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设向量
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;
(3)若,求证∥.答案由与垂直,,即,;,最大值为32,所以的最大值为由得,即,所以∥.来源09年高考江苏卷题型解答题,难度容易已知向量的夹角为60°,则的值为A.2 B.3 C. D.答案D来源09年陕西西安月考三题型选择题,难度中档设向量
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;
(3)若,求证∥.答案来源09年高考北京卷题型解答题,难度中档已知向量与互相垂直,其中.
(1)求和的值;
(2)若,求的值.答案
(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.
(2)∵,,∴,则,∴.来源09年高考广东卷题型解答题,难度容易如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90o,PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD=2,BC=1,E为PD的中点.1求证:__∥平面PAB;2求PA与平面A__所成角的大小;3求二面角E-AC-D的大小.答案1证明取PA的中点F,连结FE、FB,则FE//BC,且FE=AD=BC,∴B__F是平行四边形,∴__//BF,而BF平面PAB,∴__//平面PAB.2解取AD的中点G,连结EG,则EG//AP,问题转为求EG与平面A__所成角的大小.又设点G到平面A__的距离为GH,H为垂足,连结EH,则∠GEH为直线EG与平面A__所成的角.现用等体积法来求GH.∵VE-A__=S△A__·EG=又AE=,AC=__=,易求得S△AEC=,∴VG-AEC=GH=VE-A__=,∴GH=在Rt△EHG中,sin∠GEH==,即PA与平面A__所成的角为arcsin.3设二面角E-AC-D的大小为.由__射影定理得cos==,∴=arccos,即二面角E-AC-D的大小为arccos.向量解法以A为原点,AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角系.则A0,0,0,P0,0,2,B2,0,0,D0,2,0,C2,1,0,E0,1,1,=2,1,0,=0,1,1,=0,0,2.设平面A__的一个法向量为=x,y,z.∵⊥,⊥,∴,令x=1,则y=-2,z=2,得=1,-2,2.2设点P在平面A__上的射影为Q,由共面向量定理,设=m+n+1-m-n,得eq\o\d\fo1\s\up6→=m0,0,-2+n2,1,-2+1-m-n0,1,-1=2n,1-m,-m-n-1.∵⊥,⊥,∴eq\b\lc\{\a\al·=0,eq\o\d\fo1\s\up6→·=0解得m=,n=-.∴eq\o\d\fo1\s\up6→=-,,-,∴|eq\o\d\fo1\s\up6→|=.设PA与平面A__所成角为,则sin=eq\f|eq\o\d\fo1\s\up6→||eq\o\d\fo1\s\up6→|=,∴=arcsin.别解易得向量在n上的射影长为d==设PA与平面A__所成角为,则sin=eq\fd|eq\o\d\fo1\s\up6→|=,∴=arcsin.3显然,为平面ABCD的法向量,cos==.∴二面角E-AC-D的大小为arccos.来源1题型解答题,难度较难在△ABC中,,又D在线段BC上,且满足
(1)用和表示向量;
(2)若和夹角为60°,试用||,||及来表示答案
(1)由及可知(1+
(2)由两边取模可知,又与夹角为60°来源1题型解答题,难度中档已知向量向量与向量夹角为,且.
(1)求向量;
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为,其中A,C为△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求求|+|的取值范围.答案解
(1)设,有
①………………1分由夹角为,有.∴
②………………3分由
①②解得∴即或…………4分
(2)由垂直知…………5分由2B=A+C知……6分来源题型解答题,难度中档平面直角坐标系有点
(1)求向量的夹角θ的余弦用x表示的函数fx;
(2)求θ的最值.答案解
(1)
(2)来源题型解答题,难度中档在内角A、B、C的对边分别为abc.已知abc成等比数列,且co__=.
