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实验一一元函数微分学实验1一元函数的图形(基础实验)实验目的通过图形加深对函数及其性质的认识与理解掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势的方法建立数形结合的思想;掌握用__the__tica作平面曲线图性的方法与技巧.基本命令
1.在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot:Plot[f[x]{xmin__x}选项]Plot有很多选项Options可满足作图时的种种需要例如输入Plot[x^2{x-11}AspectRatio-1PlotStyle-RGBColor
[100]PlotPoints-30]则输出在区间上的图形.其中选项AspectRatio-1使图形的高与宽之比为
1.如果不输入这个选项则命令默认图形的高宽比为黄金分割值.而选项PlotStyle-RGBColor
[100]使曲线采用某种颜色.方括号内的三个数分别取0与1之间.选项PlotPoints-30令计算机描点作图时在每个单位长度内取30个点增加这个选项会使图形更加精细.Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形只要用__的形式{f1[x]f2[x]…}代替f[x].
2.利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot:ParametricPlot[{g[t]h[t]}{tmin__x}选项]其中是曲线的参数方程.例如输入ParametricPlot[{Cos[t]Sin[t]}{t02Pi}AspectRatio-1]则输出单位圆的图形.
3.利用极坐标方程作图的命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图则要先打开作图软件包.输入Graphics`Graphics`执行以后可使用PolarPlot命令作图.其基本格式为PolarPlot[r[t]{tmin__x}选项]例如曲线的极坐标方程为要作出它的图形.输入PolarPlot[3Cos[3t]{t02Pi}]便得到了一条三叶玫瑰线.
4.隐函数作图命令ImplicitPlot这里同样要先打开作图软件包输入Graphics\ImplicitPlot.m命令ImplicitPlot的基本格式为ImplicitPlot[隐函数方程自变量的范围作图选项]例如方程确定了y是x的隐函数.为了作出它的图形输入ImplicitPlot[x^2+y^2^2==x^2-y^2{x-11}]输出图形是一条双纽线.
5.定义分段函数的命令Which命令Which的基本格式为Which[测试条件1取值1测试条件2取值2…]例如输入w[x_]=Which[x0-xx=0x^2]虽然输出的形式与输入没有改变但已经定义好了分段函数:现在可以对分段函数求函数值也可作出函数的图形.实验举例初等函数的图形例
1.1给定函数a画出在区间上的图形;b画出区间上与的图形.输入命令f[x_]=5+x^2+x^3+x^4/5+5x+5x^2;g1=Plot[f[x]{x-44}PlotStyle-RGBColor
[100]];则输出在区间上的图形.输入命令g2=Plot[Sin[x]f[x]{x-44}PlotStyle-RGBColor
[010]];Show[g1g2];则输出区间上与的图形.注:Show[…]命令把称为g1与g2二个图形叠加在一起显示.二维参数方程作图例
1.2画出以下参数方程的图形.12分别输入以下命令:ParametricPlot[{5Cos[-11/5t]+7Cos[t]5Sin[-11/5t]+7Sin[t]}{t010Pi}AspectRatio-Auto__tic];ParametricPlot[1+Sin[t]-2Cos[4*t]*{Cos[t]Sin[t]}{t02*Pi}AspectRatio-Auto__ticAxes-None];则分别输出所求图形.用极坐标命令作图例
1.3作出极坐标方程为的对数螺线的图形.输入命令Graphics`Graphics`执行以后再输入PolarPlot[Exp[t/10]{t06Pi}]则输出为对数螺线的图形.隐函数作图例
1.4作出由方程所确定的隐函数的图形笛卡儿叶形线.输入命令Graphics\ImplicitPlot.m执行以后再输入ImplicitPlot[x^3+y^3==3x*y{x-33}]输出为笛卡儿叶形线的图形.分段函数的作图例
1.5作出分段函数的图形.输入命令h[x_]:=Which[x=0Cos[x]x0Exp[x]]Plot[h[x]{x-44}]则输出所求图形.注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件.例
1.6作出分段函数的图形.输入命令f[x_]:=x^2Sin[1/x]/;x!=0;f[x_]:=0/;x=0;Plot[f[x]{x-11}];则输出所求图形.作函数图形的动画例
1.7作出函数的图形动画观察参数c对函数图形的影响.输入命令Do[Plot[x^2+Sin[cx]{x-33}PlotRange-{-15}]{c151/3}];则输出所求动画图形.实验习题
1.把正切函数和反正切函数的图形及其水平渐近线和直线用不同的线型画在同一个坐标系内.
