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圆学子梦想铸金字品牌温馨提示此套题为Word版,请按住Ctrl滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后阶段质量检测二/单元质量评估二(时间120分钟满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.F1,F2是定点,|F1F2|=7,动点M满足|MF1|+|MF2|=7,则M的轨迹是(A)椭圆(B)直线(C)线段(D)圆
2.椭圆2x2+3y2=6的长轴长是(A)(B)(C)(D)
3.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是(A)y=±x(B)y=±x(C)y=±x(D)y=±x
4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹是(A)椭圆(B)线段(C)不存在(D)椭圆或线段
5.(易错题)设椭圆双曲线抛物线y2=2(m+n)x(其中m>n>0)的离心率分别为e1e2e3则(A)e1e2>e3(B)e1e2<e3(C)e1e2=e3(D)e1e2与e3大小不确定
6.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(A)(B)(C)(D)37.(2012·石家庄高二检测)设k<3k≠0,则二次曲线与必有A不同的顶点B不同的准线C相同的焦点D相同的离心率
8.设双曲线的—个焦点为F,虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)
9.已知点A02,B20.若点C在抛物线x2=y的图象上,则使得△ABC的__为2的点C的个数为(A)4(B)3(C)2(D)
110.已知椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(A)(B)a2=13(C)(D)b2=
211.已知双曲线的两条渐近线的夹角为则双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)
212.已知A、B为抛物线C y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若则直线AB的斜率为(A)(B)(C)(D)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上)
13.已知正方形ABCD,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为_______.
14.(能力题)直线y=x+3与曲线的公共点的个数为______.
15.(2012·__高二检测以抛物线的焦点F为右焦点且两条渐近线是x±y=0的双曲线方程为______.
16.抛物线y2=x上存在两点关于直线y=mx-3对称则m的范围是______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为;
(2)顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x.
18.(12分)(2012·宁波高二检测)已知椭圆的中心在原点,焦点为F1(0,),且离心率e=
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A,B,且线段AB中点的横坐标为,求直线l斜率的取值范围.
19.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?
20.(12分)设双曲线C的离心率为e,若右准线l与两条渐近线相交于P,Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得弦长为求双曲线C的方程.
21.(12分)设椭圆方程为过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A,B,O是坐标原点,点P满足点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值.
22.(12分)(2012·江西高考)已知三点O
(00),A(-21),B
(21),曲线C上任意一点M(xy)满足
(1)求曲线C的方程;
(2)点Q(x0y0)-2x02是曲线C上的动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的__之比.答案解析
1.【解析】选C.由于点M满足|MF1|+|MF2|=|F1F2|,点M在线段F1F2上,故选C.
2.【解析】选D.椭圆方程化标准形式所以长轴长为
3.【解析】选D.∵y2=8x焦点是(2,0),∴双曲线的半焦距c=2又虚半轴长b=1且a>0,所以∴双曲线的渐近线方程是
4.【解析】选D.由|PF1|+|PF2|=a≥=6,当|PF1|+|PF2|=6时轨迹为线段,当|PF1|+|PF2|>6时轨迹为椭圆.
5.【解题指南】本题解题关键是由方程的标准式,求出对应的abc,进而求出离心率.【解析】选B.由离心率的概念得则又m>n>0所以e1e2<1=e3故选B.
6.【解析】选A.设与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为4x+3y+c=0,与抛物线联立方程组得消去y得3x2-4x-c=0,Δ=(-4)2-4×3×(-c)=0,解得c=,则抛物线与直线4x+3y-8=0平行的切线是4x+3y=0,问题转化为两平行线间的距离,利用两平行线间的距离公式得故选A.7.【解析】选C.当0<k<3时,则0<3-k<3∴表示实轴为x轴的双曲线,a2+b2=3=c
2.∴两曲线有相同焦点;当k<0时,-k>0且3-k>-k,∴表示焦点在x轴上的椭圆.a2=3-kb2=-k.∴a2-b2=3=c2与已知椭圆有相同焦点.
8.【解析】选D.不妨设双曲线方程为则可令F(c0)B0b,直线FB bx+cy-bc=0与渐近线y=x垂直,所以即b2=ac,所以c2-a2=ac即e2-e-1=0所以或(舍去).【方法技巧】离心率求解策略
(1)利用圆锥曲线方程设法求出圆锥曲线的方程,再依方程求出abc,进而求出离心率;
(2)借助题目中的等量关系充分利用已知条件中等量关系求出abc的等量关系,再对其等量关系进行变形,从而求出ac的关系;
(3)巧用圆锥曲线中的线段关系圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形,掌握各平面图形自身特点,能快速找到对应的等量关系,如直径所对角为直角.
9.【解析】选A.由已知可得|AB|=,要使S△ABC=2,则点C到直线AB的距离必须为2,设Cx,x2,而lAB x+y-2=0,所以有所以x2+x-2=±2,当x2+x-2=2时,有两个不同的C点;当x2+x-2=-2时,亦有两个不同的C点.因此满足条件的C点有4个,故应选A.
