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2.2 不等式及其基本性质预备知识数与式的基本运算数轴重点比较两个实数的大小不等式的解集难点不等式的基本性质比较式的大小学习要求了解不等式的概念,熟练应用不等式的基本性质解题
1.不等式及其基本性质 我们先用天平来做两个实验. 实验1 在天平的一端放一个实物如一只玻璃杯,另一端逐一加1g的砝码,观察天平平衡的情况.当天平处在平衡状态,说明两端的重量是相等的;当天平处在不平衡状态,则两端的重量不等.在实验中你可以观察到 1天平平衡是可能的; 2天平不平衡状态是经常发生的,所谓平衡,往往也只能是近似地处于平衡状态.这说明实际生活中,除了等量关系外,更多的是不等量关系. 在数学上,等量关系用等号“=”表示,不等量关系用符号“”或“”、“”表示,依次读作不等于、小于不大于或小于等于、大于不小于或大于等于.不等于关系不能反映大小关系,因此,我们更有兴趣的,是研究以“”、“”表示的不等量关系.用符号“”、“”表示量之间不等关系的式子,称为不等式.用x表示天平右边实物的重量,图2-111的表示x1,读作x大于1;图2-112表示x2,读作x小于2.课内练习
11.请你用“”、“”表示你在实验中出现的不等量关系.
2.字母abcdef所表示的数如图所示.用“”、“”连接任意两个字母.实验2选图2-11中天平一种不平衡态. 1在天平两端增加或减少相等数量的砝码,天平的不平衡关系并不改变.这表示不等式的基本性质1不等式两边加上或减去同一个数或同一个式,不等号方向不变.例如 7+35+3即108; 7+33-35+33-3即1311; 7-95-9即-2-4.2在天平两端以同样倍数增加重量,天平的不平衡关系并不改变.这表示不等式的基本性质2不等式两边同乘以或除以同一个正数,不等号方向不变.例如 757252即1410;757252即
3.
52.5; 757x5xx0.但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数,情况会怎样呢?请你和我一起验证 757-25-2即-14-10; 5-75-5-7-5即-2535;-3-2-3-4-2-4即.这是不等式的基本性质3不等式两边同乘以或除以同一个负数,不等号方向变向.课内练习
21.因为35,所以13+25+2,根据;23+-25+-2,根据.
2.因为42,所以14323,根据;24-32-3,根据.
3.用不等式表示下面的文字意思1x与3的差大于0;2y与5的和小于1;3y的3倍不小于6.
4.利用不等式的基本性质填空1不等式x+30的两边同减去3后,不等式成为 ;2不等式y+62y-4的两边同加上4后,不等式成为 ;3不等式x+7-9的两边同乘以2后,不等式成为 ;4不等式9x+1818x+6的两边同除以9后,不等式成为 ;5不等式-x+7-9的两边同乘以-2后,不等式成为 ;6不等式9x+18-18x+6的两边同除以-9后,不等式成为 .根据不等式基本性质1,对于任意两个实数ab,有 aba-b0; aba-b0;a=ba-b=0.这里的记号“”表示可以从左边关系,导出右边的关系,也可从右边关系,导出左边的关系因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小.例1 比较和的大小.解 因为 -=0,所以 ▍ 例2比较x2+x和3x-2的大小,其中x为任意实数.解 因为 x2+x-3x-2=x2+x-3x+2=x2-2x+1+1=x-12+10,所以 x2+x3x-2▍ 应用求差法还可以证明若abbc则ac.这个性质称为不等式的传递性课内练习
31.比较下列各组中两个实数的大小1和;2-3和-4;
312.3和.
2.比较下列各组中两个式的大小式中的x是任意实数1x+12和2x+1;2x+5x+7和x+62.
2.数集的区间表示法在§1解一元一次不等式时,你已经知道它的解是一个数集,称为解集;即将学习的其它类型不等式的解,一般也是数集.此前的数集都是用特征描述法来表示的,为了更方便地表示数集,下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法. 1开区间ab ab表示{xaxb},如图2-121;2闭区间[ab][ab]表示{xaxb},如图2-122;3左开右闭区间ab]ab]表示{xaxb},如图2-123;4左闭右开区间[ab[ab表示{xaxb},如图2-124;5左开右__区间a+a+表示{xxa},如图2-125;6左闭右__区间[a+[a+表示{xxa},如图2-126;7左__右开区间-b-b表示{xxb},如图2-127;8左__右闭区间-b]-b]表示{xxb},如图2-128. 例如不等式x+36的解集{xx3}是区间-3;不等式x+35的解集{xx2}是区间[2+;不等式5x2的解集{xx}是区间-];而不等式23+x33+x的解集{xx-3}是区间--3.课内练习
41.以区间法表示下列数集,并在数轴上出来1{xx-1};2{xx0};3{xx};4{xx-}.
2.解下列不等式,以区间法表示其解集,并在数轴上表示出来1x+23; 21-x10;35x+23x-8; 41-x4x+2.课外习题A组
1.用“”或“”填空115+613+6; 29-47-4;36+-25+-2;48+x10+x;53272; 64-35-3.
2.用“”或“”表示下列实数的大小关系1和;2和;3和; 4和.
3.用不等式表示1x与b的和不小于5;2y的倍小于-1;3x与3的差的2倍大于0;4y与-的和不大于6.
4.在数轴上表示下列数集1{xx-2};2{xx
3.5};3{xx0};4{xx-4}.5.解下列不等式,并把解集在数轴上表示和以区间形式表示1x+35;2x的2倍不大于x与3的和.B组
1.用不等式表示1x与3的和不小于5;2两个数的平方和大于0;3代数式3a+2小于1;4代数式4x+8是负数;5代数式2a-1不是负数.
2.解出题1中5个不等式.
3.比较下列两式,求出确定大小的范围1x2-2x+1与0; 2x+22与x2+2;33x+1与2x-5; 4-2-5x与8-6x.C组
1.设a0b0,比较下列两式的大小1与;2与.
2.证明若ab0,则.
3.用“”“=”“”“”“”连接1-12-12;2-;3-23-2;4aa.
4.若abcd,那么a+cb+d成立吗?a-cb-d成立吗?若不成立,应作怎样的修改使之成立?5.解下列不等式17x+58x+6; 26x-34x-4;322-3x3x-2.天平实验图图2-112图2-111-5–4–3–2–1012345678decfab第2题图75xba图2-121xba图2-123xba图2-122xa图2-125xba图2-124xa图2-126xb图2-128xb图2-1271259。