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广东省汕头市潮师高级中学2017届高三数学上学期期中试题理一.选择题本大题共12小题,每小题5分.
(1)已知集合,,则(A)(B)(C)(D)
(2)已知复数,其中为虚数单位,则复数的共轭复数所对应的点在(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
(3)执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出的值为(A)6(B)8(C)10(D)12
(4)已知,则的值是ABCD
(5)已知随机变量服从正态分布且则ABCD
(6)已知下列四个命题若直线和平面内的无数条直线垂直,则;若,则,;若,则,;在△中,若,则.其中真命题的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4
(7)如果,,…,是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,,…,,是抛物线的焦点,若,则(A)(B)(C)(D)
(8)等比数列中,,函数,则()A.B.C.D.9若0<m<1,则 A.logm1+m>logm1-m B.logm1+m>0C.1-m>1+m2 D.1-m
0.3>1-m
0.5
(10)已知边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体,则四面体的外接球的表面积为()A.B.C.D.
(11)设x,y满足约束条件若目标函数z=abx+ya>0,b>0的最大值为35,则a+b的最小值为.A2B3C4D8
(12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为(A)(B)(C)(D)二.填空题本大题共4小题,每小题5分.
(13)一个总体中有60个个体,随机编号0,1,2,…,59,依编号顺序平均分成6个小组,组号依次为1,2,3,…,6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本,若在第1组随机抽取的号码为3,则在第5组中抽取的号码是.
(14)的展开式中,的系数为.(用数字填写答案)
(15)已知是的中线,,,则的最小值是.
(16)已知函数则函数的零点个数为个三.解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)如图,在△中,点在边上,,,.(Ⅰ)求的长;(Ⅱ)求△的面积.
(18)(本小题满分12分)已知二次函数y=fx的图象经过坐标原点,其导函数为f′x=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点n,Snn∈N*在函数y=fx的图象上.1求数列{an}的通项公式;2设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn对所有nn∈N*都成立的最小正整数m.
(19)(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间,,内的频率之比为.(Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间内的频率;(Ⅱ)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为,求的分布列与数学期望.
(20)(本小题满分12分)如图,四棱柱的底面是菱形,,底面,.(Ⅰ)证明平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
(21)(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若曲线在点处的切线斜率为,求实数的值;(Ⅱ)当时,证明.请考生在第
23、24题中任选一题做答,做答时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,.(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)在曲线上求一点,使它到直线(为参数,)的距离最短,并求出点的直角坐标.
(23)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若对任意,不等式的解集为空集,求实数的取值范围.2017年潮师高级中学期中测试理科数学试题答案及评分参考一.选择题
(1)D
(2)D
(3)C
(4)A
(5)B
(6)B
(7)A
(8)C
(9)D
(10)D
(11)D
(12)A二.填空题
(13)
(14)
(15)1
(16)三.解答题
(17)Ⅰ解法一在△中,因为,设,则.在△中,因为,,,所以.………………………………………………………2分在△中,因为,,,由余弦定理得.………4分因为,所以,即.………………………………………………………5分解得.所以的长为.…………………………………………………………………6分解法二在△中,因为,设,则.在△中,因为,,,所以.所以.……………………………………………2分在△中,因为,,,由余弦定理得.…………4分所以.………………………………………………5分解得.所以的长为.…………………………………………………………………6分(Ⅱ)解法一由(Ⅰ)求得,.………………8分所以,从而.…………………………10分所以.……………………………………………12分解法二由(Ⅰ)求得,.………………8分因为,所以△为等腰三角形.因为,所以.……………………………10分所以△底边上的高.所以.……………………………………………12分【18】[自主解答] 1设函数fx=ax2+bxa≠0,则f′x=2ax+b,由f′x=6x-2,得a=3,b=-2,所以fx=3x2-2x.又因为点n,Snn∈N*在函数y=fx的图象上,所以Sn=3n2-2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3n-12-2n-1]=6n-
5.当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5,所以,an=6n-5n∈N*.2由1知bn===,故Tn=b1+b2+…+bn=[1-++…+]=1-.因此,要使n∈N*恒成立,则m需满足≤即可,则m≥10,所以满足要求的最小正整数m为
10.
(19)解(Ⅰ)设区间内的频率为,则区间,内的频率分别为和.…………………………1分依题意得,………………3分解得.所以区间内的频率为.………………………………………………4分(Ⅱ)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验,所以服从二项分布,其中.由(Ⅰ)得,区间内的频率为,将频率视为概率得.………………………………………………………5分因为的所有可能取值为0,1,2,3,…………………………………………6分且,,,.所以的分布列为
01230.
