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第六章多元函数微积分教学重点本章重点讲授多元函数的基本概念、偏导、全微分、复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数的极值及其求法、二重积分的计算教学难点本章难点为复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数极值的求法、二重积分的计算教学内容在前面几章中,我们讨论的函数都只有一个自变量,这种函数称为一元函数.但在许多实际问题中,我们往往要考虑多个变量之间的关系,反映到数学上,就是要考虑一个变量(因变量)与另外多个变量(自变量)的相互依赖关系.由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题.本章将在一元函数微积分学的基础上,进一步讨论多元函数的微积分学.讨论中将以二元函数为主要对象,这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释,便于理解,而且这些概念和方法大都能自然__到二元以上的多元函数.第1次课 2学时本次课教学重点空间直角坐标系、空间两点间的距离、曲面及其方程本次课教学难点曲面及其方程本次课教学内容第六章多元函数微积分第一节空间解析几何简介空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就.它通过点和坐标的对应,把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来,使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题(这是解析几何的基本内容),也可以用几何方法解决代数问题.本节我们仅简单介绍空间解析几何的一些基本概念,它们包括空间直角坐标系、空间两点间的距离、空间曲面及其方程等概念.这些内容对我们学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.
一、空间直角坐标系在平面解析几何中,我们建立了平面直角坐标系,并通过平面直角坐标系,把平面上的点与有序数组即点的坐标对应起来.同样,为了把空间的任一点与有序数组对应起来,我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O作三条相互垂直的数轴,依次记为轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系(如下图).空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们通常采用右手系.
二、空间两点间的距离
三、曲面及其方程定义1 在空间直角坐标系中,如果曲面上任一点坐标都满足方程,而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程,则方程称为曲面S的方程而曲面S就称为方程的图形空间曲面研究的两个基本问题是:1已知曲面上的点所满足的几何条件,建立曲面的方程;2已知曲面方程,研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.可以证明空间中任__面都可以用三元一次方程
1.3来表示,反之亦然.其中、、、是不全为零常数.方程
1.3称为平面的一般方程.柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C__的直线所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线动直线称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中,我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面,从而得到平面与曲面一系列的交线(即截痕),通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌.这种研究曲面的方法称为平面截割法,简称为截痕法.椭球面
1.4椭圆抛物面()双曲抛物面与同号单叶双曲面双叶双曲面二次锥面例3.建立球心在点、半径为R的球面方程.解设是球面上任意一点,根据题意有特别地,当球心在原点时,球面方程变为例4.求通过轴和点的平面方程.解依题意,因为所求平面通过轴,即平面平行于轴且通过坐标原点,从而可设方程为
(1)又因为平面过点,因此有即 以此代入方程
(1),再除以,便得到所求方程为例5.设平面在坐标轴上的截距分别为求这个平面的方程.解由已知条件得到所求平面方程为教学__课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-1 第
7、
8、
18、19题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,学生较容易理解、掌握第2次课2学时本次课教学重点平面区域的概念、多元函数的概念、二元函数的极限本次课教学难点二元函数的极限本次课教学内容第六章多元函数微积分第二节多元函数的基本概念
1、多元函数的概念
(1)邻域
(2)区域
二、多元函数的概念定义1设D是平面上的一个非空点集,如果对于内的任一点,按照某种法则,都有唯一确定的实数与之对应,则称是上的二元函数,它在处的函数值记为,即,其中x,y称为自变量,z称为因变量.点集D称为该函数的定义域,数集称为该函数的值域.类似地,可定义三元及三元以上函数.当时n元函数统称为多元函数 二元函数的图形
三、二元函数的极限定义2设函数在点的某一去心邻域内有定义,如果当点无限趋于点时,函数无限趋于一个常数,则称A为函数当时的极限.记为.或()也记作或二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则,在此不再详述.为了区别于一元函数的极限,我们称二元函数的极限为二重极限.
