可得到方程2的另一个解.那么方程2的通解为即.3当时特征方程3有一对共轭复根于是利用欧拉公式把改写为之间成共轭关系取=方程2的解具有叠加性所以还是方程2的解并且常数所以方程2的通解为综上所述求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:1写出方程2的特征方程2求特征方程的两个根3根据的不同情形按下表写出方程2的通解.特征方程的两个根方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根例1求方程的通解.解:所给方程的特征方程为所求通解为.例2求方程满足初始条件的特解.解所给方程的特征方程为通解为将初始条件代入得于是对其求导得将初始条件代入上式得所求特解为例3求方程的通解.解所给方程的特征方程为其根为所以原方程的通解为
二、二阶常系数非齐次方程的解法
1.解的结构定理3设是方程1的一个特解是式1所对应的齐次方程式2的通解则是方程式1的通解.证明把代入方程1的左端:==使方程1的两端恒等所以是方程1的解.定理4设二阶非齐次线性方程1的右端是几个函数之和如4而与分别是方程与的特解那么就是方程4的特解非齐次线性方程1的特解有时可用上述定理来帮助求出.
2.型的解法其中为常数是关于的一个次多项式.方程1的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同一类型函数因此方程1的特解可能为其中是某个多项式函数.把代入方程1并消去得5以下分三种不同的情形分别讨论函数的确定方法:1若不是方程式2的特征方程的根即要使式5的两端恒等可令为另一个次多项式:代入5式并比较两端关于同次幂的系数就得到关于未知数的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求方程的特解为2若是特征方程的单根即要使式5成立则必须要是次多项式函数于是令用同样的方法来确定的系数.3若是特征方程的重根即.要使5式成立则必须是一个次多项式,可令用同样的方法来确定的系数.综上所述若方程式1中的则式1的特解为其中是与同次多项式按不是特征方程的根是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取01或
2.例4求方程的一个特解.解是型且对应齐次方程的特征方程为特征根根为.=-2是特征方程的单根令代入原方程解得故所求特解为.例5求方程的通解.解先求对应齐次方程的通解.特征方程为齐次方程的通解为.再求所给方程的特解由于是特征方程的二重根所以把它代入所给方程并约去得比较系数得于是所给方程的通解为
3.型的解法其中、、均为常数.此时方程式1成为7这种类型的三角函数的导数仍属同一类型因此方程式7的特解也应属同一类型可以证明式7的特解形式为其中为待定常数.为一个整数.当不是特征方程的根取0;当不是特征方程的根取1;例6求方程的一个特解.解,不是特征方程为的根,.因此原方程的特解形式为于是将代入原方程,得解得原方程的特解为:例7求方程的通解.解先求对应的齐次方程的通解.对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解.由于根据定理4分别求出方程对应的右端项为的特解、则是原方程的一个特解.由于均不是特征方程的根故特解为代入原方程得比较系数得解之得.于是所给方程的一个特解为所以所求方程的通解为.。