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第十章套期保值行为套期保值(Hedging)是所有衍生金融工具产生的最主要动因之一,也是金融工程学的主要运用领域之一第一节套期保值的基本原理
一、套期保值的定义和原理套期保值是指已面临__风险的主体利用一种或几种套期保值工具试图抵消其所冒风险的行为从衍生证券定价过程可知,衍生证券的__跟标的资产__之间存在着密切的__由此我们可以进一步推论同一标的资产的各种衍生证券__之间也保持着密切的关系
①这样,我们就可以用衍生证券为标的资产保值,也可以用标的资产为衍生证券保值,还可以用衍生证券为其它衍生证券保值一般来说,若保值工具与保值对象的__正相关,我们就可利用相反的头寸(如多头对空头,或空头对多头)来进行套期保值;若保值工具与保值对象的__呈负相关,我们就可利用相同的头寸(如多头对多头,空头对空头)来进行套期保值本章仅论述用衍生证券为标的资产保值的情况其原理可同样用于其它两种保值情况为了论述方便,我们把运用衍生证券多头进行的套期保值称为多头套期保值,把运用衍生证券空头进行的套期保值称为空头套期保值
二、套期保值的目标人们通常把风险定义为一个变量的均方差,它等于各种可能的实际值偏离(包括上偏下偏)期望值幅度的绝对值的加权平均数可见,风险具有两面性它既有有利的部分,也有不利的部分若站在事前的角度看,若变量的分布遵循正态分布的话,则有利部分与不利部分在量上是相等的根据主体的态度,套期保值目标可分为双向套期保值和单向套期保值双向套期保值就是尽量消除所有__风险,包括风险的有利部分和不利部分单向套期保值就是只消除风险的不利部分,而保留风险的有利部分为了实现双向套期保值目标,避险主体可运用远期、期货、互换等衍生证券为了实现单向套期保值目标,避险主体则可利用期权及跟期权相关的衍生证券双向套期保值在把风险的不利部分转嫁出去的同时,也把有利部分转嫁出去但由于避险者可以几乎不付任何代价就可取得远期、期货和互换的多头或空头,因此双向套期保值的成本较低单向套期保值只把风险的不利部分转嫁出去,而把有利部分留给自己但由于取得看涨期权和看跌期权的多头均需支付期权费,因此单向套期保值的成本较高选择哪种套期保值目标取决于避险主体的风险厌恶程度对于一个极度厌恶风险的人来说,风险有利部分带给他的正效用远远小于等量的风险不利部分带给他的负效用,因此往往倾向于选择双向套期保值而对于一个厌恶风险程度较轻的人来说,风险有利部分带给他的正效用只略小于等量的风险不利部分带给他的负效用,因此往往倾向于选择单向套期保值选择哪种套期保值策略还取决于避险主体对未来__走向的预期,如果避险主体预期__上升(或下降)的概率大大高于下降(或上升)的概率,则他倾向于选择期权进行单向套期保值而如果避险主体预期__上升与下降的概率相当,则他倾向于选择双向套期保值
三、套期保值的效率很多人把套期保值的效率与套期保值的盈亏相混淆实际上,两者是完全不同的概念套期保值的盈亏指的是实施与未实施套期保值两种情况下实际结果的差异若实施套期保值的结果优于未实施套期保值的结果,则称套期保值是盈利的;反之则是亏损的而套期保值的效率指的是套期保值的目标与套期保值的实际结果之间的差异若实际结果与目标相等,则称套期保值效率为100%;若实际结果比目标更有利,则套期保值效率大于100%;若实际结果比目标较不利,则套期保值效率小于100%为了进一步说明两个概念的区别,我们举一个简单的例子例
10.1一家德国汽车制造商接到美国进口商价值100万美元的订单,三个月后装船,装船后一个月付款出于稳健经营的考虑,该制造商决定卖出4个月远期美元进行避险,假设4个月远期美元汇率为1美元=
1.6000德国马克,则该制造商在4个月后收到德国马克预期值(即套期保值目标)为160万德国马克假设4个月后美元的即期汇率为1美元=
1.5000德国马克,那么套期保值的实际结果仍为160万德国马克,而在没有套期保值情况下,该制造商只能得到150万德国马克,在这种情况下,套期保值将产生10万德国马克的“盈利”假设4个月后美元的即期汇率为1美元=
1.7000德国马克,那么套期保值的实际结果还是160万德国马克,而未套期保值情况下,该制造商将得到170万德国马克在这种情况下,套期保值将产生10万德国马克的“亏损”在上述两种情况下,套期保值的实际结果与目标都是一样的(即160万德国马克),因此套期保值效率等于100%,称为完全套期保值第二节基于远期的套期保值
一、基于远期利率协议的套期保值
(一)多头套期保值所谓远期利率协议的多头套期保值,就是通过签订远期利率协议,并使自己处于多头地位(简称买入远期利率协议)以避免未来利率上升给自己造成损失其结果是将未来的利率水平固定在某一水平上它适用于打算在未来筹资的公司、以及打算在未来某一时间出售现已持有的未到期__债券的持有者例
10.2某公司计划在3个月之后借入一笔为期6个月的1000万美元的浮动利率债务根据该公司的信用状况,该公司能以6个月期的LIBOR利率水平借入资金,目前6个月期的LIBOR利率水平为6%,但该公司担心3个月后LIBOR将上升为此,它可以买入一份名义本金为1000万美元的39远期利率协议假设现在银行挂出的39以LIBOR为参照利率的远期利率协议的报价为
6.25%,那么该借款者就可以把借款利率锁定在