2.作出双曲正切函数的图形.
3.输入以下命令Plot[{Sin[x]Sin[2x]Sin[3x]}{x02Pi}PlotStyle-{RGBColor
[100]RGBColor
[010]RGBColor
[001]}]理解选项的含义.
4.为观察复合函数的情况分别输入以下命令:Plot[Sqrt[1+x^2]{x-66}PlotStyle-{Dashing[{
0.
020.01}]}]Plot[Sin[Cos[Sin[x]]]{x-PiPi}]Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2{x-55}]Plot[{E^xArcTan[x]E^ArcTan[x]}{x-55}]
5.观察函数的叠加输入以下命令:a1=Plot[x{x-55}PlotStyle-{RGBColor
[010]}]a2=Plot[2Sin[x]{x-55}PlotStyle-{RGBColor
[110]}]a3=Plot[x+2Sin[x]{x-55}PlotStyle-{RGBColor
[100]}]Show[a1a2a3]
6.分别用ParametricPlot和PolarPlot两种命令作出五叶玫瑰线的图形.
7.用ImplicitPlot命令作出椭圆的图形.
8.选择以下命令的一部分输入欣赏和研究极坐标作图命令输出的图形.PolarPlot[Cos[t/2]{t04Pi}]PolarPlot[1-2Sin[5t]{t02Pi}]PolarPlot[Cos[t/4]{t08Pi}]PolarPlot[t*Cos[t]{t08Pi}]PolarPlot[t^-3/2{t08Pi}]PolarPlot[2Cos[3t]{t0Pi}]PolarPlot[1-2Sin[t]{t02PI}]PolarPlot[4-3Cos[t]{t02Pi}]PolarPlot[Sin[3t]+Sin[2t]^2{t02Pi}]PolarPlot[3Sin[2t]{t02Pi}]PolarPlot[4Sin[4t]{t02Pi}]PolarPlot[Cos[2t]+Cos[4t]^2{t02Pi}]PolarPlot[Cos[2t]+Cos[3t]^2{t02Pi}]PolarPlot[Cos[4t]+Cos[4t]^2{t02Pi}PlotRange-All]实验2极限与连续(基础实验)实验目的通过计算与作图从直观上揭示极限的本质加深对极限概念的理解.掌握用__the__tica画散点图以及计算极限的方法.深入理解函数连续的概念熟悉几种间断点的图形特征理解闭区间上连续函数的几个重要性质.基本命令
1.画散点图的命令ListPlot:ListPlot[{{x1y1}{x2y2}…{xnyn}}选项]或者ListPlot[{y1y2…yn}选项]前一形式的命令在坐标平面上绘制点列的散点图;后一形式的命令默认自变量依次取正整数作出点列为的散点图.命令ListPlot的选项主要有两个:1PlotJoined-True要求用折线将散点连接起来;2PlotStyle-PointSize[
0.02]表示散点的大小.
2.产生__或者数表的命令Table:命令Table产生一个数表或者一个__.例如输入Table[j^2{j16}]则产生前6个正整数的平方组成的数表{149162536}.
3.连加求和的命令Sum:命令Sum大致相当于求和的数学符号∑.例如输入Sum[1/i{i100}]//N执行后得到的近似值.与Sum类似的还有连乘求积的命令Product.
4.求函数多次自复合的命令Nest:例如输入Nest[Sinx3]则输出将正弦函数自己复合3次的函数Sin[Sin[Sin[x]]]
5.求极限的命令Limit:其基本格式为Limit[f[x]x-a]其中fx是数列或者函数的表达式x-a是自变量的变化趋势.如果自变量趋向于无穷用x-Infinity.对于单侧极限通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向.求右极限时用Limit[f[x]x-aDirection--1];求左极限时用Limit[f[x]x-aDirection-+1];求时的极限用Limit[f[x]x-InfinityDirection-+1];求时的极限用Limit[f[x]x-InfinityDirection--1]注:右极限用减号表示自变量减少并趋于a同理左极限用加号表示自变量增加并趋于a.实验举例作散点图例
2.1分别画出坐标为的散点图并画出折线图.分别输入命令t1=Table[i^2{i10}];g1=ListPlot[t1PlotStyle-PointSize[
0.02]];g2=ListPlot[t1PlotJoined-True];Show[g1g2];t2=Table[{i^24i^2+i^3}{i10}];g1=ListPlot[t2PlotStyle-PointSize[
0.02]];g2=ListPlot[t2PlotJoined-True];Show[g1g2];则分别输出所求图形.数列极限的概念例
2.2通过动画观察当时数列的变化趋势.输入Clear[tt];tt={11/2^21/3^2};Do[tt=Append[ttN[1/i^2]];ListPlot[ttPlotRange-{01}PlotStyle-PointSize[
0.02]]{i420}]则输出所求图形动画.从图中可以看出所画出的点逐渐接近于x轴.例
2.3研究极限输入Print[nAi
0.4-Ai];For[i=1i=15i++Aii=N[2i^3+1/5i^3+110];Bii=
0.4-Aii;Print[iAiiBii]]则输出nAi
0.4-Ai
10.5–
0.