0640.
2880.
4320.216所以的数学期望为.(或直接根据二项分布的均值公式得到)……………12分
(20)(Ⅰ)证明因为平面,平面,所以.………………1分因为是菱形,所以.………………2分因为,所以平面.……………………………………………………………3分因为平面,所以平面平面.…………………………………………………4分(Ⅱ)解法一因为平面,,以为原点,,,方向为,,轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.………………………5分因为,,所以,,.………………6分则,,,,所以,.………………………7分设平面的法向量为,因为,,所以令,得.…………………………………………………………9分同理可求得平面的法向量为.………………………………10分所以.…………………………………………………11分因为二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.……………………………………12分解法二由(Ⅰ)知平面平面,连接与交于点,连接,,因为,,所以为平行四边形.因为,分别是,的中点,所以为平行四边形.且.因为平面平面,过点作于,则平面.过点作于,连接,则.所以是二面角的平面角的补角.……………………………6分在中,.………………………………7分在中,因为,所以.因为,,所以.因为,所以为直角三角形.……………………………8分所以.…………………………………………9分所以.…………………………………………………10分所以.……………………………………………………11分所以二面角的余弦值为.……………………………………12分
(21)(Ⅰ)解因为,所以.……………………………………………………………1分因为曲线在点处的切线斜率为,所以,解得.…………………………………………………2分(Ⅱ)证法一因为,所以等价于.当时,.要证,只需证明.………………4分以下给出二种思路证明.思路1设,则.设,则.所以函数在上单调递增.…………………6分因为,,所以函数在上有唯一零点,且.………………………………8分因为,所以,即.………………9分当时,;当时,,所以当时,取得最小值.………………………………………10分所以.综上可知,当时,.……………………………………12分思路2先证明.……………………………………………5分设,则.因为当时,,当时,,所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.所以.所以(当且仅当时取等号).…………………………………7分所以要证明,只需证明.………………………………………………8分下面证明.设,则.当时,,当时,,所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.所以.所以(当且仅当时取等号).……………………………10分由于取等号的条件不同,所以.综上可知,当时,.……………………………………12分(若考生先放缩,或、同时放缩,请参考此思路给分!)
(22)(Ⅰ)解由,,可得.…………………………………………………………………1分因为,,…………………………………………………2分所以曲线的普通方程为(或).…………4分(Ⅱ)解法一因为直线的参数方程为(为参数,),消去得直线的普通方程为.……………………………………5分因为曲线是以为圆心,1为半径的圆,设点,且点到直线的距离最短,所以曲线在点处的切线与直线平行.即直线与的斜率的乘积等于,即.………………7分因为,解得或.所以点的坐标为或.……………………………………9分由于点到直线的距离最短,所以点的坐标为.……………………………………………………10分解法二因为直线的参数方程为(为参数,),消去得直线的普通方程为.……………………………………5分因为曲线是以为圆心,1为半径的圆,因为点在曲线上,所以可设点.………7分所以点到直线的距离为.………………………………8分因为,所以当时,.…………………………………9分此时,所以点的坐标为.……………………………10分
(23)(Ⅰ)解当时,等价于.……………………1分
①当时,不等式化为,无解;
②当时,不等式化为,解得;
③当时,不等式化为,解得.…………………………3分综上所述,不等式的解集为.………………………………4分(Ⅱ)因为不等式的解集为空集,所以.…………………5分以下给出两种思路求的最大值.思路1因为,当时,.当时,.当时,.所以.……………………………………………………7分思路2因为,当且仅当时取等号.所以.……………………………………………………7分因为对任意,不等式的解集为空集,所以.………………………………………………………8分以下给出三种思路求的最大值.思路1令,所以.当且仅当,即时等号成立.所以.所以的取值范围为.…………………………………………………10分思路2令,因为,所以可设,则,当且仅当时等号成立.所以的取值范围为.…………………………………………………10分思路3令,因为,设则.问题转化为在的条件下,求的最大值.利用数形结合的方法容易求得的最大值为,此时.所以的取值范围为.…………………………………………………10分开始结束输入x是否输出ABCD质量指标值
0.
0120.
0040.
0190.03015253545556575850频率组距ABCDO………………………10分ABCDOzyxABCDOABCDOKHxyO。