6.25%的水平上为了证明这一点,我们假定3个月后6个月期LIBOR升至7%则该公司在实际借款时只能以7%的利率借款,结果一笔1000万美元、为期6个月的借款将使该公司在9个月后多支付37500美元的利息但同时,由于该公司已经买入远期利率协议,银行在3个月后的结算日应支付一笔结算金给该公司,该结算金为美元该公司在3个月后得到这
36231.88美元的结算金后,可按当时的即期利率7%贷出6个月
①9个月后,该公司将收回37500美元的本息,刚好抵消掉多支付的37500美元的利息,从而使公司实际借款利率固定在
6.25%的水平上相反,若3个月后6个月期LIBOR降至
5.5%,则该公司在实际借款时将少支付37500美元的利息,但它需在3个月后支付银行一笔数额为
36231.88美元的结算金,该结算金在9个月后的终值为37500美元,因此其实际借款利率仍为
6.25%
(二)空头套期保值远期利率协议的空头套期保值刚好相反,它是通过卖出远期利率协议来避免利率下降的风险,适用于打算在未来投资的投资者例
10.3假设某公司财务部经理预计公司1个月后将收到1000万美元的款项,且在4个月之内暂时不用这些款项,因此可用于短期投资他担心1个月后利率下跌使投资回报率降低,就可以卖出一份本金为1000万美元的14远期利率协议假定当时银行对14远期利率协议的报价为8%,他就可将1个月之后3个月期的投资回报率锁定在8%
二、基于直接远期外汇合约的套期保值
(一)多头套期保值多头套期保值就是通过买入直接远期外汇合约来避免汇率上升的风险,它适用于未来某日期将支出外汇的机构和个人,如进口、出国旅游、到期偿还外债,计划进行外汇投资等例
10.4某年6月15日,一家美国进口商与一家英国进口商签订了一份价值100万英镑的进口合同,合同约定9月15日付款,当时英镑的即期汇率为1英镑=
1.5600美元,3个月远期英镑汇率为1英镑=
1.5800美元为了避免英镑汇率上升的风险,美国进口商买进3个月期远期英镑这样,在9月15日付款时,他就把英镑汇率固定在1英镑=
1.5800美元左右
(二)空头套期保值空头套期保值就是通过卖出直接远期外汇合约来避免外汇汇率下降的风险,它适用于未来某日期将收到外汇的机构和个人,如出口、提供劳务、现有的对外投资、到期收回贷款等例
10.5__某机构对美国国库券的投资将于12月20日到期,到期将收回1000万美元当时(同年6月20)美元即期汇率为1美元=120日元,12月20日到期的远期汇率为1美元=118日元该机构担心到时美元贬值,就卖出12月20日到期的1000万美元远期,从而把汇率固定在1美元=118日元上
(三)交叉套期保值当两种货币之间(如日元和加元之间)没有合适的远期合约时,套期保值者可利用第三种货币(如美元)来进行交叉套期保值如一家___公司要对一笔3个月后收到的日元款项进行保值,它可买进日元远期(即用美元买日元),同时卖出加元远期(即用加元买美元),来进行交叉套期保值
三、基于远期外汇综合协议的套期保值远期外汇综合协议实际上就是远期的远期外汇合约,因此运用远期外汇综合协议进行套期保值时,保值的对象不是未来某一时点的即期汇率,而是未来某一时点一定期限的远期汇率例如,3个月9个月远期外汇综合协议保值的对象是3个月后6个月期的远期汇率运用远期外汇综合协议进行套期保值也可分为多头、空头和交叉套期保值,其原理与前面的相同,故不再重复,在此仅举一例加以说明例
10.6美国一家外贸公司与银行签订了一份贷款协议,协议规定1个月后银行贷款1000万英镑给该公司,贷款期限为6个月为了避免英镑汇率波动给公司造成损失,该公司可卖出1个月期的远期英镑,同时买进1个月7个月远期英镑进行套期保值第三节基于期货的套期保值在上一节的例子中,套期保值效果都很好在实际运用中,套期保值的效果将由于如下三个原因而受到影响需要避险的资产与避险工具的标的资产不完全一致;套期保值者可能并不能确切地知道未来拟出售或__资产的时间;需要避险的期限与避险工具的期限不一致在这些情况下,我们就必须考虑基差风险、合约的选择、套期保值比率、久期等问题实际上,远期和期货的套期保值原理是相同的,因此以下的分析也适用于远期
一、基差风险在第3章讨论远期和期货__时,我们曾把基差简单地定义为现货__与期货__之差在考虑套期保值的情况下,基差的准确定义(或者说广义)为基差=拟套期保值资产的现货__一所使用合约的期货__如果拟套期保值的资产与期货的标的资产一致,则在期货合约到期日基差应为零,而在到期日之前基差可能为正值或负值如果拟套期保值的资产与期货的标的资产不一致,则不能保证期货到期日基差等于零当套期保值期限已到,而基差不为零时,套期保值就存在基差风险为进一步说明套期保值的基差风险,我们令t1表示进行套期保值的时刻,t2表示套期保值期限结束时刻,S1表示t1时刻拟保值资产的现货__,S*1表示t1时刻期货标的资产的现货__,F1表示t1时刻期货__,S
2、S2*和F2分别表示t2时刻拟保值资产的现货__、标的资产的现货__及其期货__、b
1、b2分别表示t1和t2时刻的基差根据基差的定义,我们有对于空头套期保值来说,套期保值者在t1时刻知道将于t2时刻出售资产,于是在t1时刻持有期货空头,并于t2时刻平仓,同时出售资产因此该套期保值者出售资产获得的有效__(Se)为(