120.414634–
0.
014634130.404412–
0.
0044117640.401869–
0.
0018691650.400958–
0.
00095846660.400555–
0.
00055504270.40035–
0.
0003496580.400234–
0.
00023428390.400165–
0.
000164564100.40012–
0.
000119976110.40009–
0.
0000901442120.400069–
0.
0000694364130.400055–
0.
000054615140.400044–
0.
0000437286150.400036–
0.0000355534观察所得数表.第一列是下标n.第二列是数列的第n项它与
0.4越来越接近.第三列是数列的极限
0.4与数列的项的差逐渐接近
0.再输入fn=Table[2n^3+1/5n^3+1{n15}];ListPlot[fnPlotStyle-{PointSize[
0.02]}]则输出散点图.观察所得散点图可见表示数列的点逐渐接近于直线注:命令For的格式见项目二中实验1的基本命令.递归数列例
2.4设从初值出发可以将数列一项一项地计算出来.这样定义的数列称为递归数列.输入f
[1]=N[Sqrt
[2]20];f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]]20];f
[9]则已经定义了该数列并且求出它的第9项的近似值为
1.
9999905876191523430.输入fn=Table[f[n]{n20}]得到这个数列的前20项的近似值输出结果略.再输入ListPlot[fnPlotStyle-{PointSize[
0.02]}]输出为图
2.
2.观察该散点图表示数列的点越来越接近于直线函数的极限例
2.5在区间上作出函数的图形并研究和输入命令Clear[f];f[x_]=x^3-9x/x^3-x;Plot[f[x]{x-44}];则输出的图形.从图可猜测不存在.例
2.6观察函数当时的变化趋势.取一个较小的区间
[110]输入命令f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x]{x120}];则输出在这一区间上的图形.从图中可以看出图形逐渐趋于
0.事实上逐次取更大的区间可以更有力地说明当时作动画:分别取区间画出函数的图形输入以下命令:i=3;While[i=20Plot[f[x]{x105*i}PlotRange-{{10100}{-
0.
0080.004}}];i++]则输出17幅图点黑右边的线框并选择从前向后的播放方式播放这些图形可得函数当时变化趋势的动画从而可以更好地理解此时函数的变化趋势.两个重要极限例
2.7研究第二个重要极限输入Limit[1+1/n^nn-Infinity]输出为e.再输入Plot[1+1/x^x{x1100}]则输出函数的图形.观察图中函数的单调性.理解第二个重要极限无穷大例
2.7考虑无穷大.分别输入Plot[1+2x/1-x{x-34}]Plot[x^3-x{x-2020}]则分别输出两个给定函数的图形.在第一个函数的图形中时函数的绝对值无限增大在第二个函数的图形中时函数的绝对值在无限增大.输入Limit[1+2x/1-xx-1]__the__tica输出的是.这个结果应该是右极限.例
2.8输入Plot[x*Sin[x]{x020Pi}]则输出所给函数的图形.观察图中函数的变化趋势.这个函数__但是当时这个函数不是无穷大.即趋向于无穷大的函数当然__而__函数并不一定是无穷大.连续与间断例
2.9观察无穷间断.输入Plot[Tan[x]{x-2Pi2Pi}]则输出函数的图形.从图可见是所给函数的跳跃间断点.例
2.10观察振荡间断.输入Plot[Sin[1/x]{x-PiPi}]则输出函数的图形.从图可见是所给函数的跳跃间断点.再输入Limit[Sin[1/x]x-0]则输出为Interval[{-11}].表示函数极限不存在且在-1与1之间振荡.实验习题
1.设数列计算这个数列的前30项的近似值.作散点图观察点的变化趋势.
