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文本内容:
江西省宜春2016-2017学年度高三下学期3月月考数学(理)试卷
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.设全集U={x|x>1},集合A={x|x>2},则∁UA=( )A.{x|1<x≤2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>2}D.{x|x≤2}
2.已知复数z满足z•i=2﹣i,i为虚数单位,则z=( )A.2﹣iB.1+2iC.﹣1+2iD.﹣1﹣2i
3.已知△ABC中,AB=2,AC=4,O为△ABC的外心,则•等于( )A.4B.6C.8D.
104.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为( )A.6B.8C.10D.
125.在一个不透明的袋子里,有三个大小相等小球(两黄一红),现在分别由3个同学无放回地抽取,如果已知第一名同学没有抽到红球,那么最后一名同学抽到红球的概率为( )A.B.C.D.无法确定
6.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位m),则该几何体的体积为( )A.B.C.D.
7.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5.若存在两项am,an使得,则的最小值为( )A.B.C.D.
8.将函数y=sin(x+)cos(x+)的图象沿x轴向右平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值不可能是( )A.B.﹣C.D.
9.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题是真命题的是( )A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m∥α,α∥β,则m∥βC.若,,则D.若,,则
10.已知椭圆的焦点是F1(0,﹣),F2(0,),离心率e=,若点P在椭圆上,且=,则∠F1PF2的大小为( )A.B.C.D.
11.设函数f(x)=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的图象大致为( )A.B.C.D.
12.若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l x﹣y+b=0的距离为,则b的取值范围是( )A.[﹣2,2]B.[﹣10,10]C.(﹣∞,﹣10]∪[10,+∞)D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量,的夹角为,且|=1,,|= .
14.(x﹣)4(x﹣2)的展开式中,x2的系数为 .
15.已知等比数列{an}的各项均为正数,且满足a1a7=4,则数列{log2an}的前7项之和为 .
16.设定义域为的函数,若关于的方程有三个不同的实数解,则____
三、解答题(本题共6小题共70分解答过程应写出文字说明证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos2+acos2=c.(Ⅰ)求证a,c,b成等差数列;(Ⅱ)若C=,△ABC的面积为2,求c.
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.
(1)求证平面PCD⊥平面PAD;
(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置;若不存在,说明理由.
19.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为,且各局胜负相互独立.求1打满4局比赛还未停止的概率;2比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ. 令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
20.如图,射线OA,OB所在的直线的方向向量分别为,,点P在∠AOB内,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N;
(1)若k=1,,求|OM|的值;
(2)若P(2,1),△OMP的面积为,求k的值;
(3)已知k为常数,M,N的中点为T,且S△MON=,当P变化时,求动点T轨迹方程.
21.已知函数f(x)=ax3﹣bex(a∈R,b∈R),且f(x)在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直.
(1)若函数f(x)在[,1]存在单调递增区间,求实数a的取值范围;
(2)若f′(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求a的取值范围;
(3)在第二问的前提下,证明﹣<f′(x1)<﹣1.
22.选修4-1几何证明选讲如图,正方形ABCD边长为2,以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连结CF并延长交AB于点E.
(1)求证AE=EB;
(2)求EFFC的值.
23.[选修4-4坐标系与参数方程](共1小题,满分10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(Ⅰ)若A,B为曲线C1,C2的公共点,求直线AB的斜率;(Ⅱ)若A,B分别为曲线C1,C2上的动点,当|AB|取最大值时,求△AOB的面积.
24.选修4-5不等式选讲已知函数f(x)=|x﹣|﹣|2x+1|.(Ⅰ)求f(x)的值域;(Ⅱ)若f(x)的最大值时a,已知x,y,z均为正实数,且x+y+z=a,求证++≥1.参考答案123456789101112ADBBCCBCCDAA
13.
314.
1615.
716.