10.1)式(
10.1)中的和代表了基差的两个组成部分第一部分就是我们在第12章中讨论的狭义的基差,而第二部分表示两项资产不一致而产生的基差由于F1已知,而b2未知,因此,套期保值后出售资产获得的有效__存在基差风险若b2b1,则对空头套期保值者较有利;若b2b1,则对空头套期保值者不利同样,对于多头套期保值者来说,他在t1时刻持有期货多头,并于t2时刻平仓,同时买入资产他通过套期保值__资产所支付的有效__跟(
10.1)式是一样的这说明,若b2b1,对多头套期保值者有利可见,在有些情况下,通过期货套期保值并不能完全消除__风险,因为通过套期保值后收取或支付的有效__中均含有基差风险但相对原有的__风险而言,基差风险小多了
二、合约的选择为了降低基差风险,我们要选择合适的期货合约,它包括两个方面选择合适的标的资产,选择合约的交割月份选择标的资产的标准是标的资产__与保值资产__的相关性相关性越好,基差风险就越小因此选择标的资产时,最好选择保值资产本身,若保值资产没有期货合约,则选择与保值资产__相关性最好的资产的期货合约在选择合约的交割月份时,要考虑是否打算实物交割对于大多数金融期货而言,实物交割的成本并不高,在这种情况下,通常应尽量选择与套期保值到期日相一致的交割月份,因为这时将等于零,从而使基差风险最小但是,如果实物交割很不方便的话,那他就应选择随后交割月份的期货合约这是因为交割月份的期货__常常很不稳定,因此在交割月份平仓常常要冒较大的基差风险若套期保值者不能确切地知道套期保值的到期日,他也应选择稍后交割月份的期货合约例
10.71月20日,美国某公司预计将在8月初得到1亿日元IMM日元期货的交割月为3月份、6月份、9月份和12月份,每一合约规模为1250万日元为避免日元贬值,该公司在1月20日卖出8份9月份日元期货,期货__为1日元=
0.8300美分8月初,公司收到1亿日元时,就平仓其期货空头假定此时日元现货和期货__分别为1日元=
0.7800美分和
0.7850美分,即平仓时基差为-
0.0050美分,则该公司在8月份卖出日元收到的有效__等于此时的现货__加上期货的盈利,也等于期初的期货__加上最后的基差美分/日元公司收到的美元总额为
82.5万美元
三、套期比率的确定套期比率是指期货合约的头寸规模与套期保值资产规模之间的比率当套期保值资产__与标的资产的期货__相关系数等于1时,为了使套期保值后的风险最小,套期比率应等于1而当相关系数不等于1时,套期比率就不应等于1为了推导出套期比率(h)与相关系数()之间的关系,我们令和代表套期保值期内保值资产现货__S的变化和期货__F的变化,代表的标准差,代表的标准差,代表套期保值组合的标准差对于空头套期保值组合来说,在套期保值期内组合价值的变化为对于多头套期保值组合业说,为在以上两种情况下,套期保值组合__变化的方差都等于(
10.2)最佳的套期比率必须使最小化为此对h的一阶偏导数必须等于零,而二阶偏导数必须大于零从式(
10.2)可得令,我们就可得出最佳套期比率(
10.3)式(
10.3)表明,最佳的套期比率等于和之间的相关系数乘以的标准差与的标准差的比率当我们用股价指数期货为股票组合套期保值时,最佳的套期比率为(
10.4)其中,为该股票组合与股价指数的系数这是因为根据式(
3.20),其中,SI代表股价指数,为已知数,因此股票组合与股价指数的系数可近似地用股票组合与股价指数期货的系数来代替这样,根据系数的定义,我们有其中,代表股票组合与股价指数期货的协方差根据的定义,,我们有例
10.8某公司打算运用6个月期的SP500股价指数期货为其价值500万美元的股票组合套期保值,该组合的值为
1.8,当时的期货__为400由于一份该期货合约的价值为400500=20万美元,因此该公司应卖出的期货合约的数量为份
四、滚动的套期保值由于期货合约的有效期通常不超过1年,而套期保值的期限有时又长于1年,在这种情况下,就必须采取滚动的套期保值策略,即建立一个期货头寸,待这个期货合约到期前将其平仓,再建立另一个到期日较晚的期货头寸直至套期保值期限届满如果我们通过几次平仓才实现最终的套期保值目的,则我们将面临几个基差风险例
10.92003年11月,美国某公司借入2年期、到期本息为1000万英镑的债务,为避免英镑升值的风险,该公司决定用英镑期货滚动保值由于IMM每份英镑期货合约的价值为62500英镑,因此该公司买进160份2004年9月到期的英镑期货,假定此时英镑期货__为1英镑=
1.6500美元到2004年8月,该公司卖出160份2004年9月到期的英镑期货,同时买进160份2005年6月到期的英镑期货假定此时平仓价和买进价分别为
1.6550美元和
1.6570美元到2005年5月,该公司平仓6月期货,并买进160份2005年12月到期的英镑期货假定当时平仓价和买进价分别为
1.6600美元和
1.6630美元到2005年11月,该公司卖掉160份12月到期的英镑期货,同时在现货市场上买入1000万英镑用于还本付息假定此时平仓价和现货价分别为
1.6650美元和
1.6655美元在本例中,该公司买进英镑的有效__为
1.6655+
1.6500-
1.6550+
1.6570-
1.6600+
1.6630-
1.6650=
1.6555美元
