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普宁勤建中学2017届高三第一学期第三次月考理科数学试题注意事项
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号第Ⅱ卷必须用
0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,有且只有一个是符合题目要求,请将你所选选项填入答题卷相应表格中)
1、如果集合,那么()A.B.C.D.
2、设全集,则有()A.B.C.D.
3、命题“∀x∈R,|x|+x2⩾0”的否定是()A. ∀x∈R,|x|+x20B. ∀x∈R,|x|+x2⩽0C. ∃∈R,||+0D. ∃∈R,||+⩾04.函数的零点所在区间是A.O1B.12C.23D.
345.下列函数中,既是偶函数,又在区间
(03)内是增函数的是A、B、C、D、6.已知函数.那么不等式的解集为A.B.C.D.
7、为了得到函数的图像,可以把函数的图像()A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向左平移2个单位长度D.向右平移2个单位长度
8、“x0”是“lnx+10”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9、当时,函数的值域为()A.B.C.D.
10、已知,那么的取值范围是()A.B.C.或D.
11、函数的图像经过第
二、
三、四象限,则必有()A.B.C.D.
12、方程lnx+2x−8=0的实数根的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知且,则的最小值为.
14.下列式子,,,,.由归纳推理,第个式子为.
15.已知中,角的对边分别为,已知,则的最小值为.
16.在中,,是过点的一条线段,且,若,则的最小值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知数列是递增等比数列,为其前项和,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列满足,求其前项和.
18..已知a,b,c分别是△ABC的角A,B,C所对的边,且c=2,C=.1若△ABC的面积等于,求a,b;2若sinC+sinB-A=2sin2A,求A的值.
19.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T,其范围为
[010],分别有5个级别T∈[02畅通;T∈[24基本畅通;T∈[46轻度拥堵;T∈[68中度拥堵;T∈
[810]严重拥堵.早高峰时段T≥3,从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段,依据交通指数数据绘制的直方图如图所示1据此直方图估算交通指数T∈[48时的中位数和平均数;2据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少?3某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为35分钟,中度拥堵为45分钟,严重拥堵为60分钟,求此人所用时间的数学期望.
20.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(1)证明AP⊥BC;
(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由
21.如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长
(1)求,的方程;
(2)设与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与相交于点AB直线MAMB分别与相交与DE.(i)证明;ii记△MAB△MDE的面积分别是.问是否存在直线使得=请说明理由普宁勤建中学2017届高三第一学期第三次月考理科数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,有且只有一个是符合题目要求,请将你所选选项填入答题卷相应表格中)题号123456789101112答案DBCBADABBCCB
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.
314.
15.
16.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.【解析】(Ⅰ)由题意可知,又∵,解得或,又∵数列是递增等比数列,∴,设的公比为,则,.∴.(Ⅱ)法1由(Ⅰ)知,,,∴.法2由(Ⅰ)知,,∴∴.
18.解1∵c=2,C=,由余弦定理,可得c2=a2+b2-2abcosC,∴4=a2+b2-ab,∵absin=,化为ab=
4.联立解得a=2,b=
2.2∵sinC=sinB+A,sinC+sinB-A=2sin2A,∴sinA+B+sinB-A=2sin2A,2sinBcosA=4sinAcosA,当cosA=0时,解得A=;当cosA≠0时,sinB=2sinA,由正弦定理可得b=2a,联立解得∴b2=a2+c2,∴B=,又C=,∴A=.综上可得,A=或A=.
19.解1由直方图知,T∈[48时交通指数的中位数为5+1×=,T∈[48时交通指数的平均数为
4.5×
0.2+
5.5×
0.24+
6.5×
0.2+
7.5×
0.16=
4.
72.2设事件A为“一条路段严重拥堵”,则PA=
0.1,则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为P=C×2×+C×3=,所以3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为.3由题意,所用时间x的分布列如下表x30354560P
0.
10.
440.
360.1则Ex=30×
0.1+35×
0.44+45×
0.36+60×
0.1=
40.6,所以此人经过该路段所用时间的数学期望是
40.6分钟.
20.(Ⅰ)证明如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz则O
(000),A(0,-30),B
(420),C(-420)P
(004)由此可得所以⊥,即AP⊥BC.(Ⅱ)解设设平面BMC的法向量平面APC的法向量由得即可取由即得可取由,得解得,故AM=3综上所述,存在点M符合题意,AM=3方法二(Ⅰ)证明由AB=ACD是BC的中点,得AD⊥BC又PO⊥平面ABC得PO⊥BC因为PO∩BC=0,所以BC⊥平面PAD故BC⊥PA.(Ⅱ)解如图,在平面PAD内作BM⊥PA于M连CM.由(Ⅰ)中知AP⊥BC得AP⊥平面BMC.又AP平面APC所以平面BMC⊥平面APC在Rt⊿ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=在Rt⊿POD中PB2=PO2+OD2在Rt⊿PDB中PB2=PD2+BD2所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=
6.在Rt⊿POA中PA2=AO2+OP2=25得PA=5又从而所以综上所述,存在点M符合题意,AM=
3.
21.解析(I)由题意知,从而,又,解得故,的方程分别为(II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为.由得,设,则是上述方程的两个实根,于是又点的坐标为,所以故,即(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为又直线的斜率为,同理可得点B的坐标为.于是由得,解得或,则点的坐标为;又直线的斜率为,同理可得点的坐标于是因此由题意知,解得或又由点的坐标可知,,所以故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和。