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拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程,是研究线性系统的一种有效而重要的工具拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换,它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程因此,进行计算比较简单,这正是拉普拉斯拉斯变换(简称拉氏变换)法的优点所在拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数其拉氏变换定义为L[ft]=Fs=式中s=б+jω为复数,有时称变量S为复频域应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析,有时称为运算法Fs又称为ft的象函数,而ft称为Fs的原函数通常用“L[]”表示对方括号内的函数作拉氏变换拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质,利用这些基本性质,可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数,同时,这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系根据可以唯一的确定其拉氏变换;反之,根据,可以唯一的确定时间函数唯一性是拉氏变换非常重要的性质,正是这个性质,才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解,并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去唯一性的证明从略
二、线性性质若和是两个任意的时间函数,其拉氏变换分别为和,和是两个任意常数,则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换解
三、时域导数性质(微分性质)例应用时域导数性质求的象函数
四、时域积分性质(积分规则)例求单位斜坡函数及的象函数
五、时域平移性质(延迟性质)作业书后习题
1、
2、
3、4课后记事注意板书层次,因为内容很多,不要太乱常用时间函数的象函数一览表,见教材221页8-
2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图(4学时)(教材第221页)教学目的具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法,运算电路图的画法教学重点具有单根、复根时求待定系数法,熟练掌握反变换的求法,熟练掌握运算电路图的画法教学难点部分公式及分解定理求待定系数法,各种运算电路图的画法,注意电压、电流的方向教学方法
1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换
2、具有复根情况下如何求反变换
3、具有重根情况下如何求反变换
4、三种情况下推导、证明及应用举例
5、元件伏安关系的复频域形式
6、练习题见备课笔记教学过程每讲完一种情况都让学生练习,以巩固学过的内容拉普拉斯反变换在应用拉氏变换分析问题时,首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量,并求得用象函数表示的解答,然后,再对象函数形式的解答进行拉斯反变换,以求得时域中的解答求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表,但一般必须进行一些数学处理,使其变为表中所列的形式在电路理论中,常见的响应函数的象函数往往是s的有理函数,可直接应用部分分式展开法将Fs化为如下形式式中是被所除而得的商;是余式,其次数低于的次数
一、有个单实根设的个单实根分别为,则可展开为式中为待定系数若要求,将上式两边都乘,得令,则等式右端除外,其余各项均为零故同里可求得所以,确定待定系数的公式为由于,所以因为是的一个根,所以上式为型不定式,故可用洛比塔法则来确定的值所以,确定待定系数的另一公式为对应的原函数为例
二、有共轭复根的情况在式中,设有一对共轭复根,记为则在的展开式中将包含以下两项其中由于实系数有理分式,故必为共轭复数若设则于是,对应的原函数将是例求的原函数
三、有重根的情况设有一个阶重根,其他均为单根,则的部分分式展开式为式中系数可按前面介绍的方法确定为了求得系数,可将上式两端同乘以,得到令,即可求得为了求出,可将上式两端对求一次导数,再令,即得以此类推,可求得又因为,所以,当各系数确定后,即可求得的原函数例求的原函数解有一个三重根和一个单根,所以,可展开为式中所以其相应的原函数为广义欧姆定律的复频域形式在讨论各元件运算电路图的基础上,现在用运算法来分析RLC串联电路,如下图a其为运算电路图如b图注意图中的电压和电流的方向作业书后习题