五、久期与套期保值我们知道,当市场利率变动时,债券__的变动幅度取决于该债券的久期,而利率期货__的变动幅度也取决于利率期货标的债券的久期,因此我们就可根据保值债券与标的债券的久期来计算套期比率令S和DS分别表示需进行套期保值资产的__和久期,F表示利率期货的__,DF表示期货合约标的债券的久期根据久期的定义,当收益率曲线只发生平行__,且收益率(y)是连续复利率时,通过合理的近似,我们还可得到因此,为了对冲收益率变动对保值债券价值的影响,所需要的期货合约数(N)为(
10.5)这就是基于久期的套期比率例
10.102003年11月20日,某基金管理者持有2000万美元的美国__债券,他担心市场利率在未来6个月内将剧烈波动,因此他希望通过卖空2004年6月到期的__国债期货合约,该合约目前市价为94—06,即
94.1875美元,该合约规模为10万美元面值的__国债,因此每份合约价值
94187.50美元假设在未来6个月内,需保值的债券的平均久期为
8.00年,又假定__国债期货合约的交割最合算的债券是30年期年息票利率为13%的国债未来6个月该债券平均久期为
10.3年请问他应卖空多少份__国债期货?根据式(
10.5),他应卖空的期货合约数为份应该注意的是,基于久期的套期保值是不__的,存在着较多的局限性,它没有考虑债券__与收益率关系曲线的凸度问题,而且它是建立在收益率曲线平移的假定上,因此在实际运用时要多加注意第四节基于期权的套期保值当我们运用衍生证券为标的资产或其它衍生证券进行套期保值时,一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量(如标的资产__、时间、标的资产__的波动率、无风险利率等)的敏感性,然后建立适当数量的衍生证券头寸,组成套期保值组合,使组合中的保值工具与保值对象的__变动能相互抵合我们将在本节以期权为例来说明这种套期保值技术,这种保值技术称为动态套期保值
一、Delta与套期保值衍生证券的Delta用于衡量衍生证券__对标的资产__变动的敏感度,它等于衍生证券__变化与标的资产__变化的比率换句说说,衍生证券的Delta值等于衍生证券__对标的资产__的偏导数,它是衍生证券__与标的资产__关系曲线的斜率
(一)Delta值的计算及特征令f表示衍生证券的__,S表示标的资产的__,表示衍生证券的Delta,则(
10.6)从第3章关于远期合约价值的计算公式可知股票的远期合约的恒等于1这意味着我们可用一股股票的远期合约空头(或多头)为一股股票多头(或空头)保值,且在合约有效期内,无需再调整合约数量根据布莱克——舒尔斯无收益资产期权定价公式(即式(
6.23)和(
6.24)),我们可以算出无收益资产看涨期权的Delta值为无收益资产欧式看跌期权的Delta值为其中d1的定义与式(
6.23)相同根据累积标准正态分布函数的性质可知,,因此无收益资产看涨期权的总是大于0但小于1,而无收益资产欧式看跌期权的总是大于-1小于0从d1定义可知,期权的值取决于S、r、和T-t,根据期权__曲线的形状(如图
5.4和图
5.5所示),我们可知无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值与标的资产__的关系如图
10.1(a)和(b)所示DeltaDelta0S1X-
1.00SXa看涨期权b看跌期权图
10.1无收益资产看涨期权和看跌期权的值与标的资产__的关系从N(d1)函数的特征还可得出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权在实值、平价和虚值三种状况下的值与到期期限之间的关系如图
10.2a和b所示DeltaDelta0T-t
1.0实值期权实值期权-
0.5平价期权平价期权
0.5虚值期权虚值期权-10T-ta看涨期权b看跌期权图
10.2无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的Delta与到期期限之间的关系此外,无风险利率水平越高,无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值也越高,如图
10.3(a)和(b)所示DeltaDeltar1-1ra看涨期权b看跌期权图
10.3无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta值与r之间的关系然而,标的资产__波动率()对期权值的影响较难确定,它取决于无风险利率水平S与X的差距、期权有效期等因素但可以肯定的是,对于较深度虚值的看涨期权和较深度实值的看跌期权来说,是的递增函数,其图形与图
10.3(a)和(b)相似对于支付已知红利率q(连续复利)的股价指数的欧式看涨期权来说,其值为对于支付已知红利率q股价指数的欧式看跌期权来说,其值为对于欧式外汇看涨期权而言,对于欧式外汇看跌期权而言,上述d1的定义要根据第6章的方法进行适当调整对于欧式期货看涨期权而言,对于欧式期货看跌期权而言,上述d1的定义分别与式(
6.25)和(
6.26)相同根据第3章的期货定价公式,我们也可算出各种期货合约的值无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合约的值为支付已知收益率(q)资产期货合约的值为对于标的资产本身来说,其值等于1
