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江苏省泰兴中学2017届高三数学12月阶段性检测试题
一、填空题每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.已知R为实数集,集合,,则= ▲.2.“”是“”的一个 ▲条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写)3.已知等差数列的前项和为,若,,则 ▲.4.设曲线在点32处的切线与直线垂直,则 ▲.5.设实数满足约束条件,则的最大值为 ▲.6.已知奇函数的图象关于直线对称,当时,那么 ▲.7.直线与圆相交于两点,若,则实数k的取值范围是 ▲.8.已知,则= ▲.9.设平面向量(其中)若则的最小值为 ▲.10.已知函数(其中),若的图象经过点则在区间上的单调递增区间为 ▲.
11.已知⊿ABC中,,为⊿ABC的重心,且满足,则⊿ABC的面积的最大值为 ▲.12.已知均为非负数且,则的最小值为 ▲.13.已知函数,且对任意的恒成立,则实数的最大值为 ▲.14.设集合,则集合中任意两个元素的差的绝对值的和为 ▲.
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知命题函数在上是增函数;命题若函数在区间没有零点.
(1)如果命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.
16.本题满分14分设向量.(其中)
(1)若,求实数的值;
(2)若,求函数的值.17.本题满分14分无锡市政府决定规划地铁三号线该线起於惠山区惠山城铁站,止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站,全长28公里,目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好,余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站.经有关部门预算,修建一个停靠站的费用为6400万元,铺设距离为公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.(停靠站位于轨道两侧,不影响轨道总长度)
(1)试将表示成的函数;
(2)需要建多少个停靠站才能使工程费用最小,并求最小值.18.(本题满分16分)已知平面直角坐标系内两个定点、,满足的点形成的曲线记为.
(1)求曲线的方程;
(2)过点B的直线与曲线相交于C、D两点,当⊿COD的面积最大时,求直线的方程(O为坐标原点);
(3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F.求证四边形MNEF的面积为定值.19.(本题满分16分)若函数在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.
(1)当定义域为,试判断是否为“局部奇函数”;
(2)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的范围;
(3)已知,对于任意的,函数都是定义域为上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.
20.(本题满分16分)已知数列的前项积为,即.
(1)若数列为首项为2016,公比为的等比数列,
①求的表达式;
②当为何值时,取得最大值;
(2)当时,数列都有且成立,求证为等比数列.江苏省泰兴中学2017届高三数学阶段检测附加题21B.矩阵与变换(本小题满分10分)已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并且矩阵M将点变换为.求矩阵M.C.极坐标与参数方程(本小题满分10分)已知平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求圆C的圆心的极坐标;
(2)当圆C与直线l有公共点时,求r的取值范围.【必做题】第
22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.本小题满分10分某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了A、B、C三个测试项目.假定张某通过项目A的概率为,通过项目B、C的概率均为a,且这三个测试项目能否通过相互独立.
(1)用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数,求X的概率分布和数学期望(用a表示);
(2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数a的取值范围.23.本小题满分10分在如图所示的四棱锥中,底面,,,,E为线段BS上的一个动点.
(1)证明DE和SC不可能垂直;
(2)当点E为线段BS的三等分点(靠近B)时,求二面角的余弦值.2017届高三数学阶段检测附加题参考答案21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B.矩阵与变换,本小题满分10分解:设,由及,.........5分得,解得,∴..........10分C.极坐标与参数方程,本小题满分10分解
(1)由得,∴曲线C是以为圆心,为半径的圆,∴圆心的极坐标为. ........5分
(2)由得,从而圆心到直线l的距离为,∵圆C与直线l有公共点,∴,即. .......10分22.本题满分10分解
(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.;;;.从而X的分布列为XX的数学期望为.....5分
(2),,.由和,得即的取值范围是....10分23.本题满分10分解
(1)∵底面,,∴AB、AD、AS两两垂直.以为原点,AB、AD、AS所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图), ..........1分则,,,∵且,∴设其中,∴,,.........2分假设DE和SC垂直,则,即,解得,这与矛盾,假设不成立,所以DE和SC不可能垂直.....4分
(2)∵E为线段BS的三等分点(靠近B),∴.设平面SCD的一个法向量是,平面CDE的一个法向量是,∵,,∴,即,即,取,.......6分∵,,∴,即,即,取,.......8分设二面角的平面角大小为,由图可知为锐角,∴,即二面角S-CD-E的余弦值为........10分江苏省泰兴中学高三数学阶段性检测参考答案
一、填空题每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1..2.充分不必要.3.124..5.26.6..7..8..9.10.10..
11..12..13.1.14..
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.解
(1)对恒成立……………(3分)∴……………(6分)
(2)对任意的恒成立,∴在区间递增命题为真命题……………(9分)由命题“”为真命题,“”为假命题知一真一假若真假,则………(11分)若假真,则……………(13分)综上所述,……………(14分)
16.解
(1)……………(2分)∴………(4分)又∴.……………(6分)
(2)∴,…………………………………(9分)…………………(12分)又且∴即………(14分)17.解
(1)设需要修建个停靠站,则个停靠站将28公里的轨道分成相等的段∴……………(3分)∴化简得……………(7分)
(2)(万元)……………(11分)当且仅当即,取“=”……………(13分)答需要建13个停靠站才能使工程费用最小,最小值费用为128028万元……(14分)18.解
(1)由题设知,两边化简得∴点的轨迹的方程为……………(3分)
(2)由题意知的斜率一定存在,设即,∵原点到直线的距离,……………(5分)∴,……………(7分)当且仅当时,取得“=”∴当时,此时,∴直线的方程为.……………(9分)
(3)设……………(11分)设(其中)则,令得∴…………(12分),令得∴…………(13分)∴(定值)…………(16分)19.解
(1)因为,所以,由得,令,而存在一根,即存在,使得,所以为“局部奇函数”.……………3分
(2)由题意知,在上有解,即在上有解,所以在上有解,……………………4分令,所以在上有解,令,
①当时,即,解得,此时在上必有零点,所以;………………………………6分
②当时,在上有零点必须满足综上.……………………………………………9分
(3)由题意知,,在上都有解,即,在上都有解,即,在上都有解,………10分令,令,由题意知在上的值域包含,………………………12分因为,又因为,所以,所以,所以在上单调递增,……………………………14分所以综上.………………………………………………16分
20.解
(1)
①由题意知,所以.……………………………3分
②记,,即,,,当时,;当时,,又因为,所以,当时,;当时,,所以的最大值为.…………………………………6分此时,而,所以.而,所以,当时,取得最大值.………………………9分
(2)当时,,所以,即,…10分已知
①当时,
②①②两式相除得,化简得,
③又因为,
④③④两式相除得,
⑤…………………12分
⑤式可化为,令,所以,所以,即,都成立,所以为等比数列.………………………………16分(当然令,则转而证明为等差数列,方法雷同,不再赘述)。