4、
5、
6、
7、8题课后记事注意找出学生练习时的问题,及时解决8-4用拉普拉斯变换进行线性电路的分析(2学时)(教材第228页)教学目的会用拉普拉斯变换进行线性电路的分析教学重点熟练掌握用拉普拉斯变换进行线性电路的分析及步骤教学难点跃变的问题,方向的问题,画输出曲线的问题教学方法
1、板书讲述用拉普拉斯变换进行线性电路的分析的步骤
2、由浅入深举例讲述如何用拉普拉斯变换进行线性电路的分析
3、应用基尔霍夫定律、节点电压法、回路法、戴维南定理求解电路
4、注意跃变的问题,方向的问题,画输出曲线的问题及应用举例
5、例题和练习题,见备课笔记教具《电路》CAI课件,网络课件中的拉普拉斯变换部分,邱关源第四版教材及其他参考书教学过程每讲完一种情况都让学生练习,以巩固学过的内容用拉普拉斯变换分析线性电路对于一个线性时域动态电路来说,将其中的每一个元件用其复频域电路图表示,而不改变各元件间的联接关系,可获得该线性动态电路的复频域电路图根据复频域电路图,便可用运算法进行分析,其一般步骤如下
(1)根据换路前一瞬间电路的工作状态,计算电感电流和电容电压的初始植,从而确定电路的复频域模型中反映初始状态的附加电压源的电压或附加电流源的电流若已给出初始值,则不必再进行计算
(2)绘出电路的复频域电路图
(3)应用以前介绍的各种电路分析方法,对电路的复频域电路进行分析,求出响应的象函数
(4)对已求的象函数进行拉氏变换,求出时域响应下面通过几个例子来说明具体的分析方法例题1所示电路中,原电路已达稳态,时开关由a倒向b试用运算法求时的答案例题2试求题图所示电路的零状态响应ut答案ut=例题3例已知如图所示电路的原始状态为求电路的全响应1Ω
0.1H2Ω
0.5F图a解首先画出电路的运算模型,如图b所示并按图中所示的回路方向写回路电流方程解方程得因为本题只求,所以不必再解出利用部分分式展开法可得所以作业书后习题
9、
10、
11、
12、
13、
14、题课后记事讲解要慢,要吸引学生的注意力,否则讲一遍学生没注意听,后面作题麻烦8-5网络函数及卷积(2学时)(教材第233页)教学目的网络函数的定义及应用,加冲激函数,卷积教学重点熟练掌握网络函数的应用,加冲激函数时的特殊情况,卷积教学难点网络函数的定义和应用,驱动点函数,转移函数加冲激函数时的特殊情况,如何组成拉氏变换对卷积积分的推导和应用问题教学方法
1、板书讲述网络函数的定义和应用(求法),驱动点函数,转移函数的概念
2、举例讲述加冲激函数时的特殊情况,如何组成拉氏变换对及应用
3、卷积积分的推导和应用
4、注意交代网络函数在自动控制中的应用及举例;加冲激函数的特殊性;卷积积分的应用公式
5、例题和练习题,见备课笔记教具《电路》CAI课件,网络课件中的拉普拉斯变换部分,邱关源第四版教材及其他参考书教学过程每讲完一种情况都让学生练习,以巩固学过的内容
一、网络函数的定义及类型定义在零初始条件下,且电路的输入激励是单一的__电压源或电流源时,电路的零状态响应rt的象函数Rs与输入激励et的象函数Es之比网络函数用Hs表示,即Hs=按激励与响应的类型,网络函数可以具有不同的形式1)如果响应与激励属于同一对端子,则网络函数称为策动点函数具体地说,电压响应的象函数与电流激励象函数之比称为策动点阻抗函数;电流响应的象函数与电压激励的象函数之比称为策动点导纳函数所以,有两种策动点函数2)如果响应与激励不属于同一对端子,则网络函数称为转移函数具体地说,如果激励为电压源,则当响应为电压时,其网络函数称为电压转移函数;当响应为电流时,其网络函数称为转移导纳函数如果激励为电流源,则当响应为电压时,其网络函数称为转移阻抗函数;当响应为电流时,其网络函数称为电流转移函数所以,共有四种转移函数例题3题图所示电路中,已知试求
(1)网络函数;
(2)作出的零、极点分布图答案其它略网络函数一个重要性质是当激励为单位冲激__δt时,则因为Es=L[δt]=1,所以Rs=Hs有ht=L-1[Hs]=L-1[Rs]=rt说明网络函数的原函数就是电路的激励响应
二、网络函数的零点和极点由式可知,网络函数的分子、分母都是关于的多项式,故可展开为部分分式的形式式中为常数因为,所以称为网络函数的零点而,所以称为网络函数的极点的零点和极点或为实数或为共轭复数,且的极点就是对应电路变量的固有频率
三、卷积
1、卷积的定义设有两个定义在区间的时间函数和,则下列积分式称为和的卷积积分,简称卷积通称用符号表示函数和的卷积,即1如果令则,于是有所以
2、卷积定理设,则卷积的拉氏变换为,即可利用卷积定理来分析电路响应,设为外加激励的象函数,为网络函数,则网络响应为对求反变换即得到时域响应根据式可以写为式中为外加激励函数的时域形式;为网络的冲激响应。