(二)证券组合的Delta值与Delta中性状态当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证券时,该证券组合的值就等于组合中各种衍生证券值的总和(
10.7)其中,wi表示第i种证券(或衍生证券)的数量,i表示第i种证券或衍生证券的值由于标的资产和衍生证券可取多头或空头,因此其值可正可负,这样,若组合内标的资产和衍生证券数量配合适当的说,整个组合的值就可能等于0我们称值为0的证券组合处于Delta中性状态当证券组合处于中性状态时,组合的价值在一个短时间内就不受标的资产__的影响,从而实现了瞬时套期保值,因此我们将使证券组合的值等于0的套期保值法称为中性保值法例
10.10美国某公司持有100万英镑的现货头寸,假设当时英镑兑美元汇率为1英镑=
1.6200美元,英国的无风险连续复利年利率为13%,美国为10%,英镑汇率的波动率每年15%为防止英镑贬值,该公司打算用6个月期协议__为
1.6000美元的英镑欧式看跌期权进行保值,请问该公司应买入多少该期权?英镑欧式看跌期权的值为而英镑现货的值为+1,故100万英镑现货头寸的值为+100万为了抵消现货头寸的值,该公司应买入的看跌期权数量等于万即,该公司要买入
218.34万英镑的欧式看跌期权应该注意的是,投资者的保值组合维持在Delta中性状态只能维持一个相当短暂的时间随着S、T-t、r和的变化,值也在不断变化,因此需要定期调整保值头寸以便使保值组合重新处于中性状态,这种调整称为再均衡(Rebalancing),而这些步骤调整需要较高的手续费,因此套期保值者应在成本与可容忍的风险之间进行权衡
二、Theta与套期保值衍生证券的Theta()用于衡量衍生证券__对时间变化的敏感度,它等于衍生证券__对时间t的偏导数(
10.8)对于无收益资产的欧式和美式看涨期权而言根据累积标准正态分布函数的特性,因此,对于无收益资产的欧式看跌期权而言,对于支付已知收益率q的股价指数看涨期权而言,对于支付已知收益率q的股价指数看跌期权而言,将q换作,上述最后两个式就是外汇看涨期权和欧式外汇看跌期权Theta的公式将q换作r,S换作F,可得期货看涨期权和欧式期货看跌期权的Theta公式当越来越临近到期日时,期权的时间价值越来越小,因此期权的Theta几乎总是负的
①期权的Theta值同时受S、(T-t)、r和的影响无收益资产看涨期权的的值与标的资产__的关系曲线如图
10.4所示当S很小时,近似为0,当S在X附近时,很小当S升高时,当S升高时,趋近于Theta0XS图
10.4无收益资产看涨期权Theta值与S的关系无收益资产看涨期权的值与(T-t)的关系跟(S-X)有很大关系(如图
10.5所示)Theta0T-t虚值期权实值期权平价期权图
10.5无收益资产看涨期权和Theta值与有效期之间的关系Theta值与套期保值没有直接的关系,但它与Delta及下文的Gam__值有较大关系
三、Gam__与套期保值
(一)Gam__的计算及特征衍生证券的Gam__()用于衡量该证券的Delta值对标的资产__变化的敏感度,它等于衍生证券__对标的资产__的二阶偏导数,也等于衍生证券的Delta对标的资产__的一阶偏导数由于看涨期权与看跌期权的Δ之间只相差一个常数,因此两者的值总是相等的(
10.9)根据布莱克——斯科尔斯无收益资产期权定价公式,我们可以算出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值为无收益资产期权的值总为正值,但它会随着S、(T-t)、r和的变化而变化图
10.6和
10.7分别表示了它与S及(T-t)的关系Gam__0SX图
10.6无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gam__值与S的关系从图
10.6可以看出,当S在X附近时,值最大,即值对于S最敏感从图
10.7可以看出,对于平价期权来说,期权有效期很短时,Gam__值将非常大,即值对S非常敏感对于支付已知连续收益率q的股价指数欧式期权而言,用替代上式的q,我们就可得到欧式外汇期权的Gam__计算公式,用r替换q,用F替换S,我们就可得欧式期货期权的Gam__计算公式对于标的资产及远期和期货合约来说,Gam__值均为0Gam__S=XSXSX0T-t图
10.7无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gam__值与T-t的关系
(二)证券组合的Gam__值与Gam__中性状态当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证券时,该证券组合的值就等于组合内各种衍生证券值的总和(
10.10)其中,wi表示第i种证券(或衍生证券)的数量,表示第i种证券(或衍生证券)的值由于标的资产远期和期货的值均为零,因此证券组合的值实际上等于该组合内各种期权的数量与其值乘积的总和由于期权多头的值总是正的,而期权空头的值总是负的,因此若期权多头和空头数量配合适当的话,该组合的值就等于零我们称值为零的证券组合处于Gam__中性状态证券组合的值可用于衡量中性保值法的保值误差这是因为期权的值仅仅衡量标的资产__S微小变动时期权__的变动量,而期权__与标的资产__的关系曲线是一条曲线,因此当S变动量较大时,用估计出的期权__的变动量与期权__的实际变动量就会有偏差(如图