2.定义数列可以证明:这个数列的极限是计算这个数列的前30项的近似值.作散点图观察点的变化趋势.
3.作函数及自复合函数
4.计算极限
5.讨论极限实验3导数(基础实验)实验目的深入理解导数与微分的概念导数的几何意义.掌握用__the__tica求导数与高阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.基本命令
1.求导数的命令D与求微分的命令DtD[fx]给出f关于x的导数而将表达式f中的其它变量看作常量.因此如果f是多元函数则给出f关于x的偏导数.D[f{xn}]给出f关于x的n阶导数或者偏导数.D[fxyz…]给出f关于xyz…的混合偏导数.Dt[fx]给出f关于x的全导数将表达式f中的其它变量都看作x的函数.Dt[f]给出f的微分.如果f是多元函数则给出f的全微分.上述命令对表达式为抽象函数的情形也适用其结果也是一些抽象符号.命令D的选项NonConstants-{…}指出{…}内的字母是x的函数.命令Dt的选项Constants-{…}指出{…}内的字母是常数.
2.循环语句Do基本格式为Do[表达式循环变量的范围]表达式中一般有循环变量有多种方法说明循环变量的取值范围.最完整的格式是Do[表达式{循环变量名最小值最大值增量}]当省略增量时默认增量为
1.省略最小值时默认最小值为
1.例如输入Do[Print[Sin[n*x]]{n110}]则在屏幕上显示Sin[x]Sin[2x]…Sin[10x]等10个函数.实验举例导数的概念例
3.1作函数的图形和在处的切线.输入Clear[f];f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7;plotf=Plot[f[x]{x-43}DisplayFunction-Identity];plot2=Plot[f[-1]*x+1+f[-1]{x-43}PlotStyle-GrayLeve1[
0.5]DisplayFunction-Identity];Show[plotfplot2DisplayFunction-$DisplayFunction]执行后便在同一个坐标系内作出了函数的图形和它在处的切线.求函数的导数与微分例
3.2求函数的一阶导数.并求输入D[Sin[a*x]*Cos[b*x]x]/.x-1/a+b则输出函数在该点的导数例
3.3求函数的1阶到11阶导数.输入Clear[f];f[x_]=x^10+2*x-10^9;D[f[x]{x2}]则输出函数的二阶导数类似可求出3阶、4阶导数等等.为了将1阶到11阶导数一次都求出来输入Do[Print[D[f[x]{xn}]]{n111}]则输出或输入Table[D[f[x]{xn}]{n11}]则输出__形式的1至11阶导数输出结果略.求隐函数的导数例
3.4求由方程确定的隐函数的导数.方法1输入deq1=D[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1==0x]这里输入y[x]以表示y是x的函数.输出为对原方程两边求导数后的方程deq1:1+4x-2y[x]+2y[x]-2xy[x]+2y[x]y[x]==0再解方程输入Solve[deq1y[x]]则输出所求结果方法2使用微分命令.输入deq2=Dt[2x^2-2x*y+y^2+x+2y+1==0x]得到导数满足的方程deq2:1+4x-2y+2Dt[yx]-2xDt[yx]+2yDt[yx]==0再解方程输入Solve[deq2Dt[yx]]则输出注意前者用y’[x]而后者用Dt[yx]表示导数.如果求二阶导数再输入deq3=D[deq1x];Solve[{deq1deq3}{y[x]y[x]}]//Simplify则输出结果求参数方程确定的函数的导数例
3.5求由参数方程确定的函数的导数.输入D[E^t*Sin[t]t]/D[E^t*Cos[t]t]则得到导数再输入D[%t]/D[E^t*Cos[t]t]//Simplify则得到二阶导数中值定理例
3.6对函数观察罗尔定理的几何意义.因为由罗尔定理存在使得1画出与的图形并求出与输入f[x_]=x*x-1*x-2;g1=Plot[f[x]{x-13}PlotStyle-RGBColor
[100]];g2=Plot[f[x]{x-13}];Show[g1g2];NSolve[f[x]==0x]2画出及其在点与处的切线.输入t1[x_]=f[
0.42265];t2[x_]=f[
1.57735];Plot[{f[x]t1[x]t2[x]}{x-13}];例
3.7函数在区间
[12]上满足拉格朗日中值定理的条件因此存在使可以验证这个结论的正确性.输入Clear[f];f[x_]:=1/x^4;Solve[D[f[x]x]==f
[2]-f
[1]x]//N输出中有5个解:{{x--
1.08137-
0.785663i}{x-
1.33665}{x-
0.413048+
1.27123i}{x-
0.413048-
1.27123i}{x--
1.08137+
0.785663i}}其中的实数解就是满足拉格朗日中值定理的约为
1.
