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九江一中2017届高三第一次月考数学(理科)试卷满分150分时间120分钟第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知复数,则所对应的点在复平面内所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2,,则=A.B.C.D.3设向量的夹角为,则“”是“为钝角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要4已知函数的定义域是,则函数的定义域是()A.B.C.D.5在锐角中,角所对的边分别为,若,,,则的值为A.B.C.D.6已知函数向右平移个单位后,所得的图像与原函数图像关于轴对称,则的最小正值为()A.B.C.D.7各项均为正数的等比数列的前项的为,若,则()A.B.C.D.8若函数()的最小正周期为,则在区间上的值域为()A.B.C.D.9曲线与直线的图像所围成的封闭图形的面积为()A.B.2C.D.310展开式中,的系数为()A.7B.8C.9D.1011已知是单位圆上互不相同的三点,且满足,则的最小值为()A.B.C.D.12若函数满足,当时,,若在区间上有两个零点,则实数的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题,学生根据要求作答.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13已知函数,则14已知向量,的夹角为,且,,15已知为第一象限角,且,,则16已知函数的定义域为0,+∞,若在0,+∞上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在0,+∞上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.已知函数,若,且,实数的取值范围;
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,已知(Ⅰ)求角的大小,(Ⅱ)若,求使面积的最大值.18本小题满分12分)已知数列各项均为正数,其前项和为,且,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和
19.本小题满分12分)某卫视推出一档全新益智答题类节目,这档节目打破以往答题类节目的固定模式,每档节目中将会有各种年龄层次,不同身份,性格各异的10位守擂者和1位打擂者参加,以PK的方式获得别人手中的奖品,一旦失败,就将掉下擂台,能否“一站到底”成为节目最大悬念现有一位参赛者已经挑落10人,此时他可以赢得10件奖品离开或者冲击超级大奖“马尔代夫双人游”,冲击超级大奖会有一定的风险,节目组会精选5道题进行考核,每个问题能正确回答进入下一道,否则失败,此时只能带走5件奖品,若5道题全部答对则可以带走10件奖品且还可以获得超级大奖“马尔代夫双人游”若这位参赛者答对第12345道题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响,求(Ⅰ)该参赛者选择冲击大奖最终只带走5件奖品的概率;(Ⅱ)该参赛者在冲击超级大奖的过程中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列和期望
20.本小题满分12分)已知为椭圆的左、右焦点,分别是椭圆的右顶点和上顶点,椭圆的离心率,.若点在椭圆上,则点称为点的一个“椭点”,已知直线与椭圆交于两点,且两点的“椭点”分别为.Ⅰ求椭圆的标准方程;Ⅱ是否存在过左焦点的直线,使得以为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
21.本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)证明当时,;(Ⅱ)设当时,,求的取值范围四请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.本小题满分10分选修坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程是.(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值.
23.本小题满分10分选修不等式选讲已知为正实数,若对任意,不等式恒成立.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)试判断点与椭圆的位置关系,并说明理由.解
(1)由得圆C的方程为……………………………………………4分
(2)将代入圆的方程得…………5分化简得……………………………………………………………6分设两点对应的参数分别为则………………………7分所以……………………8分所以…………………………………10分
24.解
(1)因为,,所以……………………1分因为,所以…………………………………………………………3分,所以……………………5分所以的最小值为…………………………………………………………………6分
(2)因为………………………………………………7分所以……………………………………………………………………………8分即,所以点在椭圆的外部……………………10分17解析
18.
(1)∵A+C=π﹣B,即cos(A+C)=﹣cosB,∴由正弦定理化简已知等式得=,整理得2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,∵sinA≠0,∴cosC=﹣,∵C为三角形内角,∴C=;(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣,∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC,即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,∴ab≤,(当且仅当a=b时成立),∵S=absinC=ab≤,∴当a=b时,△ABC面积最大为,此时a=b=,则当a=b=时,△ABC的面积最大为.19解
(1)因为,所以.………4分
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
0.
4.………8分
(3)受访职工中评分在的有(人),记为;受访职工中评分在的有(人),记为.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是,,又因为所抽取2人的评分都在[4050的结果有1种,即,设“所抽取2人的评分都在[4050”为事件,则.………12分20解1由题意得e==,故c=a,b=a,S△DEF2=×a-c×b=×=×a2=1-,故a2=4,即a=2,所以b=1,c=,故椭圆C的标准方程为+y2=
1.2
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-,联立解得或不妨令A,B,所以对应的“椭点”坐标为P,Q.而·=≠
0.所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,联立消去y得4k2+1x2+8k2x+12k2-4=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则这两点的“椭点”坐标分别为P,Q,由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,则y1y2=k2x1+x2+=k2[x1x2+x1+x2+3]=.若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点,则OP⊥OQ,而=,=,因此·=0,即×+y1y2=+y1y2=0,即=0,解得k=±.所以所求的直线方程为y=x+或y=-x-.21.解1f′x=aexx+2,g′x=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线,∴f′0=2a,g′0=b.∴2a=b,f0=a=g0=2,∴a=2,b=
4.∴fx=2exx+1,gx=x2+4x+
2.2由1得f′x=2exx+2.由f′x>0得x>-2,由f′x<0得x<-2,∴fx在-2,+∞上单调递增,在-∞,-2上单调递减.∵t>-3,∴t+1>-
2.当-3<t<-2时,fx在[t,-2]上单调递减,[-2,t+1]上单调递增,∴fxmin=f-2=-2e-
2.当t≥-2时,fx在[t,t+1]上单调递增,∴fxmin=ft=2ett+1.综上所述,当-3<t<-2时,fxmin=-2e-2;当t≥-2时,fxmin=2ett+1.3由1得Fx=4exx+1-x2-4x.则F′x=4exx+1+4ex-2x-4=2x+22ex-1,由F′x>0得x>-ln2或x<-2,由F′x<0得-2<x<-ln2,所以Fx在-∞,-2,-ln2,+∞上单调递增,在-2,-ln2上单调递减,故Fx极小值=F-ln2=2+2ln2-ln22=2+ln22-ln2>0,F-4=4e-4×-4+1-16+16=-12e-40,故函数Fx=2fx-gx+2只有一个零点.。