10.8所示)看涨期权__′c1c0SS0S1图
10.8Delta对冲的误差从图
10.8可以看出,当标的资产__人S0上涨到S1时,Delta中性保值法假设期权__从c0增加到c1,而实际上是从c0增加到,c1和之间的误差就是Delta中性保值的误差这种误差的大小取决于期权__与标的资产__之间关系曲线的曲度值越大,该曲度就越大,中性保值误差就越大为了消除中性保值的误差,我们应使保值组合的中性化为此应不断地根据原保值组合的值,买进或卖出适当数量标的资产的期权,以保持新组合中性,同时调整标的资产或期货合约的头寸,以保证新组合中性由于证券组合的值会随时间变化而变化,因此随时间流逝,我们要不断调整期权头寸和标的资产或期货头寸,才能保持保值组合处于中性和中性状态例
10.11假设某个中性的保值组合的值等于-5000,该组合中标的资产的某个看涨期权多头的和值分别等于
0.80和
2.0为使保值组合中性,并保持中性,该组合应__多少份该期权,同时卖出多少份标的资产?该组合应购入的看涨期权数量等于份由于购入2500份看涨期权后,新组合的值将由0增加到
25000.80=2000因此,为保持中性,应出售2000份标的资产
(三)Delta,Theta和Gam__之间的关系在第6章,我们曾讨论过无收益资产的衍生证券__f必须满足布莱克——斯科尔斯微分方程(式
6.20),即根据我们在本节的定义,因此有(
10.11)该公式对无收益资产的单个衍生证券和多个衍生证券组合都适用对于处于中性状态的组合来说,这意味着,对于中性组合来说,若为负值并且很大时,将会为正值并且也很大对于处于中性和中性状态的组合来说,=rf这意味着,中性和中性组合的价值将随时间以无风险连续复利率的速度增长关于Delta,Theta和Gam__三者之间的符号关系如表
10.1所示表
10.1 Delta,Theta和Gam__三者之间的符号关系DeltaThetaGam__多头看涨期权+-+多头看跌期权--+空头看涨期权-+-空头看跌期权++-从表中可以看出,Gam__的符号总是与Theta的符号相反
四、Vega与套期保值衍生证券的Vega()用于衡量该证券的价值对标的资产__波动率的敏感度,它等于衍生证券__对标的资产__波动率()的偏导数,即(
10.12)证券组合的值等于该组合中各证券的数量与各证券的值乘积的总和证券组合的值越大说明其价值对波动率的变化越敏感.标的资产远期和期货合约的Vega值等于零对于无收益资产看涨期权和欧式看跌期权而言,对于支付已知连续收益率q的资产的欧式看涨期权和看跌期权而言,如果用替换上式的q,上式就是欧式外汇期权的值计算公式;如果用r替换q,用F替换S,上式就是欧式期货期权的值计算公式应该注意的是,上述值都是根据布莱克——斯科尔斯期权定价公式(
6.23)和(
6.24)算出的,而这两个公式都假定为常数因此上述这些公式都隐含着这样的前提波动率为常数情况下的期权__与波动率是变量情况下的期权__是相等的显然,这仅仅是一个近似的假定从上述公式可以看出,值总是正的,但其大小取决于S、(T-t)、r和其中值与S的关系与的关系很相似(如图
10.9所示)VegaSX图
10.9期权的Vega值与S的关系由于证券组合的值只取决于期权的值因此我们可以通过持有某种期权的多头或空头来改变证券组合的值只要期权的头寸适量,新组合的值就可以等于零,我们称此时证券组合处于中性状态遗憾的是,当我们调整期权头寸使证券组合处于中性状态时,新期权头寸会同时改变证券组合的值,因此,若套期保值者要使证券组合同时达到中性和中性,至少要使用同一标的资产的两种期权我们令和p分别代表原证券组合的值和值,1和2分别代表期权1和期权2的值,1和2分别代表期权1和期权2的值,w1和w2分别代表为使新组合处于中性和中性需要的期权1和2的数量,则w1和w2可用下述联立方程求得(
10.13)(
10.14)例
10.12假设某个处于Delta中性状态的证券组合的值为6000值为9000,而期权1的值为
0.8,值为
2.2,值为
0.9期权2的值为
1.0,值为
1.6,值为
0.6,求应持有多少期权头寸才能使该组合处于和中性状态?根据式(
10.13)、(
10.14)我们有求解这个方程组得w1-6522,w2-653因此,我们因加入6522份第一种期权的空头和653份第二种期权的空头才能使该组合处于和中性状态加上这两种期权头寸后,新组合的值为―
65220.9―
6530.6=―
6261.6因此仍需买入6262份标的资产才能使该组合处于中性状态
五、RHO与套期保值衍生证券的RHO用于衡量衍生证券__对利率变化的敏感度,它等于衍生证券__对利率的偏导数(
10.15)对于无收益资产看涨期权而言,对于无收益资产欧式看跌期权而言,我们只要按第6章的方法对d2的定义作适当调整,则上述公式也适用于支付连续收益率的股价指数和期货的欧式看涨期权和看跌期权对于外汇期权,由于存在两种利率r和,因此就有两种rho值,即对应国内利率的rho值和对应国外利率的rho值,对应国内利率的rho的计算公式如前所述,对应国外利率的欧式外汇看涨期权的rho的计算公式为对应国外利率的欧式外汇看跌期权的rho值为期货__的rho值为标的资产的rho值为0因此我们可以通过改变期权或期货头寸来使证券组合处于rho中性状态