四、二元函数的连续性定义3设二元函数在点的某一邻域内有定义,如果则称在点处连续.如果函数在点处不连续,则称函数在处间断.与一元函数类似,二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论,当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时,只要算出函数在该点的函数值即可.特别地,在有界闭区域上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2(有界性定理)在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3(介值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数若在D上取得两个不同的函数值则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.教学__课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-2 第3
(5)、4
(1)
(3)
(5)题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握 第3次课2学时本次课教学重点偏导数的定义及其计算法、偏导数的几何意义和经济意义、高阶偏导数本次课教学难点偏导数的定义及其计算法、高阶偏导数本次课教学内容第六章多元函数微积分第三节偏导数
一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数在点的某一邻域内有定义当y固定在而x在处有增量时相应地函数有增量如果存在则称此极限为函数在点处对x的偏导数记为例如,有.类似地,函数在点处对y的偏导数为记为上述定义表明,在求多元函数对某个自变量的偏导数时只需把其余自变量看作常数,然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.例2 求的偏导数.
二、关于多元函数的偏导数,补充以下几点说明
(1)对一元函数而言,导数可看作函数的微分与自变量的微分的商.但偏导数的记号是一个整体.
(2)与一元函数类似,对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.
(3)在一元函数微分学中,我们知道,如果函数在某点存在导数,则它在该点必定连续.但对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续.例4 试证函数的偏导数存在,但在点不连续证在点的偏导数为即偏导数存在但从上节例5已经知道这函数在点处不连续.
三、偏导数的几何意义设曲面的方程为,是该曲面上一点,过点作平面,截此曲面得一条曲线,其方程为则偏导数表示上述曲线在点处的切线对轴正向的斜率(如下图所示).同理,偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴正向的斜率.
四、偏导数的经济意义设某产品的需求量其中p为该产品的__y为消费者收入.记需求量Q对于__p、消费者收入y的偏改变量分别为和易见,表示Q对__p由p变到的平均变化率.而表示当__为p、消费者收入为y时Q对于p的变化率.称为需求Q对__p的偏弹性.同理,表示Q对收入y由y变到的平均变化率.而表示当__p、消费者收入为y时Q对于y的变化率.称为需求Q对收入y的偏弹性.
五、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数则在内和都是、的函数.如果这两个函数的偏导数存在,则称它们是函数的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶偏导数其中第
二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地,可以定义三阶、四阶、阶偏导数.我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理1如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续则在该区域内有.教学__含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-3 第1
(1)
(3)
(9)题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握,效果不错第4次课2学时本次课教学重点微分的定义、函数可微的条件、微分的计算本次课教学难点微分的定义、微分的计算本次课教学内容第六章多元函数微积分第四节全微分我们已经知道,二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时,因变量对另一个自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系,可得上面两式左端分别称为二元函数对x和对y的偏增量,而右端分别称为二元函数对x和对y的偏微分.在实际问题中,有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量,即所谓全增量的问题.下面以二元函数为例进行讨论.如果函数在点的某邻域内有定义,并设为这邻域内的任意一点,则称为函数在点P对应于自变量增量的全增量,记为,即
4.1一般来说,计算全增量比较复杂.与一元函数的情形类似,我们也希望利用关于自变量增量的线性函数来近似地代替函数的全增量,由此引入关于二元函数全微分的定义.
一、微分的定义定义1如果函数在点的全增量可以表示为
4.2其中AB不依赖于而仅与xy有关则称函数在点可微分称为函数在点的全微分记为即.
4.3若函数在区域D内各点处可微分,则称这函数在D内可微分.
二、函数可微的条件定理1必要条件如果函数在点处可微分则该函数在点的偏导数必存在且在点处的全微分.
4.4我们知道,一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件.但对于多元函数则不然.定理1的结论表明,二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.由此可见,对于多元函数而言,偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率,而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.但如果对偏导数再加些条件,就可以保证函数的可微性.一般地,我们有定理2充分条件如果函数的偏导数在点连续则函数在该点处可微分.
