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洛阳师范学院本科毕业论文LUOYANGNOR__LUNIVERSITY2012届本科毕业论文正定矩阵的性质及__院(系)名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名李俊霞学号080414076指导教师黄盛讲师完成时间
2012.5正定矩阵的性质及__李俊霞数学科学学院数学与应用数学专业学号080414076指导教师黄盛摘要正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵,作为一种特殊的矩阵,当然有许多与其它矩阵不同的性质,本文首先给出了正定矩阵的若干性质.其次,给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用.最后对正定矩阵作了进一步的__,得到了广义正定矩阵的一些性质,并给出了相应的证明.关键词正定矩阵;广义正定矩阵;正对角矩阵;实对称矩阵关于正定矩阵的定义 本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵,它的常规定义为 定义阶实对称矩阵称为正定的,如果对都有.这种正定矩阵的全体记作. 年,首先提出了较广义的正定矩阵的定义,即 定义设,如果对,都有则称为正定矩阵这种正定矩阵的全体记作. 年,佟文廷把这种矩阵__为 定义设,如果对都有正对角矩阵=,使得,则称为广义的正定矩阵,记为,若与无关,则记为. 年,夏长富对这种正定矩阵作进一步__如下 定义设,如果对都存在使得称为广义正定矩阵,这种广义正定矩阵的__记为,若与无关,则把这样的广义正定矩阵的__记作.正定矩阵的判定定理 定理设是阶实对称矩阵,则下列命题等价 ; 对,都有; 的正惯性指数为,负惯性指数为0; 的各阶顺序主子式都大于0; 存在阶可逆矩阵,使; 存在阶可逆矩阵,使=; 的各阶主子式都大于0; 存在正定矩阵,使; 所有与合同的矩阵是正定矩阵; 的特征值都大于0; 半正定且; 设,则和是正定矩阵. 存在对角元素全大于零的上三角矩阵,使. 证明等价于 因为是实对称矩阵,所以可对角化,即存在正交矩阵,使,其中是的特征值,,所以 令=则是正定矩阵且=. 反之,因为是正定矩阵,所以是正定矩阵,即是正定矩阵. 等价于 设是与合同的矩阵,正定,下证正定,对,作非退化线性替换,则,因为是正定矩阵,所以,即,所以是正定矩阵. 反之,令是正定矩阵,则 ,因为是正定矩阵,与合同,由上面的证明可知,是正定矩阵. 等价于 是正定矩阵等价于是正定矩阵, ,等价于和是正定矩阵. 要证等价于,需先证明一个引理. 引理设为一个级实矩阵,且,则可以分解成,其中是正交矩阵,是一上三角矩阵. 证明设,其中是的列向量,因为,所以线性无关,可作为维线性空间的一组基,将其化为标准正交基,令 , , ,则=,将,,标准化,令,, ,则,是一组标准正交基,令,,则是正交矩阵,是一上三角矩阵,且对角元素大于零. 下面证明等价于 是正定矩阵等价于存在可逆矩阵,使,是上三角矩阵且对角元素大于0,同样的方法可证明下三角矩阵的情况.其余等价命题____.正定矩阵的性质 性质若是正定矩阵,则、、、也是正定矩阵. 证明因为是正定矩阵,所以存在阶可逆矩阵,使,则所以是正定矩阵. 另外,的特征值都大于,所以都大于,即的特征值都大于,所以也是正定矩阵. 对于任意的,,所以是正定矩阵. 因为=,所以是正定矩阵. 性质设,是阶正定实对称矩阵,且满足则也是正定实对称矩阵. 证明因为,所以是实对称矩阵,设是的一个特征值,是对应于的特征向量,则,,因为是正定矩阵,所以,,所以,即的特征值都大于,所以也是正定实对称矩阵. 由性质的证明过程可知,正定矩阵乘积的特征值大于. 性质若、都是正定矩阵,则是正定矩阵. 证明显然是实对称矩阵,对于任意的 ,有 ,所以是正定矩阵. 推论若、都是正定矩阵,则是正定矩阵. 性质若、都是正定矩阵,则. 证明因为是正定矩阵,所以存在可逆矩阵使得,显然是对称矩阵,则可对角化,所以存在正交矩阵使 =因为是正定矩阵,所以,令,则==分别对上式两边求行列式得,,,,所以,因为,所以. 此性质说明了对任意一个正定矩阵和一个实对称矩阵不一定是正定的存在可逆矩阵,使和都为对角矩阵. 性质为阶正定矩阵,则的元素的绝对值最大者,一定在主对角元上. 证明因为正定,从而的一切二阶主子式都大于,当时 .移项后,开方即得,,设的主对角元上最大元素为,再由上式,得,=,此即证.即的元素的绝对值最大者,一定在主对角元上. 性质为阶正定矩阵,则,其中为的主对角元素. 证明设,其中为的-1阶顺序主子式, 因为正定,所以正定,存在,于是 =,两边取行列式得,=,因为正定,所以正定,所以,.所以,同理,这样继续下去,可得. 性质若是正定矩阵,则也是正定矩阵. 证明因为是正定矩阵,所以的特征值,那么 ,即的特征值都大于0,所以是正定矩阵.正定矩阵的应用证明不等式 实对称矩阵称为正定矩阵,是指如果实二次型正定,,而二次型正定是指对任意,恒有,所以可用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式. 例求证. 证明设二次型=+,则的矩阵 =,的各阶顺序主子式=-5,=26,=-80所以是负定矩阵,则,即.求函数的极值 定义假定具有二阶连续偏导数,并记 它称为在的黑赛矩阵. 定理设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数,且是的稳定点.则当是正定矩阵时,在取得极小值;当是负定矩阵时,在取得极大值;当是不定矩阵时,在不取极值. 例求函数的极值点. 解由方程组 得的稳定点为,=2,,,,那么,是正定矩阵,所以是的极小值点,. 多元函数的情形 定义假设具有二阶连续偏导数,并记 ,它称为在的黑赛矩阵.定理设多元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数,且是的稳定点.则当是正定矩阵时,在取得极小值;当是负定矩阵时,在取得极大值;当是不定矩阵时,在不取极值.例求函数的极值.解由方程组得的稳定点为,,又的二阶偏导数为,,,,,.所以,其顺序主子式分别为0,,,所以是不定矩阵,在点处不取极值.,其顺序主子式分别为,,,所以是正定矩阵,由定理可知,在点处取极小值,极小值为.多项式因式分解 定理一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2且符号差为,或秩等于