六、交易费用与套期保值从前述的讨论可以看出,为了保持证券组合处于、、中性状态,必须不断调整组合然而频繁的调整需要大量的交费费用因此在实际运用中,套期保值者更倾向于使用、、、、和rho等参数来评估其证券组合的风险,然后根据他们对S、r、未来运动情况的估计,考虑是否有必要对证券组合进行调整如果风险是可接受的,或对自己有利,则不调整,若风险对自己不利且是不可接受的,则进行相应调整例
10.13 假定在5月份某种资产组合包含_____股A股票,资产组合的管理者决定将A股票的市场风险降低一半,即要将头寸的值从_____转换成5000有关的市场信息如下表表
10.2 A股票及其期权的信息股票__33距7月份期权到期的天数66无风险利率5%A股票的隐含波动率
0.317月份到期的期权的__和协议__为35的看涨期权的__
1.06协议__为35的看涨期权的
0.377协议__为30的看跌期权的__
0.5协议__为30的看跌期权的-
0.196运用联立方程,我们可以求出使期权交易现金支出为0的期权头寸从表中可以看出,供我们选择的期权只有两种,因为股票的为1,为了降低组合的,可以__看跌期权,同时为了降低保值成本,可以出售看涨期权来为__看跌期权__具体的计算过程如下假设X和Y分别为看涨期权和看跌期权合约的份数那么我们的目标是 即解方程可得所以大约需要63份看涨期权和134份看跌期权第五节基于互换的套期保值互换可以用于规避利率和汇率风险,我们可从资产和负债两方面来考察互换的套期保值功能
一、负债方的套期保值
(一)将固定利率负债转换成浮动利率负债若公司的资产为浮动利率,而负债为固定利率,或者公司认为未来利率将下降而其负债为固定利率,则该公司可以通过利率互换将固定利率负债转换成浮动利率负债
(二)将浮动利率负债转换成固定利率负债若公司的资产为固定利率,而负债为浮动利率,或者公司认为利率将上升,而其负债为浮动利率,则该公司可以通过利率互换将浮动利率负债转换成固定利率负债
(三)将外币的固定利率负债转换成本币的固定利率负债若公司的资产均为本币,而负债有一部分为外币,或者公司认为外币将升值,而其负债有一部分为外币,则该公司可以通过货币互换将外币负债转换成本币负债
(四)将外币的浮动利率负债转换成本币的固定利率负债若公司的资产为本币,且收益为固定利率,而负债为外币浮动利率负债,或者公司认为外币将升值,而本币利率将上升,则该公司可通过交叉货币利率互换把外币的浮动利率负债转换成本币的固定利率负债
(五)将外币的固定利率负债转换成本币的浮动利率负债若公司的资产为本币,且收益为浮动利率,而负债为外币固定利率负债,或者公司认为外币将升值,而本币利率将下降,则该公司可通过交叉货币利率互换把外币的固定利率负债转换成本币的浮动利率负债
二、资产方的套期保值由于资产和负债是相对的概念,对一方来说是资产,对另一方来说则是负债因此我们可以用与负债方套期保值同样的方法进行资产方的套期保值由于原理相同,故不重复小结1.套期保值是指已经面临__风险的主体利用一种或几种套期保值工具试图抵消其所冒风险的行为套期保值所能消除的风险仅限于利率风险、汇率风险和证券__风险2.套期保值目标可分为双向套期保值和单向套期保值前者可使用远期、期货、互换等衍生证券,后者可使用期权来实现选择哪种套期保值目标取决于避险主体的风险厌恶程度和对未来__走向的预期3.套期保值的效率指的是套期保值目标与实际结果之间的差距,它与套期保值的盈亏是不同的概念4.基于衍生证券的套期保值都有多头和空头套期保值之分,前者指运用多头,后者指运用空头进行套期保值5.当避险标的与避险工具不一致,或者避险期限与避险工具的期限不一致,或者避险者并不能确切知道避险期限时,避险者就得考虑基差风险、合约的选择、套期保值比率、久期等问题6.当某些情况下,通过远期和期货套期保值并不会完全消除__风险,仍存在基差风险,但相对__风险而言,基差风险小多了7.为了降低基差风险,在套期保值时要注意选择合适的标的资产和合适的交割月份所选择的标的资产要与避险标的具有高度的相关性,交割月份则要与避险期限一致或略长8.最佳的套期比率(h)等于其中,表示需保值资产__与避险工具期货__之间的相关系数,表示需保值资产__变动的标准差,表示期货__变动的标准差9.基于久期的套期保值有一定局限性,它没有考虑凸性问题,而且是建立在收益率曲线平移的假定上10.动态套期保值就是分别算出保值工具与保值标的价值对一些共同的变量(如标的资产__、时间、标的资产__的波动率、无风险利率等)的敏感度,这些敏感度分别用、、、和rho表示,然后通过建立适当的保值工具的头寸,使保值组合处于、、和rho中性状态11.、、和rho中性状态只能维持一个相当短暂的时间随着S、T-t、r和的变化,避险者需要定期调整保值头寸以便使保值组合重新处于中性状态12.由于频繁地进行动态套期保值需要较高的手续费,因此套期保值者应在成本与可容忍的风险之间进行权衡13.通过互换可以实现浮动利率与固定利率资产和负债的调整以及本币与外币资产和负债的调换习题
1、美国某公司拥有一个系数为
1.
