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奉新一中2017届高三年级第三次月考理科数学试题
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合,,若,则()A.B.C.D.
2.已知,那么复数对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如果函数的图象大致是()4.把一个函数图像按平移得到函数的图像,则原函数的解析式为()A.B.C.D.5.下列命题正确的是()A.已知B.在ABC中,角A、B、C的对边分别是,则是cosAcosB的充要条件C.命题对任意的,则对任意的D.存在实数,使成立6.函数的零点个数为A.0B.1C.2D.37.已知关于的方程的两个实数根满足,,则实数的取值范围是()A.B.C.D.
8.设数列为等差数列,其前n项和为,已知,若对任意,都有成立,则k的值为()A.22B.21C.20D.
199.已知函数的图像关于直线对称,则实数的值为A.-B.C.D.
10.一个空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.11.已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是A.B.C.D.
12.已知点在由不等式组确定的平面区域内,则点所在平面区域的面积是()A.1B.2C.4D.8
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分
13.平面向量与的夹角为,,则
14.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为15.三国魏人刘徽,自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题今有望海岛,立两表齐,高三丈,前後相去千步,令後表与前表相直从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合从後表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合问岛高几何翻译如下要测量海岛上一座山峰的高度,立两根高三丈的标杆和,前后两竿相距步,使后标杆杆脚与前标杆杆脚与山峰脚在同一直线上,从前标杆杆脚退行步到,人眼著地观测到岛峰,、、、三点共线,从后标杆杆脚退行步到,人眼著地观测到岛峰,、、三点也共线,则山峰的高度__________步.(古制步尺,里丈尺步)
16.已知等比数列的首项,公比,数列前项的积记为,则使得取得最大值时的值为
三、解答题本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)一中科技楼旁正准备建设一个高标准羽毛球球馆,为了降低能源损耗,球馆的外墙需要建造隔热层.球馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位万元)与隔热层厚度(单位cm)满足关系,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值
18.(本小题满分12分)若等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=a,n≥2时Sn2=3n2an+S2n﹣1,an≠0,n∈N*.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求证Tn<.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为,,,.
(1)求的最大值及的取值范围;
(2)求函数的最值.
20.(本小题满分12分)数列满足,().
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
21.(本小题满分12分)已知函数()
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在处取得极值,不等式对恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,证明不等式
22.(本小题满分12分)已知函数.
(1)当时,证明对任意的;
(2)求证.
(3)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.奉新一中2017届高三年级第三次月考理科数学参考答案ABDDBDACABAC
13.
214.
15.
125516.1217解
(1)当时,,,,…5分
(2),设,.…8分当且仅当这时,因此所以,隔热层修建厚时,总费用达到最小,最小值为70万元.…10分
18.解
(1)设等差数列{an}的公差为d,由n≥2时,Sn2=3n2an+S2n﹣1,an≠0,n∈N*.可得Sn2﹣S2n﹣1=3n2an,∴(Sn﹣Sn﹣1)(Sn+Sn﹣1)=3n2an,∴Sn+Sn﹣1=3n2.令n=2,3,可得,解得a=3,d=3.………………6分
(2)证明由
(1)可得an=3+3(n﹣1)=3n.∴bn===.∴Tn=++…+=<.………12分
19.
(1)即……………2分又,所以,即的最大值为16即所以,又0<<所以0<……6分
(2)……………9分因0<,所以<,当即时,当即时,……………12分20.
(1)由已知可得,即,即∴数列是公差为1的等差数列………………4分,∴………………6分
(2)由(Ⅱ)知…………8分相减得∴…………12分
21.解
(1)当时,,从而,函数在单调递减;当时,若,则,从而,若,则,从而,函数在单调递减,在单调递增………………4分
(2)根据
(1)函数的极值点是,若,则22.
(2)根据
(1)的结论,当时,,即.令,则有,………………………5分.即.…7分本问也可用数学归纳法证明.
③当时,,设的两根分别为与,则,,不妨设当及时,,当时,,所以函数在上递增,在上递减,而所以时,,且因此函数在有一个零点,而在上无零点;此时函数只有一个零点;综上,函数只有一个零点时,实数a的取值范围为R.………………………12分。