1. 该定理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据,同时给出了判断能否分解的方法,并且可以很快得到分解式. 例试判断下列多项式在R上能否进行因式分解,若能,分解之. 解令,则=,只需考虑的秩和符号差,所对应的矩阵为,所以的秩为3,故不能分解所以不能分解. 令,则=,只需考虑的秩和符号差,作非退化线性替换 即 得,=其秩为2,符号差为,所以能因式分解,====.最小二乘法问题 最小二乘法问题线性方程组 可能无解.即任何一组数都可能使不等于零.我们设法找使其最小,这样的称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫做最小二乘法问题.定理令,,,则方程组的最小二乘解满足,或.判断二次曲线的形状可通过非退化线性替换将二次型化为标准型,从而判断二次曲线的形状.例判断二次曲线的形状.解设,令,则,对作非退化线性替换,令即则,从而,即,所以曲线表示椭圆.在的条件下求二次型的最值.定理设元二次型,则在条件下的最大值恰为矩阵的最大特征值,其中.证明令则作非退化线性替其中是由的特征向量正交化得到的矩阵,故有,其中是的特征值.所以记是中的最大值,是中的最小值,又所以,即在条件下的最大值恰为矩阵的最大特征值.例已知实数满足,求的最大值和最小值.解的矩阵,,解得的特征值为,,由定理得,的最大值为,最小值为.5正定矩阵的__ 定义设,如果对都存在使得则称为更广义正定矩阵,这种更广义正定矩阵的__记为,若与无关,则把这样的广义正定矩阵的__记作. 定义设,如果对,都存在使得,则称为更广义正定矩阵,这种更广义正定矩阵的__记为,若与无关,则把这样的广义正定矩阵的__记作. 各种定义有如下关系 证明显然; 对,有,即,为阶单位矩阵,当然是正对角矩阵,所以,所以; 对,存在正对角矩阵,使,显然,所以,所以; 对,存在使得,当然,所以,所以; 对,存在使得,因为,所以,所以,所以.广义正定矩阵的一些性质定理若,则.证明因为,则存在正对角矩阵,使,所以,所以,因为,所以.定理
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2、、都有.其证明方法都类似于定理,在这里就不再一一写出. 定理,,. 证明必要性 因为所以使则,令==所以==,, 或者,将改写为令==所以==. 充分性 不妨设,使,则=,因为所以对,有即因为所以. 定理说明,对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵,这也可作为广义正定矩阵的定义和判定定理. 定理设则存在正交矩阵,使得. 证明因为,所以存在使得,因为,所以存在正交矩阵,使为正对角矩阵,又 =,因为,所以对,有即因为为正对角矩阵,所以.结束语 通过本文的写作,使我对正定矩阵有了更加深入的认识,并且利用正定矩阵解决了代数中的一些问题.在此基础上,将正定矩阵作了进一步的__,得到了广义正定矩阵.致谢 本论文在选题及写作过程中得到黄盛老师的悉心指导,黄老师多次询问写作进程,并为我____,帮助我开拓研究思路,精心点拨、热忱鼓励.黄老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度,踏踏实实的精神,深深地感染和激励着我.正是由于他在百忙之中多次审阅全文,对细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵___,本文才得以成型.在此对黄老师表示由衷的感谢! 同时,也感谢大学里各位老师的教导以及班级同学的帮助和支持!____
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46.ThePropertiesofPositiveDefinite__trixandPromotionLIJun-xiaCollegeof__the__ticsScien__No080414076Tutor:HUANGShengAbstract:Positivedefinite__tri__sisakindofmoreimportantandwidespread__trixasakindofspecial__trixofcoursethereare__nydifferentpropertieswithother__trixthispapergivessomepropertiesofpositivedefinite__trix.Secondlygiventhepositivedefinite__trixinequalitiesinproofletthefunctionextremevaluepolynomialoffactoringdecompositionspecificapplicationonthepositivedefinite__trixwasfurtherpromotiongetsomepropertiesofthegeneralizedpositivedefinite__trixandthecorrespondi-ngproof.Keywords:positivedefinite__trix;generalizedpositivedefinite__trix;positivediagonal__trix;realsymmetric__tri__s1。