三、微分的计算习惯上,常将自变量的增量、分别记为、,并分别称为自变量的微分.这样,函数的全微分就表为
4.5上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件,可以完全类似地__到三元及三元以上的多元函数中去.例如,三元函数的全微分可表为
4.6教学__含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-4 第1
(1)
(3)、
2、4题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握,效果不错第5次课2学时本次课教学重点多元复合函数微分法、全微分形式的不变性、隐函数微分法本次课教学难点多元复合函数微分法、全微分形式的不变性、隐函数微分法本次课教学内容第六章多元函数微积分第五节复合函数微分法与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法1.复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数构成复合函数(
5.1)公式
5.1中的导数称为全导数.如下图所示
2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设构成复合函数
5.
35.4如下图所示
3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3如果函数在点具有对及对的偏导数函数在点可导,函数在对应点具有连续偏导数则复合函数在对应点的两个偏导数存在且有
5.
75.8注这里与是不同的,是把复合函数中的看作不变而对的偏导数,是把函数中的及看作不变而对的偏导数.与也有类似的区别.在多元函数的复合求导中,为了简便起见,常采用以下记号:这里下标1表示对第一个变量求偏导数,下标2表示对第二个变量求偏导数,同理有等等.
二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则,可得到重要的全微分形式不变性.以二元函数为例,设是可微函数,则由全微分定义和链式法则,有由此可见,尽管现在的u、v是中间变量,但全微分与、是自变量时的表达式在形式上完全一致.这个性质称为全微分形式不变性.适当应用这个性质,会收到很好的效果.
三、隐函数微分法在一元微分学中,我们曾引入了隐函数的概念,并介绍了不经过显化而直接由方程
5.11来求它所确定的隐函数的导数的方法.这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性,并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式,给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数它满足并有
5.12定理5设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数它满足条件并有
5.14教学__含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-5 第
2、
4、9
(1)、
17、20题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握,效果不错第6次课2学时本次课教学重点二元函数极值的概念及其求法、二元函数的最大值与最小值、条件极值拉格朗日乘数法本次课教学难点二元函数的最大值与最小值、条件极值拉格朗日乘数法本次课教学内容第六章多元函数微积分第六节多元函数的极值及其求法
一、二元函数极值的概念定义1设函数在点的某一邻域内有定义对于该邻域内异于的任意一点如果则称函数在有极大值;如果则称函数在有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1必要条件设函数在点具有偏导数且在点处有极值则它在该点的偏导数必然为零,即
6.1与一元函数的情形类似,对于多元函数,凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2充分条件设函数在点的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又令1当时,函数在处有极值,且当时有极小值;时有极大值;2当时,函数在处没有极值;3当时,函数在处可能有极值,也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数具有二阶连续偏导数,则求的极值的一般步骤为第一步解方程组求出的所有驻点;第二步求出函数的二阶偏导数,依次确定各驻点处A、B、C的值,并根据的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数在极值点处的极值.
二、二元函数的最大值与最小值求函数的最大值和最小值的一般步骤为:
(1)求函数在内所有驻点处的函数值;
(2)求在的边界上的最大值和最小值;
(3)将前两步得到的所有函数值进行比较,其中最大者即为最大值最小者即为最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,可以判断出函数的最大值(最小值)一定在的内部取得,而函数在内只有一个驻点,则可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值(最小值).
三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量一般只要求落在定义域内,并无其它限制条件,这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中,常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数和在区域内有一阶连续偏导数,则求在内满足条件的极值问题,可以转化为求拉格朗日函数(其中为某一常数)的无条件极值问题.于是,求函数在条件的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为1构造拉格朗日函数其中为某一常数;2由方程组解出其中xy就是所求条件极值的可能的极值点.注拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件因此按照这种方法求出来的点是否为极值点还需要加以讨论.不过在实际问题中往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可__到自变量多于两个而条件多于一个的情形:教学__含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-6 第1
(1)、
(5)、
3、6题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握,效果不错第7次课2学时本次课教学重点二重积分的概念、二重积分的性质本次课教学难点二重积分的概念本次课教学内容第6章多元函数微积分第七节二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念定义1设是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域其中表示第i个小闭区域,也表示它的__,在每个上任取一点作乘积并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时这和式的极限存在则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分记为即
7.2其中称为被积函数称为被积表达式称为__微元和称为积分变量称为积分区域并称为积分和.对二重积分定义的说明:1如果二重积分存在,则称函数在区域上是可积的.可以证明,如果函数区域上连续,则在区域上是可积的.今后,我们总假定被积函数在积分区域上是连续的;2根据定义,如果函数在区域上可积,则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关,因此,在直角坐标系中,常用平行于轴和轴的两组直线来分割积分区域,则除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域的边长为和,于是.故在直角坐标系中,__微元可记为.即.进而把二重积分记为,这里我们把称为直角坐标系下的__微元.