33665.实验习题
1.验证拉格朗日定理对函数在区间
[01]上的正确性.
2.证明:对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.
3.求下列函数的导数:1;2;3;
4.
4.求下列函数的微分:1;
2.
5.求下列函数的
一、二阶导数:
126.求下列函数的高阶导数:
127.求由下列方程所确定的隐函数的导数:
128.求由下列参数方程确定的函数的导数:12实验4导数的应用(基础实验)实验目的理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用__the__tica作平面图形的方法和技巧.掌握用__the__tica求方程的根包括近似根和求函数极值包括近似极值的方法.基本命令
1.求多项式方程的近似根的命令Nsolve和Nroots命令Nsolve的基本格式为Nsolve[f[x]==0x]执行后得到多项式方程的所有根包括复根的近似值.命令NRoots的基本格式为NRoots[f[x]==0xn]它同样给出方程所有根的近似值.但是二者表示方法不同.在命令NRoots的后面所添加的选项n要求在求根过程中保持n位有效数字;没有这个选项时默认的有效数字是16位.
2.求一般方程的近似根的命令FindRoot命令的基本格式为FindRoot[f[x]==0{xa}选项]或者FindRoot[f[x]==0{xab}选项]其中大括号中x是方程中的未知数而a和b是求近似根时所需要的初值.执行后得到方程在初值a附近或者在初值a与b之间的一个根.方程的右端不必是0形如的方程也可以求根.此外这个命令也可以求方程组的近似根.此时需要用大括号将多个方程括起来同时也要给出各个未知数的初值.例如FindRoot[{f[xy]==0g[xy]==0}{xa}{yb}]由于这个命令需要初值应先作函数的图形确定方程有几个根以及根的大致位置或所在区间以分别输入初值求根.命令的主要选项有:1最大迭代次数:__xIterations-n默认值是
15.2计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecision-n默认值是16位.
3.求函数极小值的近似值的命令FindMinimum命令的基本格式为FindMinimum[f[x]{xa}选项]执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值.这个命令的选项与FindRoot相同只是迭代次数的默认值是
30.如果求函数的极大值的近似值可以对函数用这个命令.不过正确的极大值是所得到的极小值的相反的数.使用此命令前也要先作函数的图形以确定极值的个数与初值.
4.作平面图元的命令Graphics如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元可以直接用命令Graphics再用命令Show在屏幕上显示.例如输入g1=Graphics[Line[{{1-1}{68}}]]Show[g1Axes-True]执行后得到以1-1和68为端点的直线段.实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项.如果要作出过已知点的折线只要把这些点的坐标组成的__放在命令Line[]之内即可.如输入Show[Graphics[Line[{{00}{12}{3-1}}]]Axes-True]输出为图
4.
1.图
4.1实验举例求函数的单调区间例
4.1求函数的单调区间.输入f1[x_]:=x^3-2x+1;Plot[{f1[x]f1[x]}{x-44}PlotStyle-{GrayLeve1[
0.01]Dashing[{
0.01}]}]则输出图
4.
2.图
4.2图
4.2中的虚线是导函数的图形.观察函数的增减与导函数的正负之间的关系.再输入Solve[f1[x]==0x]则输出即得到导函数的零点.用这两个零点把导函数的定义域分为三个区间.因为导函数连续在它的两个零点之间导函数保持相同符号.因此只需在每个小区间上取一点计算导数值即可判定导数在该区间的正负从而得到函数的增减.输入f1[-1]f1
[0]f1
[1]输出为1-
21.说明导函数在区间上分别取+-和+.因此函数在区间和上单调增加在区间上单调减少.求函数的极值例
4.2求函数的极值.输入f2[x_]:=x/1+x^2;Plot[f2[x]{x-1010}]则输出图
4.
3.图
4.3观察它的两个极值.再输入Solve[f2[x]==0x]则输出{{x--1}{x-1}}即驻点为用二阶导数判定极值输入f2[-1]f2
[1]则输出1/2与-1/
2.因此是极小值点是极大值点.为了求出极值再输入f2[-1]f2
[1]输出-1/2与1/
2.即极小值为-1/2极大值为1/
2.求极值的近似值例
4.3求函数的位于区间内的极值的近似值.输入f4[x_]:=2Sin[2x]^2+5x*Cos[x/2]^2/2;Plot[f4[x]{x0Pi}]则输出图
4.