2、价值为1000万美元的投资组合,当时标准普尔500指数为270,请问该公司应如何应用标准普尔500指数期货为投资组合套期保值?
2、美国某公司打算用芝加哥商品交易所的期货合约为其德国马克头寸套期保值假设美元和德国马克各种期限的利率均相等且不变并分别用r和rf表示,该公司保值时间为,期货合约到期时间为,请证明其最优保值比率为
3、假设现在是1月30日,你正管理一个价值600万美元的债券组合,该组合的平均久期为
8.2年9月份__国债期货__为108—15,交割最合算债券的久期为
7.6年请问你应如何规避今后7个月利率变动的风险
4、某银行发现其资产负债不匹配,其存款为浮动利率,贷款为固定利率,请问应如何应用互换来抵消这种风险?
5、假设你管理一个价值6000万美元的投资组合,其系数等于
2.0,市场无风险利率为5%,标准普尔500指数为300,该指数和该组合每年的股息收益率都是3%,请问为了防止该组合价值低于5400万美元,应__什么期权对它套期保值?
6、某种不支付股息股票__的年波动率为25%,市场无风险利率为10%,请计算该股票6个月期处于平价状态的欧式看涨期权的Delta值
7、某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权,假设现在日元的汇率为1日元=
0.80美分,期权的协议__为
0.81美分,美国和__的无风险利率分别为8%和5%,日元的年波动率为15%,请计算该期权的Delta、Gam__、Vega、Theta、Rho值,并解释其含义
8、某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合种类头寸期权的Delta期权的Gam__期权的Vega看涨―
10000.
502.
21.8看涨―
5000.
800.
60.2看跌―2000―
0.
401.
30.7看涨―
5000.
701.
81.4现有一种可交易期权其Delta值为
0.6,Gam__值为
1.5,Vega值为
0.8,请问为使该组合处于Gam__和Delta中性状态,需要多少该可交易期权和英镑头寸?为使该组合处于Vega和Delta中性状态,需要多少该可交易期权和英镑头寸?
9、在上例中,假设有第二种可交易期权,其Delta值为
0.1,Gam__值为
0.5,Vega值为
0.6,请问应如何使该组合处于Delta、Gam__和Vega中性状态?习题答案1.该公司应卖空的合约份数为
1.2×10,000,000/500×270=
88.9__份2.在时刻,期货__和现货__的关系为:假设保值比率为h则通过保值可以卖出的__为如果,则卖出的__恒等于hF0这时保值组合的方差为0也就证明了是最优保值比率3.每份期货合约的价值为
108.46875×1,000=108,
468.75美元应该卖空的合约份数为4.该银行可以与其他金融机构签订一份它支付固定利率、接受浮动利率的利率互换协议5.当该投资组合的价值降到5400万美元时,你的资本损失为10%考虑到你在1年中得到了3%的现金红利,你的实际损失为7%令E(RP)表示投资组合的预期收益率,ERI表示指数的预期收益率,根据资本资产定价模型有ERP)-rf=β[ERI-rf]因此当ERP)=-7%时,ERI=[ERP-rf]/β+rf=-1%由于指数1年的红利收益率等于3%,因此指数本身的预期变动率为-4%因此,当组合的价值降到5400万美元时,指数的预期值为
0.96×300=288因此应__协议__等于
288、期限1年的欧式看跌期权来保值所需的欧式看跌期权的数量为2×60,000,000/300×100=4000份其中每份期权的规模为100美元乘以指数点6.在本题中,S=Xr=
0.1σ=
0.25T-t=
0.5因此,Nd1=
0.64该期权的Delta值为
0.647.在本题中,S=
0.80X=
0.81r=
0.08rf=
0.05T-t=
0.5833一份看涨期权的Delta值为由于因此,一份看涨期权的Gam__值为一份看涨期权的Vega值为一份看涨期权的Theta值为一份看涨期权的Rho值为8.该组合的Delta值为-1000×
0.50-500×
0.80-2000×(-
0.40)-500×
0.70=-450该组合的Gam__值为-1000×
2.2-500×
0.6-2000×
1.3-500×
1.8=-6000该组合的Vega值为-1000×
1.8-500×
0.2-2000×
0.7-500×
1.4=-4000
(1)买进4000份该可交易期权就可得到Gam__中性组合,因为4000份该期权多头的Gam__值为4000×
1.5=6000买进期权后,整个组合的Delta值变为4000×
0.6-450=1950为了使新组合同时处于Gam__和Delta中性,还得卖出1950英镑
(2)买进5000份该可交易期权就可得到Vega中性组合,因为5000份该期权多头的Vega值为5000×
0.8=4000买进期权后,整个组合的Delta值变为5000×
0.6-450=2550为了使新组合同时处于Gam__和Delta中性,还得卖出2550英镑9.令w1为第1种可交易期权的头寸,w2为第2种可交易期权的头寸,为了使该组合处于Gam__和Vega中性状态,w1和w2必须同时满足如下条件6000=
1.5w1+
0.5w24000=
0.8w1+
0.6w2解得w1=3200w2=2400此时整个组合的Delta值为-450+3200×
0.6+2400×
0.1=1710因此,只要买进3200份第1种期权,2400份第2种期权,同时卖出1710英镑就可以使新组合同时处于Delta、Gam__和Vega中性状态117。