①求cotA+cotB的值
②设,求a+c的值答案(I)由co__=得,于是=II由得由余弦定理得,a+c=3来源05高考Ⅲ题型解答题,难度较难已知a,b都是非零向量,且a+__与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.答案解∵a+__与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,∴a+__·7a-5b=0,a-4b·7a-2b=
0.4分即两式相减a·b=|b|2,代入
①得|a|2=|b|
2.8分∴cosα==.∴α=60°,即a与b的夹角为60°12分来源题型解答题,难度中档.已知二次项系为mm≠0的二次函数fx对任意x∈R都有f1-x=f1+x成立,设向量a=sinx2b=2sinxc=cos2x1d=
12.1分别求a·b和c·d的取值范围;2当x∈[0,π]时,求不等式fa·bfc·d的解集.答案解1a·b=2sin2x+1≥1c·d=cos2x+1≥1……6分2∵fx=f1+x∴fx图象关于x=1对称……1分当m0时,fx在1,+∞内单调递增,由fa·bfc·da·bc·d即2sin2x+12cos2x+1又∵x∈[0,π]∴x∈……3分当m0时,fx在1,+∞内单调递减,由fa·bfc·da·bc·d即2sin2x+12cos2x+1又∵x∈[0π]∴x∈
[0]……3分故当m0时不等式的解集为;当m0时不等式的解集为
[0]……1分来源07年浙江省月考四题型解答题,难度中档设两向量满足,的夹角为60°,若向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围答案解,, ∴∴ ∴,设∴ ∴当时,与的夹角为π∴来源题型解答题,难度中档已知向量
(1)当时,求的值;
(2)(文科)求fx=的值域;
(3)(理科)求fx=在上的值域.答案
(1),∴,∴(6分)
(2)(文科),∴f(x)的值域为(文12分)
(3)(理科)∵,∴,∴∴(理12分)来源08年高考武汉市联考一题型解答题,难度中档已知、是夹角为600的两个单位向量,令向量=2+,=-3+
2.
(1)求向量的模;
(2)求向量与的夹角.答案解
(1)…6分.
(2)、同法得,=-,cos=-=1200……12分.来源题型解答题,难度中档在直角坐标平面上的一列点,简记为.若由构成的数列满足,其中为方向与轴正方向相同的单位向量,则称为点列.1判断,是否为点列,并说明理由;2若为点列,且点在点的右上方.任取其中连续三点,判断△的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;3若为点列,正整数满足,求证.答案
(1),,显然有,是点列.……3分
(2)在△中,,.……5分点在点的右上方,,为点列,,,则.为钝角,△为钝角三角形.……8分
(3)[证明],.
①.
②同理.
③……12分由于为点列,于是,
④由
①、
②、
③、
④可推得,……15分,即.……16分来源08年春季高考__卷题型解答题,难度较难已知(I)求的值;(II)求证与互相垂直;(III)设且,求的值答案(I)解(II)证明,8分(III)解,,又来源05北京朝阳题型解答题,难度中档如图,△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形,延长OB到C使|BC|=tt0,连AC交BE于D点.1用t表示向量和的坐标;2理求向量和的夹角的大小文当=时,求向量和的夹角的大小答案⑴=t+1,-t+1,………………………………………………2分∵=t,∴=t,=,又=,,=-=t,-t+2;∴=,-,………………4分∴=,-………………………………………………6分⑵(理)∵=,-,∴·=·+·=………………………………8分又∵||·||=·=…………………………10分∴cos=eq\f·||·||=,∴向量与的夹角为60°……12分(文)由已知t=,∴=,-,=-,-∴·=-+=……………………………………………………………8分又∵||=,||==………………………………………………10分∴cos=eq\f=,∴向量与的夹角为60°来源1题型解答题,难度中档向量与满足,且夹角为60°,,(⑴求函数的解析式⑵当且时,求向量与向量的夹角答案
①fx=2x2+15x+7
②θ=-arccos来源题型解答题,难度中档已知向量,.(Ⅰ)当⊥时,求|+|的值;(Ⅱ)求函数=·(-)的值域.答案(Ⅰ);(Ⅱ).来源题型解答题,难度中档如图,在直四棱柱中,底面是梯形,且,,,是棱的中点.
(1)求证:;
(2)求点到平面的距离;
(3)求二面角的大小.答案证明:连接,是正方形,∴,又,∴平面,∴,又,∴平面,∴
(2)解:在平面中,过点作,垂足为,连接,又过点作,垂足为,则为点到平面的距离,在中,有,∴,在中,,点到平面的距离为.解法2:用等体积法,设点到平面的距离为,在中,为直角三角形,由得,∴,∴点到平面的距离为.