4.图
4.4观察函数图形发现大约在附近有极小值在和有极大值.用命令FindMinimum直接求极值的近似值.输入FindMinimum[f4[x]{x
1.5}]则输出{
1.94461{x-
1.62391}}即同时得到极小值
1.94461和极小值点
1.
62391.再输入FindMinimum[-f4[x]{x
0.6}]FindMinimum[-f4[x]{x
2.5}]则输出{-
3.73233{x-
0.864194}}{-
2.95708{x-
2.244__}}即得到函数的两个极小值和极小值点.再转化成函数y的极大值和极大值点.两种方法的结果是完全相同的.证明函数的不等式例
4.4证明不等式其中先作图输入Clear[F];F[x_]:=ArcTan[x]+1/x;Plot[{F[x]Pi/2}{x420}AxesOrigin-{4Pi/2-
0.00012}PlotStyle-{GrayLeve1[
0.0]Dashing[{
0.
010.01}]}]则输出图
4.
5.图
4.5当x趋向于无穷时直线是函数的渐近线.下面用单调性证明不等式.输入Limit[F[x]x-Infinity]则输出再研究单调性输入Clear[G]G[x_]:=D[F[x]x]Solve[G[x]==0x]则输出{}即当时函数无驻点.再输入N[G
[2]]则输出-
0.05即当时于是函数单调减少趋向于.因此当时有实验习题
1.作函数及其导函数的图形并求函数的单调区间和极值.
2.作函数及其导函数的图形并求函数的单调区间和极值.注:为了避免负数开方出现复数输入时可把函数y定义为y[x_]:=x-3*x-8^2^1/3再进行作图和求导.
3.作函数及其二阶导函数在区间[-87]上的图形并求函数的凹凸区间和拐点.
4.分析利用泰勒展开式近似计算时展开点和阶数n对计算结果的影响.
5.设求方程的近似根.
6.设作它们在区间上的图形.并求方程在该区间内的近似根.
7.作的图形.用命令NsolveNRoots和命令FindRoot求方程的近似根.实验5抛射体的运动(综合实验)引言__the__tica可以被用来探索各种各样的可能性从而能在给定的假设条件下模拟出所求数学问题的解.下面讨论的问题是关于抛射体的飞行的一个样本实验具体在这里就是研究炮弹在没有空气阻力情况下的运动.我们意图通过这样一个范例让读者了解如何利用数学实验方法来探索一个数学问题的求解.在你写实验报告时一定要清楚地解释你做了什么以及___要这样做同时逐步熟悉科学报告的写作方法.问题根据侦察发现离我军大炮阵地水平距离10km的前方有一敌军的坦克群正以每小时50km向我军阵地驶来现欲发__弹摧毁敌军坦克群.为在最短时间内有效摧毁敌军坦克要求每门大炮都能进行精射击这样问题就可简化为单门大炮对__坦克的精确射击问题.假设炮弹发射速度可控制在
0.2km/s至
0.6km/s之间问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明假设不考虑空气阻力则炮弹的运动轨迹由参数方程给出其中是炮弹发射的初速度是炮弹的发射角是重力加速度(
9.8m/).上面第一个方程描述炮弹在时刻的水平位置而第二个方程描述炮弹在时刻的垂直位置.我们假设大炮位于坐标原点()轴正向垂直向上轴水平指向敌军坦克.下面先利用__the__tica绘图命令显示出炮弹运行的典型轨迹.输入horiz[v_a_t_]:=vCos[aPi/180]tvert[v_a_t_]:=vSin[aPi/180]t-1/2gt^2g=
9.8假定炮弹发射的初速度为
0.25km/s发射角为输入ParametricPlot[{horiz[25065t]vert[25065t]}{t050}PlotRange-{05000}AxesLabel-{xy}]得到炮弹运行轨迹的典型图形(图5-1):图5-1实验报告在上述假设下进一步研究下列问题:1选择一个初始速度和发射角利用__the__tica画出炮弹运行的轨迹.2假定坦克在大炮前方10km处静止不动炮弹发射的初速度为
0.32km/s应选择什么样的发射角才能击中坦克?画出炮弹运行的几个轨迹图通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.3假定坦克在大炮前方10km处静止不动探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下应如何选择炮弹的发射角?从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.4在上题结论的基础上继续探索假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向前进此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案?810。