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普宁华侨中学2017届高三摸底考试高三理科数学第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)1.若集合则a的取值范围是()A.B.C.D.2.复数(是虚数单位)等于A.B.C.D.3.命题“若,则”的否命题是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则
4.已知动点P(x,y)满足,则点P的轨迹是A.两条相交直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆
5.函数(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中m>0,n>0,则的最小值为()A.B.4C.D.
6.设椭圆C(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1、F2,P是C上的点且PF2F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.B.C.D.7.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于A.B.C.D.
8.已知sin-3cos=0,则A.B.C.2D.
9.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.
2110.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A.B.C.D.
11.从中任取个不同的数,则取出的个数之差的绝对值为的概率是()(A)(B)(C)(D)
12.设函数,若,,则函数的零点个数为A.1B.2C.3D.4(非选择题共90分)
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.已知,,则.14.执行如图所示的程序框图,输出的S的值为.15.函数的导函数.16.我校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团)心晴社话剧社羽毛球社高一4530高二151020学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取人,结果心晴被抽出人,则的值为.
三、解答题本大题共6小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且c=2C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a、b;
(2)若sinC+sinB-A=sin2A,求A的值.
18.本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求PX≤n≥
0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
19.本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC丄侧面A1ABB1,且AA1=AB=
2.
(1)求证AB丄BC;
(2)若直线AC与面A1BC所成的角为,求二面角A-A1C-B的大小.
20.本小题满分12分)已知椭圆a>b>0的一个焦点是F10,O为坐标原点.
(1)已椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(2)设过点F的直线L交椭圆于A,B两点,若直线L绕点F任意转动,恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范围.
21.本小题满分12分)已知函数
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数与函数的图像关于直线x=1对称,证明当x>1时,fx>gx;
(3)如果,证明.四.选做题(从222324三道题中选一题作答)
22.本小题满分10分)选修几何证明选做题如图所示,直线PA为圆O的切线,切点为A,直径BC丄OP,连结AB交PO于点D.
(1)证明PA=PD;
(2)证明PA•AC=AD•OC.
23.本小题满分10分)选修极坐标与参数方程在直角坐标系中,直线L的参数方程t为参数),在O为极点,x轴非负半轴为为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线L的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线L与y轴的交点为P,直线L与曲线C的交点为A,B,求|PA||PB|的值.
24.本小题满分10分)选修不等式选讲设函数,其中a∈R.
(1)当a=2时,解不等式;
(2)若对于任意实数,恒有成立,求a的取值范围高三(理科)数学答案一选择题本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的123456789101112ADCADAAABBBC
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.
14.-115.
16.
301、解答题
17.1c=3C=由余弦定理得,故联立上面两式,解得…6分
(2),即;.则分类讨论若;若,则,由正弦定理b=2a又,故,即.综上…12分
18.解
(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为
0.2,
0.4,
0.2,
0.2,从而;;;;;;.所以的分布列为16171819202122…4分
(2)由(Ⅰ)知,,故的最小值为
19.…8分
(3)记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位元).当时,当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.…12分
19.1取A1B的中点为D,连接AD
(2)角ACD即AC与面A1BC所成线面角等于;直角三角形ABC中A1A=AB=2,D为AB的中点,过A作,且.故即为二面角的一个平面角.又,,且二面角是锐二面角,…12分解法二以BC,BA,BB1分别为xyz轴建系,故分别求得面A1BC的法向量为(01,-1),面A1AC的法向量为
(110),求得法向量夹角余弦…12分
20.
(1)设M,N为短轴的两个三等分点,由△MNF为正三角形,即1=,椭圆的方程为.…4分2AB与x轴重合,则…5分AB与x轴不重合,令AB方程为,联立,即,且,…7分恒有故为钝角,即恒成立,…9分整理得对于恒成立,此时的最小值为
0.又,,解得…12分
21.
(1)在上增,在上减,故在x=1处取得极大值…4分
(2)因为函数的图像与的图像关于直线x=1对称,所以=,令,则又,当时有,在上为增函数,∴.…8分3在上增,在上减,且,∴x1x2分别在直线x=1两侧,不妨设x11x21∴即,∵∴又∴∴.…12分
22.1直线PA为圆O的切线,切点为A,,BC为圆O的直径,∴∵∴…5分2连接由1得∵∴∴∴…10分
23.
(1)∵直线的参数方程为,∴,∴直线的普通方程为,又∵,∴曲线的直角坐标方程为;…5分
(2)将直线的参数方程(为参数)代入曲线,得到,,.…10分
24.(Ⅰ)时就是当时得不成立;当时得所以;当时即恒成立所以.综上可知不等式的解集是.…5分Ⅱ因为所以的最大值为.对于任意实数恒有成立等价于.当时得;当时不成立.综上所求的取值范围是.…10分。