1117.解(Ⅰ)证明由正弦定理得即,∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…∴sinB+sinA+sin(A+B)=3sinC∴sinB+sinA+sinC=3sinC…∴sinB+sinA=2sinC∴a+b=2c…∴a,c,b成等差数列.…(Ⅱ)∴ab=8…c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=4c2﹣24.…∴c2=8得…
18.【解答】
(1)证明∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD
①又∵AB⊥AD,AB∥CD,∴CD⊥AD
②由
①②可得CD⊥平面PAD又CD⊂平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD
(2)解当点E是PC的中点时,BE∥平面PAD.证明如下设PD的中点为F,连接EF,AF易得EF是△PCD的中位线∴EF∥CD,EF=CD由题设可得AB∥CD,AF=CD∴EF∥AB,EF=AB∴四边形ABEF为平行四边形∴BE∥AF又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD∴BE∥平面PAD
19.1由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满4局比赛还未停止
20.解
(1)因为,所以|OP|=,因为OA的方程为y=x,即x﹣y=0,点P到直线的距离为=,所以|OM|==;
(2)直线OA的方程为kx﹣y=0,P(2,1)到直线的距离为d=,所以|OM|=,所以△OMP的面积为××=,所以;
(3)设M(x1,kx1),N(x2,﹣kx2),T(x,y),x1>0,x2>0,k>0,设直线OA的倾斜角为α,则,根据题意得代入化简得动点T轨迹方程为.
21.解因为f(x)=ax2﹣bex,所以f
(0)=﹣b=﹣1,所以b=1…
(1)由前可知,f(x)=ax2﹣ex根据题意f(x)>0在上有解,即ax2﹣ex>0在上有解…即在上有解,令,故只需所以,所以,当时,g(x)<0,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)min=g
(1)=e,所以a>e…
(2)令h(x)=f(x),则h(x)=ax2﹣ex,所以h(x)=2ax﹣ex由题可知,h(x)=0有两个根x1,x2,即2ax﹣ex=0有两个根x1,x2,又x=0显然不是该方程的根,所以方程有两个根,…设φ(x)=,则φ′(x)=,当x<0时,φ(x)<0,φ(x)单调递减;当0<x<1时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减;当x>1时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增.故要使方程2a=有两个根,只需2a>φ
(1)=e,即a>,所以a的取值范围是(,+∞),
(3)由
(2)得0<x1<1<x2…且由h(x1)=0,得2ax1﹣=0,所以a=,x1∈(0,1)…所以f′(x1)=h(x1)=a﹣=(﹣1),x1∈(0,1),令r(t)=et(﹣1),(0<t<1),则r′(t)=et()<0,r(t)在(0,1)上单调递减,所以r
(1)<r(t)<r
(0),即﹣<f′(x1)<﹣1.…
22.【解答】
(1)证明由以D为圆心DA为半径作圆,而ABCD为正方形,∴EA为圆D的切线依据切割线定理,得EA2=EFEC…另外圆O以BC为直径,∴EB是圆O的切线,同样依据切割线定理得EB2=EFEC…故AE=EB…
(2)解连结BF,∵BC为圆O直径,∴BF⊥EC在RT△EBC中,有…又在Rt△BCE中,由射影定理得EFFC=BF2=.…
23.解(Ⅰ)消去参数α得曲线C1的普通方程C1x2+y2﹣2x=0.…
(1)将曲线C2ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0.…
(2)由
(1)﹣
(2)得4y﹣2x=0,即为直线AB的方程,故直线AB的斜率为;(Ⅱ)由C1(x﹣1)2+y2=1知曲线C1是以C1(1,0)为圆心,半径为1的圆,由C2x2+(y﹣2)2=4知曲线C2是以C2(0,2)为圆心,半径为2的圆.∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|,∴当|AB|取最大值时,圆心C1,C2在直线AB上,∴直线AB(即直线C1C2)的方程为2x+y=2.∵O到直线AB的距离为,又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+,∴△AOB的面积为.
24.(Ⅰ)解函数f(x)=|x﹣|﹣|2x+1|=,函数的图象如图所示,则函数的值域为(﹣∞,1];(Ⅱ)证明由题意x,y,z均为正实数,x+y+z=1,由柯西不等式可得(x+y+z)(++)≥(y+z+z)2=1,∴++≥1.。