(3)解:取线段的中点,连接,则,,∴,再取线段的中点,连接,∴,∴,∴是二面角的平面角,在中,,,取线段的中点,连接,则,在中,,∴,由余弦定理知,∴二面角的大小为.空间向量解法:
(1)证明:用基向量法.设,,,,,,,,∴,∴,∴,,∴,∴,即,∴
(2)解:构建空间直角坐标系,运用向量的坐标运算.以为原点,,,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角系.则,,,,,,,,设平面的一个法向量为,∵,∴,∴,令,则,,得.,求点到平面的距离
(3)解:设平面的一个法向量为.∵,∴,,令,则,,得.又设平面的一个法向量为∵,∴∴,令,则,,得.,∴二面角的大小为.或者,的中点的坐标为,,,,∴,∴二面角的大小为.命题意图与思路点拨:认识多面体中的线面关系,求二面角,求点到平面的距离:认识多面体中的线面关系,求点到平面的距离.二面角来源1题型解答题,难度较难已知向量(Ⅰ)向量是否共线请说明理由.(Ⅱ)求函数的最大值.答案解(Ⅰ)共线.……(1分),∴共线.………………(5分)(Ⅱ)(7分)………………(8分)又……(10分)来源题型解答题,难度较难求与向量和的夹角相等,且模为的向量的坐标答案解………(2分)又………………(4分)与和夹角相等且………………(6分)故与共线,且………………(8分)的坐标是和…………(12分)来源题型解答题,难度中档设向量=(1+cosα,sinα),=(1+cosβ,sinβ),=(1,0),α∈(0,),β∈(,2),与的夹角为θ1,与的夹角为θ2,且θ1―θ2=,求的值答案∵α∈(0,),β∈(,2),∴,又,∴又且,∴∴∴来源题型解答题,难度中档已知平面向量a与b不共线,若存在非零实数xy,使得
(1)当c=d时,求xy的值;
(2)若的表达式.答案
(1)由条件得来源题型解答题,难度中档四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,且,求数量积的值.答案解………………………2分由得……………………………………….…4分∵∴AD∥BC…………………………………..………….6分∴从而………………………..…………8分∴.………………12分另解.来源1题型解答题,难度中档已知向量,,,,且与之间有关系式,其中k>0.
(1)试用k表示;
(2)求的最小值,并求此时与的夹角的值.答案
(1)因为,所以,,,,.
(2)由
(1),当且仅当,即时取等号.此时,,,,所以的最小值为,此时与的夹角为来源题型解答题,难度中档已知向量,.
(1)当,且时,求的值;
(2)当,且//时,求的值.答案
(1)当时,,,由,得,上式两边平方得,因此,.
(2)当时,,由∥得.即.,或.命题意图与思路点拨:本题考查三角函数与平面向量的综合运用,理解平面向量的平行和垂直关系,并合理转化为三角函数变形求值问题来源1题型解答题,难度中档已知a=(,),b=(,),a与b之间有关系式|ka+b|=|a-kb|,其中k>0.
(1)用k表示a、b;
(2)求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角的大小.答案解析由已知. ∵ ,∴ .∴ . ∵ k>0, ∴ .此时 ∴ . ∴ =60°.来源题型解答题,难度中档已知函数的大小.答案解法一来源1题型解答题,难度较难设向量acos23°,cos67°,acos68°,cos22°,u=a+tbt∈R1求a·b;2求u的模的最小值答案
①…………5分
②…………10分来源题型解答题,难度中档已知、、是同__面内的三个向量,其中=(1,2) (Ⅰ)若||,且//,求的坐标; (Ⅱ)若||=且与垂直,求与的夹角θ.答案(Ⅰ)设 ……3分由 得 或 ∴ ……5分(Ⅱ) ……6分……(※)代入(※)中……9分……12分来源题型解答题,难度中档已知锐角△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量
(1)求角B的大小;
(2)求的值.答案.解(I)…………2分…………6分(II)原式=………………(12分)来源07年石家庄市模拟题题型解答题,难度较难已知,又,且1求;2求答案
(1)由0,,则,∴,∴……(6分)
(2)由,则,由,当时,与矛盾,故舍去当时,可取因此……(12分)来源05武汉调考题型解答题,难度中档设,试求的值 答案sin2x+2sinxcosx-3cos2x=0tanx=-3或tanx=1舍去=来源06年湖南省三月大联考题型解答题,难度容易已知1求函数的最小正周期;2若,求的最大值和最小值及相应的值.答案……………………………………6分1函数的最小正周期……………………………………7分2因为所以所以当,即时……………………10分所以当,即时,……………………12分来源08年高考辽宁省联考一题型解答题,难度中档设、是两个不共线的非零向量()
(1)记那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?