二、二重积分的性质类似于一元函数的定积分,二重积分也有与定积分类似性质,且其证明也与定积分性质的证明类似.教学__含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-7 第1
(1)、
(3)、2
(1)
(4)题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握,效果不错第8次课2学时本次课教学重点区域分类、二重积分的计算、交换二次积分次序的步骤、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算本次课教学难点区域分类、二重积分的计算本次课教学内容第6章多元函数微积分第八节在直角坐标系下二重积分的计算本节和下一节,我们要讨论二重积分的计算方法,其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算,转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分.本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算.
一、区域分类型区域.其中函数在区间上连续.这种区域的特点是穿过区域且平行于y轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.型区域.其中函数在区间上连续.这种区域的特点是穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.
二、二重积分的计算假定积分区域为如下型区域:.则有
8.2类似地,如果积分区域为型区域.则有
8.3特别地,当区域为矩形区域时,有
三、交换二次积分次序的步骤一般地,交换给定二次积分的积分次序的步骤为
(1)对于给定的二重积分先根据其积分限画出积分区域D
(2)根据积分区域的形状,按新的次序确定积分区域D的积分限
(3)写出结果
四、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性,常会大大化简二重积分的计算.在例5中我们就应用了对称性来解决所给的问题.如同在处理关于原点对称的区间上的奇(偶)函数的定积分一样,在利用这一方法时,要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.为应用方便,我们总结如下
1.如果积分区域D关于y轴对称,则1当时,有.2当时,有其中2.如果积分区域D关于x轴对称,则1当时,有.2当时,有其中注进一步,我们还可给出积分区域D关于原点对称和关于直线对称的情况(见光盘).例7 计算其中积分区域由曲线与所围成.解 令如右图 因为D关于轴对称,且 故 因此 教学__含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-8 第1
(2)
(3)、2
(1)
(3)、3
(2)
(6)、4
(1)
(5)
(7)题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握,效果不错第9次课2学时本次课教学重点利用极坐标系计算二重积分、二重积分化为二次积分的公式本次课教学难点利用极坐标系计算二重积分、二重积分化为二次积分的公式本次课教学内容第7章多元函数微积分第九节在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的__微元注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为
9.1
一、二重积分的计算1.如果积分区域介于两条射线之间,而对内任一点,其极径总是介于曲线之间(如图1),则区域的积分限 (图1)于是
9.2具体计算时,内层积分的上、下限可按如__式确定从极点出发在区间上任意作一条极角为的射线穿透区域,则进入点与穿出点的极径就分别为内层积分的下限与上限.2.如果积分区域(如图2)是所示的曲边扇形,则可以把它看作是第一种情形中当的特例,此时,区域的积分限 图2于是
9.33.如果积分区域(如图3)所示,极点位于的内部,则可以把它看作是第二种情形中当的特例,此时,区域的积分限 图3于是
9.4注根据二重积分的性质3,闭区域的__在极坐标系下可表示为
9.5如果区域如图2所示,则有
9.6教学__含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等课后留十分钟给学生问问题,解决学生提出来的难题作业布置
1、习题6-9 第3
(1)
(3)、4
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(4)、5
(2)
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(6)、7题本次课推荐和____
1、夏建业,《微积分》,兰州大学出版社,2004年
2、赵树嫄,《微积分》,中国人民大学出版社,2004年
3、马志敏,《高等数学__》,中山大学出版社,2004年课后自我总结分析理论和实例讲解结合较好,深入浅出,图形结合,学生较容易理解、掌握,效果不错第六章 多元函数微积分 第42页共42页。