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广东省清远市清城区三中高三第一学期第三次周考数学(理)试题本卷满分150分,时间120分钟
1、选择题(60分,每题5分)1.已知全集且则等于()A.B.C.D.2.设复数满足,则()A.1B.C.D.23.已知平面向量的夹角为且,在中,,,为边的中点,则=()A.2B.4C.6D.84.某年级有1000名学生,随机编号为0001,0002,…,1000,现用系统抽样方法,从中抽出200人,若0122号被抽到了,则下列编号也被抽到的是()A.0116B.0927C.0834D.07265.若某几何体的三视图单位如图所示,则该几何体的体积等于()A.B.C.D.
6.若,则的值为()A.B.C.D.
7.若,则的展开式中常数项为()A.B.C.D.8.阅读如图所示的程序框图,输出的结果的值为()A.0B.C.D.9.有4名优秀大学毕业生被某公司录用,该公司共有5个科室,由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班,每个科室至少安排一人,则不同的安排方案种数为()A.120B.240C.360D.
48010.已知是定义在上的偶函数,且在上是增函数,设则的大小关系是()A.B.C.D.11.过点(,0)引直线l与曲线相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.B.C.D.12.如图,,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点,两点.若为等边三角形,则的面积为()A.8B.C.D.
162、填空题(20分,每题5分)
13.已知向量,向量的夹角是,,则=________.14.若,则=________.
15.在中,为BC边上的一点,若则BD=________.
16.设函数的最大值为M最小值m则M+m=________.
3、解答题(70分)
17.(本小题满分12分)等差数列的前项和为,已知,为整数,且.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和的最大值.
18.(本小题满分12分)四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.
(1)证明;
(2)设与平面所成的角为,求二面角的余弦值的大小.
19.(本小题满分12分)调查表明,高三学生的幸福感与成绩,作业量,人际关系的满意度的指标有极强的相关性,现将这三项的满意度指标分别记为,并对它们进行量化0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意.再用综合指标的值评定高三学生的幸福感等级若,则幸福感为一级;若,则幸福感为二级;若,则幸福感为三级.为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况,研究人员随机采访了该群体的10名高三学生,得到如下结果
(1)在这10名被采访者中任取两人,求这两人的成绩满意度指标相同的概率;
(2)从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,记随机变量,求的分布列及其数学期望.
20.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,以为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,和面内一点,过点任作直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,若,试求满足的关系式.
21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)当时,求函数的最大值;
(2)函数与轴交于两点且,证明.
22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(1)求曲线的普通方程,并将的方程化为极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程为,其中满足,若曲线与的公共点都在上,求.
23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.数学(理)答案
1、BAABBACACBBC
二、13.
214.___15.__2+__.
16.4
三、
17.解
(1)由,为整数知,,的通项公式为.
(2),于是.结合的图象,以及定义域只能取正整数,所以的时候取最大值.
18.解
(1)取中点,连接交于点.∵,∴,又平面平面,∴平面,∴.
(2)在面内过点作的垂线,垂直为.∵,,∴面,∴,则即为所求二面角的平面角.,,,,则.
19.解
(1)设事件这10名被采访者中任取两人,这两人的成绩满意度指标相同成绩满意度指标为0的有1人成绩满意度指标为1的有7人成绩满意度指标为2的有2人则.
(2)统计结果,幸福感等级是一级的被采访者共6人,幸福感等级不是一级的被采访者共4名,随机变量的所有可能取值为12345,,,过程略.
20.解
(1)
(2)
①当直线斜率不存在时,由,解得,不妨设,,因为,所以,所以的关系式为.
②当直线的斜率存在时,设点,设直线,联立椭圆整理得,根系关系略,所以所以,所以的关系式为.
21.解
(1)当时,,求导得,很据定义域,容易得到在处取得最大值,得到函数的最大值为-
1.
(2)根据条件得到,,两式相减得,得因为得因为,所以,要证即证即证,即证设,原式即证,即证构造求导很容易发现为负,单调减,所以得证
22.解
(1)消去参数得到的普通方程,将,代入的普通方程,得到的极坐标方程.
(2)曲线的公共点的极坐标满足方程组,若,由方程组得,由已知,可解得,根据,得到,当时,极点也为的公共点,在上,所以.
23.
(1)当时,不等式化为当,不等式化为,无解;当,不等式化为,解得;当,不等式化为,解得;综上,不等式的解集为.
(2)由题设把写成分段函数,所以函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为解得,由题设得,得到,所以的范围是.。