(2)若,那么实数x为何值时的值最小?答案解
(1)A、B、C三点共线知存在实数即,…………………………………………………4分则………………………………………………………………6分
(2)……………………………9分当…………………………………………12分来源题型解答题,难度中档已知△ABC的__S满足≤S≤3,且的夹角为.Ⅰ求的取值范围;Ⅱ求函数的最值及相应的的值.答案(Ⅰ)
①②②÷
①得由≤S≤3,得∴.(Ⅱ)=2 =..当时,;当时,.来源06年北师大附中月考三题型解答题,难度中档
(1)已知||=4,||=3,(2-3)·(2+)=61,求与的夹角θ;
(2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.答案解
(1)∵(2-3)·(2+)=61,∴…(12分)又||=4,||=3,∴·=-
6.…………………………………………(4分).………………………………………………(5分)∴θ=120°.………………………………………………………………(6分)
(2)设存在点M,且…………………………(8分)∴存在M(2,1)或满足题意.……………………(12分).来源题型解答题,难度较难已知向量在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.答案解法1依定义开口向上的抛物线,故要使在区间(-1,1)上恒成立.解法2依定义的图象是开口向下的抛物线,来源05年湖北题型解答题,难度中档已知A、B是△ABC的两个内角,=cos其中、为互相垂直的单位向量,若.(I)试问tanA·tanB是否为定值.若为定值,请求出;否则请说明理由(II)求tanC的最大值,并判断此时三角形的形状答案(I)∴即2cos22分即cosA+B+1+∴cosA+B-∴cosAco__=3sinAsinB.∴tanA·tanB=为定值(4分)(II)tanC=-tanA+B=-=-∴tanC__x=-当tanA=tanB=即A=B=30°,C=120°时取到,此时三角形为等腰钝角三角形3分来源题型解答题,难度中档设两个向量满足,,,的夹角为,若向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.答案60°=1,,,所以 又因为向量与向量的夹角为纯角,则,解到当向量与反向时,令 即时,向量与向量的夹角为;t的取值范围是来源题型解答题,难度中档若,其中记函数1若图象中相邻两条对称轴间的距离不小于,求的取值范围;2若的最小正周期为,且当时,的最大值是,求的解析式.答案∵∴故===1由题意可知,∴又0,∴0≤12∵T=,∴=1∴f(x)=sin2x-+k+∵x∈从而当2x-=即x=时f__xx=f=sin+k+=k+1=∴k=-故fx=sin2x-来源08年高考南京市月考一题型解答题,难度中档在直角坐标系中,已知点和点,其中.若向量与垂直,求的值.答案由,得,利用,化简后得,于是或,,.来源04年__春季题型解答题,难度容易已知锐角△ABC中,三个内角为A、B、C,两向量,是共线向量(I)求∠A的大小;(II)求函数y=2sin2B+cos取最大值时,∠B的大小答案解1=2-2sinAcosA+sinA,=sinA-cosA1+sinA,∵//∴(2-2sinA)1+sinA-cosA+sinAsinA-cosA=0;∵△ABC为锐角形,sinA=∴A=60°
(2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos2B-60°=1-cos2B+cos2B-60°=1+sin2B-30°当B=60°时取最大值2来源题型解答题,难度中档已知O为坐标原点,(,,a是常数),若(I)求y关于x的函数解析式;(II)若时,的最大值为2,求a的值并指出的单调区间答案解
(1)………………2分………………4分
(2)………………6分∴,解得时,取最大值由,解得……………………9分可解得函数的单调增区间是单调减区间是………………12分来源题型解答题,难度中档在直三棱柱中,,,分别是的中点,是上一点,且.I求的长;II求直线与平面所成的角的大小.答案I以为原点建系,易得是的中点;II平面的一个法向量为,则.来源07年成都市月考二题型解答题,难度容易如图直角梯形OABC中,,SO=1,以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.(Ⅰ)求的大小(用反三角函数表示);(Ⅱ)设
①②OA与平面__C的夹角(用反三角函数表示);
③O到平面__C的距离.(Ⅲ)设
①.