10.【解析】选C.由双曲线知渐近线方程为y=±2x,又∵椭圆与双曲线有公共焦点,∴椭圆方程可化为b2x2+b2+5y2=b2+5b2,联立直线与椭圆方程消y得,设直线与椭圆一交点为Exyx>0y>0则∵2|OE|=|AB|=2a∴2|OE|=解得
11.【解析】选A.如图所示,双曲线的渐近线方程为y=若∠AOB=,则θ=∴a=又∵
12.【解析】选D.由知F,A,B三点共线,不妨设FB长度为1个单位,则|FA|为4个单位,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为C,D则有|AC|=4,|BD|=1,过B点作BE垂直AC,垂足为E,有|AE|=3,由此得∠EAB的正切值为,由抛物线的对称可知有两条这样的直线.即得直线AB的斜率.
13.【解析】设正方形边长为1,则|AB|=2c=1∴c=|AC|+|BC|=1+=2a答案
14.【解析】当x≥0时,方程化为当x0时,化为∴曲线是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),直线y=x+3与曲线的公共点的个数为3.答案3【方法技巧】直线与圆锥曲线位置的判断判断直线与圆锥曲线间的位置关系,一般用数形结合法.当直线的斜率不存在或为0时,用图形易判定直线与圆锥曲线间的关系;当直线的斜率存在且不为0时,可联立方程用判别式确定方程根的个数,进而确定直线与圆锥曲线间的关系,做题时要特别注意下面几点
(1)若直线过椭圆内一点,则直线与椭圆一定相交.
(2)直线与双曲线相交有两种情形,一是两交点在双曲线的一支上,二是两交点分居两支.直线与双曲线只有一个公共点也有两种情形,一是直线与双曲线相切(对应判别式为0),二是直线与双曲线相交只有一个交点(对应方程二次项系数为0).
(3)直线与抛物线只有一个公共点,也有两种情形,一是直线与抛物线相交,(此时直线与对称轴平行或重合),二是直线与抛物线相切(对应判别式为0).
15.【解析】抛物线y2=8x的焦点F为
(20),设双曲线方程为x2-3y2=λ,∴λ=9,双曲线方程为答案【变式备选】已知抛物线的方程是y2=8x,双曲线的右焦点是抛物线的焦点,离心率为2,则双曲线的标准方程是_______,其渐近线方程是_______.【解析】由抛物线的方程y2=8x得焦点为
(20),所以双曲线的实轴在x轴上,且c=2,又离心率为2,所以a=1,又由b2=c2-a2得b2=3所以双曲线的标准方程是其渐近线方程是答案
16.【解析】设抛物线上两点Ax1y1Bx2y2关于直线y=mx-3对称,A,B中点Mxy,则当m=0时,有直线y=0,显然存在点关于它对称.当m≠0时,所以所以M的坐标为∵M在抛物线内,则有得且m≠0,综上所述,m∈答案【一题多解】设两点为Ax1,y1Bx2,y2,它们的中点为Mx,y,两个对称点连线的方程为x=-my+b,与方程y2=x联立,得y2+my-b=0(*)所以y1+y2=-m,即y=,又因为中点M在直线y=mx-3上,所以得M的坐标为又因为中点M在直线x=-my+b上,b=对于(*),有Δ=m2+4b=10-m20,所以答案
17.【解析】
(1)焦点在x轴上,设所求双曲线的方程为由题意,得解得a=8c=10b=
6.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为
(2)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的方程为由题意,得解得a=3b=.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为同理可求当焦点在y轴上时双曲线的方程为
18.【解析】
(1)设椭圆方程为由已知c=又解得a=3所以b=1故所求方程为
(2)设直线l的方程为y=kx+t(k≠0)代入椭圆方程整理得(k2+9)x2+2ktx+t2-9=0由题意得解得k>或k<-.
19.【解析】
(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴所求轨迹的方程为x2=4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在,又抛物线方程为x2=4y当直线AB斜率为0时|PQ|=.当直线AB斜率k不为0时,设中点坐标为(t2)P(x1y1)Q(x2y2)则有两式作差得即得则直线方程为与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=
0.由根与系数的关系得x1+x2=2tx1x2=2t2-8即|PQ|的最大值为
6.
20.【解析】
(1)双曲线C的右准线l的方程为,与x轴的交点为M两条渐近线方程为:y=±.∴两交点坐标为∵△PFQ为等边三角形,则有|MF|=|PQ|(如图).解得b=ac=2a∴e==
2.
(2)由
(1)得双曲线C的方程为把y=ax+a代入得(a2-3)x2+2a2x+6a2=
0.依题意∴a2<6,且a2≠
3.∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为整理得13a4-77a2+102=
0.∴a2=2或∴双曲线C的方程为或
21.【解析】
(1)直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为y=kx+
1.记Ax1y1Bx2y2,由题设可得点A、B的坐标是方程组的解.将
①代入
②并化简得4+k2x2+2kx-3=0,所以于是设点P的坐标为xy则消去参数k得4x2+y2-y=
0.
③当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程
③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=
0.
(2)由点P的轨迹方程知x2≤即-≤x≤.所以故当x=时,取得最小值,最小值为.当x=-时,取得最大值,最大值为.
22.【解析】1由得由已知得化简得曲线C的方程是x2=4y.2直线PAPB的方程分别是y=-x-1y=x-1曲线C在Q处的切线l的方程是且与y轴的交点为F0分别联立方程组解得DE的横坐标分别是则xE-xD=2|FP|=故而则即△QAB与△PDE的__之比为
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