②异面直线SC、OB的距离为.(注(Ⅲ)只要求写出答案).答案解(Ⅰ)如图所示C(2,0,0),S(0,0,1),O(0,0,0),B(1,1,0)………………………4分(Ⅱ)
①……………………6分
②③;……………………………………12分来源1题型解答题,难度较难已知二次函数对任意,都有成立,设向量(sinx,2),(2sinx,),(cos2x,1),(1,2),当[0,]时,求不等式f()>f()的解集.答案解析设f(x)的二次项系数为m,其图象上两点为(1-x,)、B(1+x,)因为,,所以,由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称,若m>0,则x≥1时,f(x)是增函数,若m<0,则x≥1时,f(x)是减函数.∵ ,,,,,,∴ 当时,,.∵ , ∴ .当时,同理可得或.综上的解集是当时,为;当时,为,或.来源题型解答题,难度中档设向量a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=a+tb(tR)
(1)求a·b;
(2)求u的模的最小值答案a=(cos23°,sin23°),b=(cos68°,sin68°),
(1)a·b=cos23°cos68°+sin23°+sin68°=cos45°=.
(2)a=23°+23°)=1,b=68°+68°=1,|u|=u+(a+tb)=a+b+2ta·b=,所以当时,|u|来源题型解答题,难度中档设函数fx=a-b其中向量a=mcos2xb=1+sin2x1x∈R且函数y=fx的图象经过点,(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数fx的最小值及此时x的值的__答案(Ⅰ),由已知,得.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当时,的最小值为,由,得值的__为.来源07年高考陕西卷题型解答题,难度容易在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形A__F所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1,⑴求证平面BEF⊥平面DEF;⑵求二面角A-BF-E的大小答案解法1⑴
①证明:∵平面A__F⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD;连接BD交AC于点O,连接FO,∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2;在直角梯形A__F中,∵EF=EC=1,O为AC中点,∴FO∥EC,且FO=1;易求得DF=BF=,DE=BE=,由勾股定理知DF⊥EF,BF⊥EF,∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角,由BF=DF=,BD=2可知∠BFD=,∴平面BEF⊥平面DEF………………(6分)⑵取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF,又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角易求得,;在Rt△中,可求得,∴在△中,由余弦定理求得,∴……………………………(12分)解法2⑴∵平面A__F⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD;建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则∴,,…2分设平面BEF、平面DEF的法向量分别为,则
①②,
③④.由
①③③④解得∴…(4分)∴,∴,故平面BEF⊥平面DEF…………(6分)⑵设平面ABF的法向量为,∵,∴,,解得∴,………(8分)∴……(10分)由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,故所求二面角的大小为…(12分)来源07年江苏省月考四题型解答题,难度中档如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面分别为的中点.
(1)证明平面;
(2)设,求二面角的大小.答案解法一
(1)作交于点,则为的中点.连结,又,故为平行四边形.,又平面平面.所以平面.
(2)不妨设,则为等腰直角三角形.取中点,连结,则.又平面,所以,而,所以面.取中点,连结,则.连结,则.故为二面角的平面角.所以二面角的大小为.解法二
(1)如图,建立空间直角坐标系.设,则,.取的中点,则.平面平面,所以平面.
(2)不妨设,则.中点⊥EF又,EA⊥EF,所以向量和的夹角等于二面角的平面角.cos.所以二面角的大小为.来源07年高考全国卷二题型解答题,难度中档文如图3,已知直二面角,,,,,,直线CA和平面所成的角为.1证明;2求二面角的大小.答案1证明在平面内过点C作CO⊥PQ于点O,连结OB,因为,,所以又因为CA=CB,所以OA=OB,而,所以,,从而BO⊥PQ,又CO⊥PQ,所以PQ⊥平面OBC,因为平面OBC,故2解解法一由Ⅰ知,BO⊥PQ,又,,,所以过点O作OH⊥AC于点H,连结BH,由三垂线定理知BH⊥AC,故是二面角的平面角由1知,,所以是CA和平面所成的角,即不妨设AC=2,则,在中,,所以于是在中,故二面角的大小为解法二由1知,,,故可以O为原点,分别以直线OB、OA、OC为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)因为,所以是CA和平面所成的角,即,不妨设AC=2,则,在中,,所以则相关各点的坐标分别是,,,所以,设是平面ABC的一个法向量,由得取,得易知是平面的一个法向量设二面角的平面角为,由图可知,所以故二面角的大小为来源07年高考湖南卷题型解答题,难度较难如图,正三棱柱的所有棱长都为2,D为CC1中点1求证AB1⊥平面A1BD;2求二面角A-A1D-B的大小;3求点C到平面A1BD的距离答案解法一1取中点,连结.为正三角形,.正三棱柱中,平面平面,平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.在正方形中,,平面.2设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.,为二面角的平面角.在中,由等__法可求得,又,.所以二面角的大小为.3中,,.在正三棱柱中,到平面的距离为.设点到平面的距离为.由得,.点到平面的距离为.解法二1取中点,连结.为正三角形,.在正三棱柱中,平面平面,平面.取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.,,,.平面.2设平面的法向量为.,.,,令得为平面的一个法向量.由1知平面,为平面的法向量.,.二面角的大小为.3由2,为平面法向量,.点到平面的距离.来源07年高考福建卷题型解答题,难度中档设两个向量、,满足||=2,||=1,、的夹角为60°,若向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.答案解析由已知得,,. ∴ . 欲使夹角为钝角,需. 得 . 设. ∴ ,∴ .∴,此时即时,向量与夹角为.∴ 夹角为钝角时,t的取值范围是(-7,)(,).来源题型解答题,难度较难已知向量
①;
②若答案解
(1)………………2分……………………………………6分
(2)
①当时,当县仅当时,取得最小值-1,这与已知矛盾;……8分
②当时,取得最小值,由已知得;……………………………………………………………10分
③当时,取得最小值,由已知得解得,这与相矛盾,综上所述,为所求……………………12分来源题型解答题,难度中档四棱锥的底面是平行四边形,、、,1求证底面;2求的长答案解:
①;
②来源题型解答题,难度中档如图,在Rt△ABC中,已知BC=a若长为2a的线段PQ以点A为中点,问与的夹角θ取何值时,的值最大?并求出这个最大值答案解法一∵,∴∵∴======故当,既(与方向相同)时,最大,其最大值为0解法二以直有项点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设|AB|=c|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b)且,设点P的坐标为,则∴,∴=∵;∴∴故当,既(与方向相同)时,最大,其最大值为0来源04年湖北题型解答题,难度中档已知A、B、C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(),(I)若求角的值;(II)若的值.答案解
(1),…………2分,.……………………4分由得.又.…………6分
(2)由
①………………7分又………………9分由
①式两分平方得……………………12分来源题型解答题,难度较难如图,在三棱锥中,底面,,是的中点,且,.1求证平面;2当解变化时,求直线与平面所成的角的取值范围.答案解法11,是等腰三角形,又是的中点,,又底面..于是平面.又平面,平面平面.2过点在平面内作于,则由(Ⅰ)知平面.连接,于是就是直线与平面所成的角.在中,;设,在中,,.,,.又,.即直线与平面所成角的取值范围为.解法21以所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,于是,,,.从而,即.同理,即.又,平面.又平面.平面平面.2设直线与平面所成的角为,平面的一个法向量为,则由.得可取,又,于是,,,.又,.即直线与平面所成角的取值范围为.解法31以点为原点,以所在的直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,于是,,.从而,即.同理,即.又,平面.又平面,平面平面.2设直线与平面所成的角为,平面的一个法向量为,则由,得可取,又,于是,,,.又,,即直线与平面所成角的取值范围为.解法4以所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.设.1,,即.,即.又,平面.又平面,平面平面.2设直线与平面所成的角为,设是平面的一个非零法向量,则取,得.可取,又,于是,,关于递增.,.即直线与平面所成角的取值范围为.来源07年高考湖北卷题型解答题,难度中档PABCDEPABCDExyzFGH
①②OxyABCDE11A1B1E1ADBCECDABBAxyOCSzAEBCFSDAEBCFSDHGMAAEBCFSDGMyzxABCDOFxzABCDOFyBVADCADBCHVADBCVxyzADBCVxyADBCVxyz。